新课标高中一轮总复习理数空间向量在立体几何中的应用学习教案

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1、会计学1第一页，共55页。第1页/共54页第二页，共55页。第2页/共54页第三页，共55页。1.了解直线的方向向量与平面(pngmin)的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用.第3页/共54页第四页，共55页。1.已知直线a的方向向量为a，平面(pngmin)的法向量为n，下列结论成立的是( )CA.若an,则a B.若an=0,则aC.若an,则a D.若an=0,则a 由方向(fngxing)向量和平面法向量的定义可知应选C.

2、对于选项D，直线a平面也满足an=0. 第4页/共54页第五页，共55页。2.已知、是两个不重合的平面，其方向(fngxing)向量分别为n1、n2,给出下列结论： 若n1n2,则;若n1n2,则, 若n1n2=0,则;若n1n2=0,则. 其中正确的是( )AA. B.C. D.第5页/共54页第六页，共55页。3.在二面角-l-中，平面的法向量(xingling)为n，平面的法向量(xingling)为m.若n,m=130，则二面角-l-的大小为( )CA.50 B.130C.50或130 D.可能(knng)与130毫无关系 因二面角的范围是0,180，由法向量的夹角与二面角的平面角相等

3、或互补可知，二面角的大小可能是130也可能是50.有时可从实际图形中去观察(gunch)出是钝角或锐角.第6页/共54页第七页，共55页。4.若直线(zhxin)l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线(zhxin)l与平面所成的角等于 .30 由题设，l与所成的角=90-(180-120)=30.第7页/共54页第八页，共55页。5.已知三棱锥P-ABC各顶点(dngdin)的坐标分别是P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0，0），C（0，0，2），则该三棱锥底面ABC上的高h= .217第8页/共54页第九页，共55页。 由已知, =(-1,-1,0), =(-4,-

4、1,0), =(0,-1,2).设平面(pngmin)ABC的法向量n=(x,y,z), n =-4x-y=0 y=-4x n =-y+2z=0， y=2z，取x=-1，得n=(-1,4,2).则h= = = .AP AB AC得则AB AC|n APn 2221 ( 1)( 1)40 2|(1 )42 321217第9页/共54页第十页，共55页。1.法向量的有关概念及求法如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量.法向量的求法步骤：(1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；(2)列：根据na=0且nb=0可列出方程；(3)解：把z看作常数(chngsh)，用z表示x

5、,y；(4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平面法向量n的坐标.第10页/共54页第十一页，共55页。 2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线(zhxin)AB、CD的方向向量分别为 、 . 一般关系：设直线(zhxin)AB与CD所成的角为 (0, )，则cos=|cos , | = . 特殊关系:()ABCD (用于证明线线垂直); ()ABCD 存在实数,使 (用于证明线线平行).AB CD 2AB CD |AB CDAB CD AB CD =0AB CD AB CD = AB CD 第11页/共54页第十二页，共55页。 (2)线面关系：若平面外的

6、直线AB的方向向量(xingling)为 ，平面的法向量(xingling)为n. 一般关系:设直线AB与平面所成的角为(0, )，则有sin=|cos ,n| = . 特殊关系：()AB n存在实数，使 =n(用于证明线面垂直)； ()AB n n=0(用于证明线面平行).AB 2AB | |AB nABn AB AB AB AB 第12页/共54页第十三页，共55页。 (3)面面关系：若平面的法向量为n，平面的法向量为m. 一般关系:设以,为面的二面角为(0,),则与n,m . 当二面角为锐(直)二面角时，cos=|cosn,m|= . 当二面角为钝二面角时,cos= . 特殊(tsh)关

7、系:()nm . (用于证明面面垂直)；相等(xingdng)或互补|n mn m |n mn m nm=0第13页/共54页第十四页，共55页。 ()nm存在实数，使 (用于证明面面平行(pngxng). (4)点到平面的距离：若AB是平面外的一条线段，B是AB与平面的交点，平面的法向量为n. 设点A到平面的距离为d,则d等于 在n上的射影的绝对值. 即d=| |cos ,n|= .n=mAB AB AB |AB nn 第14页/共54页第十五页，共55页。 (5)异面直线间的距离：若异面直线AB、CD的方向向量(xingling)分别为 、 ，n ，n ，又MAB，PCD，则异面直线AB、

