动点路径长专题(含答案)

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1、动点路径长专题一选择题共2小题1如图,抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点点A在点B的左侧,动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为ABCD 图1 图22如图,半径为4的O中,CD为直径,弦ABCD且过半径OD的中点,点E为O上一动点,CFAE于点F当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为ABCD二填空题共9小题32013鄂尔多斯如图,直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M

2、运动路径的长为_ 图3 图4 图54如图,半径为2cm,圆心角为90的扇形OAB的上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为_52011#模拟已知扇形的圆心角为60,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到OAB位置,点O到O的路径是OO1O1O2O2O；点O到O的路径是；点O在O1O2段上运动路线是线段O1O2；点O到O的所经过的路径长为以上命题正确的是_62013宁德如图,在RtABC纸片中,C=90,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点DP在C点时,点C的对应点是本身,则折叠

3、过程对应点D的路径长是_ 图6 图7 图87如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边ACP和PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是_82013湖州如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,ACx轴于点M,交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点,APB=30,BAPA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是_92013桂林如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB

4、,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是_ 图9 图10 图11102013竹溪县模拟如图：已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1； P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB,连结EF,设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是_11如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A处并且AC=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为_米三解答题共1小题122012义乌市模拟如图,边长为4的等边AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上

5、,点B在第一象限一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60得PC 1当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为_；2在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标；3在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长 动点路径长专题参考答案与试题解析一选择题共2小题1如图,抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点点A在点B的左侧,动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B若使点P运动的总

6、路径最短,则点P运动的总路径的长为ABCD考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A,作点B关于x轴的对称点B,连接AB,则直线AB与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得AB即是所求的长度解答：解：如图抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点,x2x=x2,解得：x=1或x=,当x=1时,y=x2=1,当x=时,y=x2=,点A的坐标为,点B的坐标为1,1,抛物线对称轴方程为：x=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A,作点B关于x轴的对称点B,连接AB,则直线AB与对称轴直线x=的交点是E

7、,与x轴的交点是F,BF=BF,AE=AE,点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB,延长BB,AA相交于C,AC=+1=1,BC=1+=,AB=点P运动的总路径的长为故选A点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用2如图,半径为4的O中,CD为直径,弦ABCD且过半径OD的中点,点E为O上一动点,CFAE于点F当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为ABCD考点：圆的综合题专题：压轴题分析：连接AC,AO,由ABCD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在

8、直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CGAE,此时F与G重合；当E位于D时,CAAE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长解答：解：连接AC,AO,ABC

9、D,G为AB的中点,即AG=BG=AB,O的半径为4,弦ABCD且过半径OD的中点,OG=2,在RtAOG中,根据勾股定理得：AG=2,AB=2AG=4,又CG=CO+GO=4+2=6,在RtAGC中,根据勾股定理得：AC=4,CFAE,ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CGAE,此时F与G重合；当E位于D时,CAAE,此时F与A重合,当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在RtACG中,tanACG=,ACG=30,所对圆心角的度数为60,直径AC=4,的长为=,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为故选C点评：

10、此题考查了圆的综合题,涉与的知识有：坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,弧长公式,以与圆周角定理,其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,是解本题的关键二填空题共9小题32013鄂尔多斯如图,直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为考点：一次函数综合题分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标,由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,求出的长度即可解答：解：AM垂直于直线BP,BMA=90,点M的路径是

11、以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,连接ON,直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点,OA=OB=4,ONAB,ONA=90,AB=4,ON=2,=2=故答案为：点评：本题考查了二次函数的综合题,涉与了两坐标轴交点坐标与点的运动轨迹,难点在于根据BMC=90,判断出点M的运动路径是解题的关键,同学们要注意培养自己解答综合题的能力4如图,半径为2cm,圆心角为90的扇形OAB的上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心专题：计算题分析：如图,连O

12、I,PI,AI,由OPH的内心为I,可得到PIO=180IPOIOP=180HOP+OPH=135,并且易证OPIOAI,得到AIO=PIO=135,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135的一段劣弧上；过A、I、O三点作O,如图,连OA,OO,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得APO=180135=45,得AOO=90,OO=OA=2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长解答：解：如图,连OI,PI,AI,OPH的内心为I,IOP=IOA,IPO=IPH,PIO=180IPOIOP=180HOP+OPH,而PHOA,即PHO=90,PIO=180HOP+OPH=18018090=135,

13、又OP=OA,OI公共,而IOP=IOA,OPIOAI,AIO=PIO=135,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135的一段劣弧上；过A、I、O三点作O,如图,连OA,OO,在优弧AO取点P,连PA,PO,AIO=135,APO=180135=45,AOO=90,而OA=2cm,OO=OA=2=,弧OA的长=cm,所以内心I所经过的路径长为cm故答案为：cm点评：本题考查了弧长的计算公式：l=,其中l表示弧长,n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质52011#模拟已知扇形的圆心角为60,半径为1,将它沿着箭头方向无

14、滑动滚动到OAB位置,点O到O的路径是OO1O1O2O2O；点O到O的路径是；点O在O1O2段上运动路线是线段O1O2；点O到O的所经过的路径长为以上命题正确的是考点：旋转的性质；弧长的计算分析：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心,以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O,圆心经过的路径是：以B为圆心,以OB为半径的圆弧据此即可判断解答：解：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心,以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O,圆心经过的路径是：以B为圆心,以OB为半径的圆弧故正确的是：故答案为：点评：本题主要考查了图形的旋转,正确确定

