值域求值域的方法大全及习题加详解

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1、word求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法如此，求函数的值域要注意优先考虑定义域& 常用求值域方法1、直接观察法：利用已有的根本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比拟简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数的值域。例2、求函数的值域。答案：值域是：【同步练习1】函数的值域. 解：2、配方法：二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况

2、要注意的围；配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例1、求函数的值域。例2、求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8例3、求。配方法、换元法解：所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为-2，+。例4、设，求函数的值域解：，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，函数的值域为评注：配方法往往需结合函数图象求值域例5、求函数的值域。配方法、换元法解：=，所以，故所求函数值域为，+。例6、求函数的值域。配方法。【同步练习2】1、求二次函数的值域.2、求函数的值域. 3、求函数的最大值与最小值.4、求函数的最大值和最小值.5、，求函数的值域.

3、6、假如,试求的最大值。最大值。3、换元法：三角换元法有时候为了沟通与未知的联系，我们常常引进一个几个新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换往往可以暴露与未知之间被外表形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域例1、求的值域解：令，如此，所以函数值域为评注：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值围，它是新函数的定义域小结：【同步练习3】求函数的值域。解：由，得。令 得，于是，因为，所以。故所求函数值域为-，。例2、求函数的

4、值域。解：设，如此。所以，故所求函数值域为。【同步练习4】求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：小结：【同步练习5】1、求函数的值域.2、求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为3、函数的值域为，求函数的值域.4、函数有界性法方程法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数的值域。解：因为，所以，如此由于，所以，解得。故所函数的值域为-2，-。求函数 的值域例2、求函数的值域。解：因为，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函数的值域为-2，。【同步练习6】求函数，的值域.5

5、、数形结合法函数的图像：对于一些函数如二次函数、分段函数等的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假如运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1、 求函数的值域分析：求分段函数的值域可作出它的图象，如此其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图象如下列图，函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为例2、 求函数的值域.解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点Px

6、到定点A2，间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例3、求函数的值域.解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例4、求函数的值域.解：将函数变形为：上式可看成定点A3，2到点Px，0的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：1当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，如此构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：2当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B

7、两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，如此要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：3，2，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为3，2，在x轴的同侧。【同步练习7】1、求函数的值域. 2、求函数的值域.3、求函数的值域.4、求函数的最大值.6均值不等式法：利用根本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等；利用根本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1、求函数的值域解：原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例3、 求函数的值域.解：原函数变形为：当且仅当即当时，

8、等号成立故原函数的值域为：7、根判别式法：对于形如，不同时为的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程二次项系数不为时，通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进展化简如:例1、求函数的值域解：原函数化为关于的一元二次方程1当时，解得；2当时，而故函数的值域为评注：在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；使用此法须在或仅有个别值个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，假如在求出的值域中如此应除去此值不能取的情况下，否如此不能使用，如求函数，的值域，如

9、此不能使用此方法例2、求函数的值域.解：两边平方整理得：1解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程1有实根，由求出的围可能比y的实际围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程1解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，假如原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。【同步练习8】1、求函数的值域.2、求函数的值域. 3、函数的定义域为，值域为，求的值.4、设函数 的值域为 ，求a,b .5、函数y=f(x)=的值域为1,3,数b,c的

10、值.8、别离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数别离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域例1、求函数的值域解：，函数的值域为求的值域.解：利用局部分式法由 ，可得值域小结：分式函数，如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求，值域为；如果是条件定义域对自变量有附加条件，采用局部分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。8、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数的值域.多种方法综合运用总之

11、，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例1、求如下函数的值域：1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9解：1法一：公式法略法二：配方法，的值域为【拓展】求函数，的值域解：利用函数的单调性函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为2求复合函数的值域：设，如此原函数可化为又，故，的值域为3法一反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为法二别离变量法：，函数的值域为4换元法代数换元法：设，如此，原函数可化为，原函数值域

12、为说明：总结型值域，变形：或5三角换元法：，设，如此，原函数的值域为6数形结合法：，函数值域为7判别式法：恒成立，函数的定义域为由得：当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为8，当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为9法一方程法函数有界性：原函数可化为：，其中，原函数的值域为法二数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的围，解略例2、假如关于的方程有实数根，数的取值围综合解：原方程可化为，令，如此，又在区间上是减函数，即，故实数的取值围为：例3、求函数的值域。换元法、不等式法解：令，如此1当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以2当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注

13、：先换元，后用不等式法【拓展练习】共11题，附答案一、选择题1、如下函数中，值域是0，+的函数是A B C D2、是常数，在上有最大值3，那么在上的最小值是A B C D3、函数在区间0，m上有最大值3，最小值2，如此m的取值围是A、 1，+ B、0，2 C、-，2 D、1，24、04年某某卷.文6理5假如函数在区间上的最大值是最小值的3倍，如此a= A. B. C. D. 5、04年卷.理7函数上的最大值与最小值之和为a,如此a的值为A B C2 D46、假如，如此的最小值是_的最大值是_7、函数的值域为R，如此实数的取值围是_8、如下函数的值域分别为：1 2 3 4.1 2 3 49、函数