8、CD间的距离d= .CD AB |MP nn AB CD 11第15页/共54页第十六页，共55页。例1 如图，已知直三棱柱(lngzh)ABC-A1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点. (1)求证:DE平面ABC； (2)求证:B1F平面AEF.第16页/共54页第十七页，共55页。 如图所示，分别以AB、AC、AA1所在直线(zhxin)为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0

9、,2),A1(0,0,4). (1)可得 =(-2,4,0). 又平面ABC的法向量 为 =(0,0,4). 因为 =-20+ 40+04=0， 所以DE平面ABC.DE1AADE1AA第17页/共54页第十八页，共55页。(2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0)，B1F =(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0，则 ，所以B1FEF， =(-2)2+22+(-4)0=0，则 ，所以B1FAF.又因为(yn wi)EFAF=F，所B1F平面AEF.1B F EF AF EF 1B F EF 1B F AF 1B F AF 线面和面面平行或垂直关系的论证应用

10、空间向量法时既可以选择基向量，将问题涉及的线面对应的向量用基向量表示，然后通过向量平行或垂直的判定实现问题论证，也可以通过建立空间直角坐标(zubio)系，利用坐标(zubio)运算判定线面平行或垂直.第18页/共54页第十九页，共55页。 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点. (1)证明:平面(pngmin)AED平面(pngmin)A1FD1; (2)在AE上求一点M,使得A1M平面(pngmin)DAE.第19页/共54页第二十页，共55页。 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨(bfng)设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2

11、,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1), n1 =(x1,y1,z1)(2,0,0)=0 n1 =(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2).则DA DE第20页/共54页第二十一页，共55页。同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).因为n1n20，所以(suy)平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，所以(suy)可设 = =(0,2,1)=(0,2,)，可得M(2,2,),于是 =(0,2,-

12、2).要使A1M平面DAE,又因为A1MAD,所以(suy)只需A1MAE,所以(suy) =(0,2,-2)(0,2,1)5-2=0,得= .故当AM= AE时，A1M平面DAE.AM AE 1AM1AMAE 2525第21页/共54页第二十二页，共55页。 本题是通过证明(zhngmng)两个平面的法向量垂直来证明(zhngmng)两个平面垂直的，显然比用传统的几何方法证明(zhngmng)垂直关系要简单得多.类似地，若要证明(zhngmng)两个平面平行，则可以通过证明(zhngmng)两个平面的法向量是平行向量来证明(zhngmng).第22页/共54页第二十三页，共55页。例2 单位

13、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别(fnbi)是BC、C1D1的中点.(1)求证：MN平面B1D1DB；(2)求直线MN与平面C1BD所成角的余弦值;(3)求点M到平面C1BD的距离；(4)求二面角A-BC1-D的平面角的余弦值.第23页/共54页第二十四页，共55页。 正方体是一个非常适合建立空间(kngjin)直角坐标系的几何体，问题都可以用空间(kngjin)向量的坐标计算解决.问题(1)，可利用方向向量与平面法向量垂直来证明；(2)(3)(4)中都与平面C1BD的法向量有关，故先求平面C1BD的法向量.第24页/共54页第二十五页，共55页。 (1)证明：以D为坐标原点建立

14、空间直角坐标系，如图.则M( ,1,0),N(0, ,1)，A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),所以 =(- ,- ,1).在正方体中，易知有A1C1平面B1D1DB，故 =(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个(y )法向量.又 =(-1,1,0)(- ,- ,1)=0,所以 .显然MN平面B1D1DB,故MN平面B1D1DB.1212MN 121211AC11ACMN 121211ACMN 第25页/共54页第二十六页，共55页。(2)设平面C1BD的法向量(xingling)为n=(x,y,z), =(1,1,0), =(-1

15、,0,1). n =0 x+y=0 n =0 -x+z=0.令x=1，则n=(1,-1,1).设MN与平面C1BD所成的角为，则sin=|cos ，n|= = = ,故cos= .所以直线MN与平面C1BD所成角的余弦值为 .DB 1BC 则,即DB MN | |MN nMNn | 0.50.5 1|632 237373第26页/共54页第二十七页，共55页。(3)DM是平面C1BD的一条斜线段,平面C1BD的法向量(xingling)为n=(1,-1,1).设M到平面C1BD的距离为d，则d=| |cos ,n|= = ，所以点M到平面C1BD的距离为 .DM |DM nn DM 1|10|