15、圆心O经过的路线是解决本题的关键62013宁德如图,在RtABC纸片中,C=90,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点DP在C点时,点C的对应点是本身,则折叠过程对应点D的路径长是考点：翻折变换折叠问题；弧长的计算分析：根据翻折变换的性质以与ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,然后利用弧长公式列式计算即可得解解答：解：C=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形,如图,点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,路径长=2故答案为：2点评：本题考查了翻折变换的性质,弧长的计算,判断出点D的路径是扇形是解题的关键7如

16、图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边ACP和PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质专题：压轴题分析：分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹HAB的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可解答：解：如图,分别延长AC、BD交于点H,A=DPB=60,AHPD,B=CPA=60,BHPC,四边形CPDH为平行四边形,CD与HP互相平分G为CD的中点,G正好为PH中点,即在P的运动过程中

17、,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为HAB的中位线MNMN=AB=5,即G的移动路径长为5故答案为：5点评：本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断出其运动路径,综合性较强82013湖州如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,ACx轴于点M,交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点,APB=30,BAPA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是考点：一次函数综合题专题：压轴题分析：1首先,需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径或轨迹,如答图所示利用相似三角形可以证

18、明；2其次,如答图所示,利用相似三角形AB0BnAON,求出线段B0Bn的长度,即点B运动的路径长解答：解：由题意可知,OM=,点N在直线y=x上,ACx轴于点M,则OMN为等腰直角三角形,ON=OM=如答图所示,设动点P在O点起点时,点B的位置为B0,动点P在N点终点时,点B的位置为Bn,连接B0BnAOAB0,ANABn,OAC=B0ABn,又AB0=AOtan30,ABn=ANtan30,AB0：AO=ABn：AN=tan30,AB0BnAON,且相似比为tan30,B0Bn=ONtan30=现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径或轨迹如答图所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应

19、的点B为Bi,连接AP,ABi,B0BiAOAB0,APABi,OAP=B0ABi,又AB0=AOtan30,ABi=APtan30,AB0：AO=ABi：AP,AB0BiAOP,AB0Bi=AOP又AB0BnAON,AB0Bn=AOP,AB0Bi=AB0Bn,点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径或轨迹综上所述,点B运动的路径或轨迹是线段B0Bn,其长度为故答案为：点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹,难度很大本题的要点有两个：首先,确定点B的运动路径是本题的核心,这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次,由相似关系求出点B运动路径的长度,可以大

20、幅简化计算,避免陷入坐标关系的复杂运算之中92013桂林如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是考点：正方形的性质；轨迹专题：压轴题分析：根据正方形的性质以与勾股定理即可得出正方形对角线的长,进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长解答：解：如图所示：当P移动到C点以与D点时,得出G点移动路线是直线,利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O的长,线段AB=10,AC=BD=2,当P与C重合时,以AP

21、、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,AP=2,BP=8,则O1P=,O2P=4,O2P=O2B=4,当P与D重合,则PB=2,则AP=8,OP=4,OP=,HO=BO=,O2O=4=3故答案为：3点评：此题主要考查了正方形的性质以与勾股定理等知识,根据已知得出G点移动的路线是解题关键102013竹溪县模拟如图：已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1； P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB,连结EF,设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性

22、质分析：分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长,运用中位线的性质求出MN的长度即可解答：解：如图,分别延长AE、BF交于点H,A=FPB=60,AHPF,B=EPA=60,BHPE,四边形EPFH为平行四边形,EF与HP互相平分G为EF的中点,G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MNCD=1011=8,MN=4,即G的移动路径长为4故答案为：4点评：本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,

23、判断出其运动路径,综合性较强11如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A处并且AC=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为米考点：勾股定理的应用；弧长的计算专题：压轴题分析：先根据三角函数求出BAC的度数,再根据直角三角形的性质得到ACP的度数,同理求出BCP的度数,可得PCP的度数,再根据弧长的计算公式求解即可解答：解：连接CP,CPACB=90,BC=1米,AB=2米,BAC=30,P是木棒AB的中点,PC=PA=1米,PCA=30,同理求出BCP=30,则PCP=30,木棒AB的中点P运动的路径长为：21=米故答案为：米点评：考查了三角函数,直角三角形的性

24、质和弧长的计算公式,木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长三解答题共1小题122012义乌市模拟如图,边长为4的等边AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60得PC 1当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为；2在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标；3在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长考点：相似形综合题分析：1过点作CDx轴于点D,先由等

25、边三角形的性质求出P点坐标与BP的长,故可得出PE的长,由图形旋转的性质求出PC=PE与CPD的度数,再由锐角三角函数的定义即可求出PD与CD的长,进而可得出结论；2过P作PDOB于点D,过C作CFPA于点F,在RtOPD中 PD=OPsin60=,由相似三角形的判定定理得出BPDPCF,故可得出CF与PF的长,进而可得出C点坐标；3取OA的中点M,连接MC,由2得,由锐角三角函数的定义得出CMF=30,可知点C在直线MC上运动故当点P在点O时,点C与点M重合当点P运动到点A时,点C的坐标为5,由两点间的距离公式即可得出结论解答：解：1如图1,过点作CDx轴于点D,AOB是等边三角形,P是OA

26、的中点,P2,0,BP=OBsin60=4=2,E是BP的中点,PE=,PE=PC=,BPC=60,CPA=30,PD=PCcos30=,CD=PCsin30=,OD=OP+PD=2+=,C,；2如图2,过P作PDOB于点D,过C作CFPA于点F在RtOPD中 PD=OPsin60=,OBP+OPB=CPF+OPB=120DBP=FPC,PDB=CFP=90BPDPCF,CF=,点C的坐标是； 3取OA的中点M,连接MC,由2得,CMF=30点C在直线MC上运动当点P在点O时,点C与点M重合当点P运动到点A时,点C的坐标为点C所经过的路径长为点评：本题考查的是相似形综合题与旋转的性质、等边三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键10 / 10