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1、第十九章 四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系.（1）演变关系图：（2）从属关系平行四边形（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.名称平行四边形矩形菱形正方形定义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形性质边角对角线对称性判定边角对角线面积周长3. （1）平行
2、四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， =BCAE=CDBF（2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， =4.三角形中位线定理定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）;定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ;（4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为;正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角
3、线的乘积的一半.周长相等的四边形中， 正方形的面积最大.6. 梯形的中位线（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.（3）梯形的面积S=（上底+下底）高=中位线高7.几种特殊四边形的对角线 矩形对角线交角为60(120)时,可得：等边三角形和含30角直角三角形 （图） 菱形有一个角为60时, 可得： 正方形中可得：含30角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形6060（图） （图） 对角线互相垂直的梯形, 对角线互相垂直的等腰梯形平移腰ADCBFE可得：双垂图 可得：等腰直角三角形（图） （图）8. 中点四边形:
4、 （顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线）(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_ (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是_ (3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_ (4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是_ 二典型题型归纳（一）概念题1中，A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则的周长为 2在中，C=60,DEAB于E,DFBC于F（1）则EDF= ；（2）如图
5、，若AE=4，CF=7，则周长= ;(3) 若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求周长3(1)在平行四边形ABCD中，若C=B+D，则A= . (2)已知在,A比B小20，则C的度数是 (3)在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB= ,BC= .CBEAFD（4）在中，周长为30cm，且AB：BC=3：2，则AB= cm.（5）（2007河北省）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称， ABE90，则F 4（2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ）A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形C等腰梯形的两条对角线相等D等腰三角形底边上的中点到两腰的距
6、离相等5.（2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（）A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形6.（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ( )A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形7.（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( ) A一组邻边相等的平行四边形是菱形 B一组邻边相等的矩形是正方形 C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8.（2007四川成都）下列命题中，真命题是（）两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线互相垂
7、直的四边形是菱形两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形9.（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（） ACBD 等边ABD CABCAD（二）图形的性质和判定方法10如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作/，作BM于M，DN于N，直线MB、ND分别交、于Q、P，试判断四边形PQMN的形状11如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为正方形 12如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，AE=AB，AB=2AD，求EBC的度数（三）转化的思想将梯形问题通过
8、化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题. 如图所示：13填空（1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60，则下底长是 （2）等腰梯形一个底角是60，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的腰长是 ，高是 ，面积是 （3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的夹角为30，则另一腰长为 ，下底长为 （4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为 ，面积为 （5）已知在梯形ABCD中，AD/BC，若两底AD、BC的长分别为2、8，两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为 （四）推理论证的进一步巩固 14（2007恩施自治州）如图，平行四边形
9、ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形.15如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF交于点H求证：四边形GEHF是平行四边形.16平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE，,求证：四边形AECF是平行四边形.17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形18已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，（1）若BE=CF，如图13(1)求证：AE=BF并且AEBF；（2）若E、F分别是BC、EF的中点，如图13(2)，求证：GD=
10、AD GEDHCFB19（2007浙江金华）国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花如果有，那么下列说法中错误的是（ ）A红花、绿花种植面积一定相等黄蓝紫橙红绿AB紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等D蓝花、黄花种植面积一定相等20.（06盐城）已知的面积为4，对角线交于O，则SAOB= 21.若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（ ）A.4a16 B.4a26 C. 12a20 D.8a”、“=”或“ACAB，在图3中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.
第十九章四边形知识与题型总结