14、的值域为，数的值。10、二次函数满足条件：且方程 有等根， 求的解析式； 是否存在实数，使得的定义域为，值域为。11、函数（1） 当时，求函数的最小值 ；（2） 假如对任意，恒成立，试数的取值围。答案：同步练习 15、DDDAB 6、；7、0,1 8(1)(-1,1) (2) (3)R (4)9、 10(1) (2) 9(1) (3)1、函数的值域为别离常数法2、假如函数在上的最大值与最小值之差为2，如此函数单调性法【拓展练习】一、选择题1、函数y=x2+ (x)的值域是( )函数单调性法A.(,B.,+C.,+D.(,2、函数y=x+的值域是( )换元法配方法A.(,1B.(,1C.RD.1

15、,+1、函数f(x)ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,如此a的值为( )A. B.2、函数ylog2x+logx(2x)的值域是( ) A.(-,-1 B.3,+) C.-1,3 D.(-,-13,+)3、f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x2+3x+2.假如当x1,3时,nf(x)m恒成立,如此m-n的最小值为( )A. B.2 C. D.4、把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2 C. cm2 D. cm25、在区间1.5,3上,函数f(x)x2+bx+c与函数同时取到一样

16、的最小值,如此函数f(x)在区间1.5,3上的最大值为( )A.8 B.6 C6、假如方程x2+ax+b0有不小于2的实根,如此a2+b2的最小值为( )A.3 B. C. D.7、函数的最小值为( )A.190 B.171 C8、设a1,函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为,如此a等于( )A. B.2 C.9、设a、bR,a2+2b26,如此a+b的最小值是( )A. B. C.-3 D.10、假如动点(x,y)在曲线(b0)上变化,如此x2+2y的最大值为( )A. B. C.11、设a,bR,记maxa,b函数f(x)max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值

17、是_.12、规定记号“表示一种运算,即,a、bR+.假如1k3,如此函数f(x)kx的值域是_.13、函数f(x)2+log3x,x1,9,如此函数yf(x)2+f(x2)的值域为_.14、假如变量x和y满足条件如此z2x+y的最小值为_;的取值围是_.15、求如下函数的值域:(1)yx2-4x+6,x1,5);(2);(3).16、(2009高三模块检测,20)设函数(a,bR),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)假如方程f(x)0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)假如g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.【答案】1、解析:

18、f(x)ax+loga(x+1)是单调递增(减)函数原因是yax与yloga(x+1)单调性一样,且在0,1上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)a0+loga1+a+loga2a,loga2+10.答案:B2、解析:ylog2x+logx(2x).,(-,-13,+).应当选D.3、解析:设x0,如此-x0,f(x)-f(-x)-(-x)2+3(-x)+2-x2+3x-2.在1,3上,当时f(x)max,当x3时f(x)min-2.m且n.答案:A4、解析:设其中一段长为3x,如此另一段为12-3x,如此所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为,如此它们的面

19、积之和为,可见当x2时,两个正三角形面积之和的最小值为 cm2.答案:D5、解析:,当且仅当x2时,g(x)min3,f(x)(x-2)2+3.在区间1.5,3上,f(x)maxf(3)4.应当选D.6、解析:将方程x2+ax+b0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x20的方程,如此a2+b2的几何意义为l上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d的最小性知a2+b2d2(x2),令ux2+1,易知(u5)在5,+)上单调递增,如此f(u)f(5),a2+b2的最小值为.应当选B.7、解析:f(x)|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-10|+|x-11|+

20、|x-18|+|x-19|,由|a-b|a|+|b|(当且仅当ab0时取等号),得|x-1|+|x-19|x-1-x+19|18,|x-2|+|x-18|x-2-x+18|16,|x-9|+|x-11|x-9-x+11|2,|x-10|0.上面各式当x10时同时取等号,f(x)最小值为18+16+2+0.答案:C8、解:由a1知f(x)为增函数,所以loga2a-logaa,即loga2,解得a4.所以选D.9、解析:,故令,.a+b的最小值为-3.答案:C10、解析:令x2cos,ybsin,如此x2+2y4cos2+2bsin-4sin2+2bsin+4-4()2+4+;当1即0b4时,x

21、2+2y取最大值,此时;当即b4时,x2+2y的最大值为2b,此时sin1.应当选A.11、解析:如右图所示,函数ymax|x+1|,|x-2|的图象为图中实线局部,max|x+1|,|x-2|的最小值为.答案:12、解析:由题意,解得k1,.而在0,+)上递增,f(x)1.答案:1,+)13、解析:f(x)2+log3x,x1,9,yf(x)2+f(x2)的定义域为解得1x3,即定义域为1,3.0log3x1.又yf(x)2+f(x2)(2+log3x)2+2+log3x2(log3x)2+6log3x+6(log3x+3)2-3,0log3x1,6y13.故函数的值域为6,13.答案:6,