16、23 3636第27页/共54页第二十八页，共55页。(4)平面C1BD的法向量(xingling)为n=(1,-1,1).由正方体的性质，易知平面ABC1D1的一个法向量(xingling)为 =(-1,0,-1).设二面角A-BC1-D的平面角为，由图形易知，为锐角.而cos=|cosn, |= = = ，故二面角A-BC1-D的平面角的余弦值为 .1BC1BC11| |n BCnBC | 1 1|32 6363第28页/共54页第二十九页，共55页。 立体几何中空间角、空间距离的计算往往技巧性较强，思路(sl)易受阻，可借助向量的运算，特别是坐标运算的功能，极大地减少了逻辑论证的思维量，

17、取而代之的是向量带来的运算量.用向量的方法解决此类问题的要点有：建系后，写有关点或向量的坐标时要仔细；要明确空间角、空间距离的向量描述方式；要熟悉本例中求平面的法向量的方法.第29页/共54页第三十页，共55页。 如图，平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形(txng)，BAD=FAB=90，BC AD,BE AF. (1)证明：C、D、F、E四点共面； (2)设AB=BC=BE，求二面角 A-ED-B的大小的余弦值.1212第30页/共54页第三十一页，共55页。 (方法一)（1）证明(zhngmng)：延长DC交AB的延长线于点G.由BC AD,得 = = = .延

18、长FE交AB的延长线于点G.同理可得 = = = ,故 = ,即G与G重合,因此直线CD、EF相交于G,所以C、D、E、F四点共面.12GBGAGCGDBCAD12G EG F G BG A BEAF12G BG A GBGA第31页/共54页第三十二页，共55页。(2)设AB=1,则BC=BE=1,AD=2.取AE的中点M，则BMAE.又由已知得AD平面ABEF,故ADBM,因为BM与平面ADE内两相交(xingjio)直线AD、AE都垂直,所以BM平面ADE.作MNDE,垂足为N,连接BN.由三垂线定理知BNED,BNM为二面角A-ED-B的平面角.因为BM= ,MN= = ,故tanBN

19、M= = .所以二面角A-DE-B的大小的余弦值为 .2212AD AEDE 33BMMN62105第32页/共54页第三十三页，共55页。(方法二)（1）证明:由题意(t y)，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.设AB=a,BC=b,BE=c,则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c), =(0,b,-c), =(0,2b,-2c).故 = ,从而由E FD,得ECFD,故C、D、F、E四点共面.EC FD EC FD 12 第33页/共54页第三十四页，共55页。(2)由题可设AB=1,则BC=BE=1,A(0,0,0

20、),所以B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(1,0,1),所以 =(0,2,0), =(1,0,1), =(-1,2,0), =(0,0,1).设平面ADE与平面BDE的法向量(xingling)分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), n1 =2y1=0 y1=0 n1 =x1+z1=0 x1=-z1所以n1=(-1,0,1).ADAE BD BE 则ADAE ,解得,取z1=1,第34页/共54页第三十五页，共55页。同理，n2=(2,1,0).所以cos= = =- ,所以二面角A-DE-B的大小(dxio)的余弦值为 .1212|n nnn

21、225 105105第35页/共54页第三十六页，共55页。 如图，在四棱锥(lngzhu)P-ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点. (1)求证：CD平面BEF； (2)设PA=kAB,且二面角 E-BD-C的平面角大于30, 求k的取值范围.第36页/共54页第三十七页，共55页。 已知三条棱两两互相垂直，故可考虑建立空间直角坐标系，用向量(xingling)法求解. (1)证明：如下(rxi)图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=a，则易知点A,B,C,D,F

22、的坐标分别为A(0，0，0)，B(a,0,0),C(2a,2a,0), D(0,2a,0),F(a,2a,0),第37页/共54页第三十八页，共55页。从而 =(2a,0,0), =(0,2a,0),所以(suy) =0,故 .设PA=b,则P(0，0，b),而E为PC的中点，故E(a,a, )，从而 =(0,a, ).所以(suy) =0,故 .由此得CD平面BEF.DCBF DCBF DCBF 2bBE 2bDCBE DCBE 第38页/共54页第三十九页，共55页。(2)设E在xAy平面上的投影为G.过G作GHBD,垂足为H.由三垂线(chu xin)定理知EHBD.从而EHG为二面角E

23、-BD-C的平面角.由PA=kAB，得P(0,0,ka),E(a,a, ),G(a,a,0).设H(x,y,0),则 =(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0).由 =0,得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即x-2y=-a. 2kaGHBD GHBD 第39页/共54页第四十页，共55页。又因为(yn wi) =(x-a,y,0),且 与 的方向相同,故 = ,即2x+y=2a. 由解得x= a，y= a.从而 =(- a,- a,0),| |= a,tanEHG= = = .由k0知EHG是锐角.由EHG30,得tanEHGtan30，即 ,解得k .故k的取值范围为( ,+).G