22、1314、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y0平移至点A(2,1)时目标函数z2x+y取得最小值,即zmin22+15,表示可行域点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH绕原点逆时针方向转动到AB位置,斜率变得越来越大,故-1kGHkAB.答案:5 (-1,15、解:(1)yx2-4x+6(x-2)2+2,x1,5),由图象知函数的值域为y|2y11.(2).0,y.函数的值域为yR|y.(3)令,如此xt2+1(t0),y2(t2+1)-t2t2-t+22()2+.t0,y.函数的值域是,+).16、解:(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2+ax-b,由-2、4是方程x

23、2+ax-b0的两个实数,由韦达定理,f(x)x2-2x-8.(2)g(x)在区间-1,3上是单调减函数,在-1,3区间上恒有f(x)g(x)x2+ax-b0,即f(x)x2+ax-b0在-1,3上恒成立,这只需满足即可,也即而a2+b2可视为平面区域的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,当时,a2+b2有最小值13.【拓展练习】1、函数的值域是 A-1，1B-1，1C-1，1D-1，12、假如函数的定义域和值域都是，如此的值为 A3B4C5D63、定义在闭区间0,a上的函数y=x2-2x+3，假如y的最大值是3，最小值是2，如此a的取值围是. 5、函数y=x2-2x+a在0,

24、3上的最小值是4，如此a=；假如最大值是4，如此a=.6、函数的值域分别是集合P、Q，如此 根判别法ApQBP=QCPQD以上答案都不对7、函数的值域是 配方法A0，2B1，2C2，2D，8、假如函数的定义域是( )A B C D3,+9、求如下函数的值域：y=|x+5|+|x-6| 10、设函数. 假如定义域限制为0，3，求的值域； 假如定义域限制为时，的值域为，求a的值.11、假如函数的值域为2，2，求a的值.一、选择题1假如函数y2x的定义域是P1,2,3，如此该函数的值域是()A2,4,6B2,4,8C1,2，log32 D1,2，log232定义在R上的函数yf(x)的值域为a，b，

25、如此yf(x1)的值域为()Aa，b Ba1，b1Ca1，b1 D无法确定3函数y(x0)的值域是()A(0，) B(0，)C(0， D，)4函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，如此m的取值围是()A1，) B0,2C(，2 D1,25假如函数yf(x)的值域是，3，如此函数F(x)f(x)的值域是()A，3 B2，C， D3，6(2009/高考)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，如此f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7二、填空题(每一小题5分，共20分)7函数y的值域是y|y0或y4，如此此函数的定义域为_8f(

26、x)的值域是，g(x)f(x)，如此yg(x)的值域是_9函数f(x)2的最小值为_10(2009质检)在实数的运算法如此中，我们补充定义一种新运算“如下：当ab时，aba；当a0)得0y，因此该函数的值域是(0，选C.4、解析：x1时，y取最小值2；令y3，得x0或x2.故1m2.答案：D5、解析：令tf(x)，如此t，3，F(t)t，根据其图象可知：当t1时，F(x)minF(t)minF(1)2；当t3时，F(x)maxF(t)maxF(3)，故其值域为2，答案：B6、解析：令2xx2x10(舍)或x22，令2x10x即2xx10，如此2x3.如此可知f(x)的大致图象如图2所示故f(x

27、)6，即选C.答案：C7、解析：y2，即2或2，由2x3，由23x.答案：，3)(3，8、解析：f(x)，如此2f(x)，12f(x)，令t，如此f(x)，g(x)t，即g(x)，对称轴t1，g(x)在t，上单调递增，g(x)，答案：，9、解析：由x4或x0.又x4，)时，f(x)单调递增f(x)f(4)12；而x(，0时，f(x)单调递减f(x)f(0)044.故最小值为12.答案：1210、解析：【拓展练习】一、选择题yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为()A.1,0,3B.0,1,2,3C.y|1y3 D.y|0y3f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定义域和值域都为R，

28、如此a的取值围是()A.a1或a3 B.a1C.a3 D.a不存在f(x)lg(4x)的定义域为M，g(x)的定义域为N，如此MN()A.M C.x|2x4 D.x|2x0x|x4，Nxx40x|x2，如此MNN.答案：B4、解析：要使y有意义，只要所以所求定义域为4,0)(0,1.答案：D5、解析：令f(x)t，t，3，问题转化为求函数yt在y1，当t，1，y0，yt为减函数， 在1,3，y0，yt在1,3上为增函数，故t1时ymin2，t3时y为最大.yt，t，3的值域为2，.答案：B6、解析：1f(x)3，1f(x3)3，62f(x3)2，5F(x)1.答案：A7、解析：由即1x0，0x2.函数的定义域为(0,2).又当x(0,2)时，x22x(0,1，log2(x22x)(，0.即函数的值域为(，0.(3)函数定义域为0,1,2,3,4,5，函数值域为2,3,4,5,6,7.25 / 25