24、HBD BHBHxaa 2ya453515GH5535|EHGH255kaa52k52k332 15152 1515 此题的关键是通过向量的运算，把二面角的平面角用k表示出来，利用三角不等式求k的取值范围.第40页/共54页第四十一页，共55页。1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.向量法是将立体几何问题转化为代数(dish)问题，若能恰当选取基底或建立空间直角坐标系，会使运

25、算更简捷.第41页/共54页第四十二页，共55页。3.利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系.但较复杂的代数(dish)运算也容易导致出错，因此，在解决问题时，可以灵活地选用解题方法，不要生搬硬套.4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；解决两点间的距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线的夹角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零.第42页/共54页第四十三页，共55页。学例1 (2008江苏卷)如图，设动点P在棱长为的正方体ABCD-A1B1C

26、1D1的对角线BD1上，记 =.当APC为钝角(dnjio)时，求的取值范围.11D PD B第43页/共54页第四十四页，共55页。 由题设可知，以 、 、 为单位正交基底,建立如图所示的空间(kngjin)直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).由 =(1,1,-1),得 = =(,-),所以 = + =(,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1), = + =(-,-,)+(0,1,-1) =(-,1-,-1).DA DC1DD 1D B 1D P 1D B PA 1PD 1D A PC 1PD 1DC 第44页/共54页第

27、四十五页，共55页。显然(xinrn)APC不是平角，所以APC为钝角,等价于cosAPC=cos = 0,这等价于 0,即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0, 1.因此，的取值范围为( ,1).PA PC | |PA PCPAPC PA PC 1313第45页/共54页第四十六页，共55页。 (2009天津卷)如图，在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE， ABAD,M为EC的中点(zhn din)，AF=AB=BC=FE= AD (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD平面CDE； (3)求二面角A-CD-E的余弦值.学

28、例212第46页/共54页第四十七页，共55页。 (方法(fngf)一）(1)由题设知，BFCE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角.设P为AD的中点，连接EP，PC.因为FE AP，所以FA EP，同理，AB PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FA=a，则EP=PC=PD=a, CD=DE=EC= a， 故CED=60.所以异面 直线BF与DE所成的角的大小为60.2第47页/共54页第四十八页，共55页。 (2)证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DMCE.连接(linji

29、)MP，则MPCE.又MPDM=M，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.第48页/共54页第四十九页，共55页。(3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.因为CE=DE，所以(suy)EQCD.因为PC=PD，所以(suy)PQCD,故EQP为二面角A-CD-E的平面角.由(1)可得,EPPQ,EQ= a，PQ= a.于是在RtEPQ中，cosEQP= = ，所以(suy)二面角A-CD-E的余弦值为 .6222PQEQ3333第49页/共54页第五十页，共55页。（方法二）如图所示，建立(jinl)空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),

30、 C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),I( ,1, ).(1) =(-1，0，1)， =(0，-1，1)，于是cos , = = .所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.1212BF DEBF DE|BF DEBFDE 00 12212第50页/共54页第五十一页，共55页。(2)证明:由 =( ,1, ), =（-1,0,1）， =（0，2，0），可得 =0， =0.因此，CEAM，CEAD.又AMAD=A，故CE平面(pngmin)AMD.而CE平面(pngmin)CDE,所以平面(pngmin)AMD平面(pngmin)CDE.12AM 12CE

31、 ADCE AM CE AM 第51页/共54页第五十二页，共55页。(3)设平面CDE的法向量为u=（x,y,z）， u =0 -x+z=0 u =0 -y+z=0.令x=1，可得u=(1,1,1).又由题设，平面ACD的一个(y )法向量为v=(0,0,1).所以,cosu,v= = = .因为二面角A-CD-E为锐角,所以其余弦值为 .CE 则，于是(ysh)DE| |u vu v 00 13 1 3333第52页/共54页第五十三页，共55页。本节完，谢谢(xi xie)聆听立足教育(jioy)，开创未来第53页/共54页第五十四页，共55页。NoImage内容(nirng)总结会计学。能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).。(3)解：把z看作常数，用z表示x,y。(用于证明面面垂直)。设点A到平面的距离为d,则d等于。取AE的中点M，则BMAE.。立足教育，开创(kichung)未来第五十五页，共55页。