三角形解题指导

《三角形解题指导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形解题指导（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第五章 三角形图56解题指导例1AD、AF分别是ABC的高和角平分线,已知B=36,C=76,则DAF=度分析本题主要考查对三角形主要线段的理解及运用三角形有关知识探求角的大小能力思路有两条,其一：由于DAF=CAFCAD,需先求CAF和CAD的大小；其二：AD是ABC的高,DAF=90AFD,故需先求AFD,下面便是思路二的解B=36,C=76,BAC=180=68AF是ABC的角平分线,BAF=34,AFD=B+BAF=70,AD是ABC的高,DAF=90AFD=9070=20点评解答本题常见错误是不能综合运用三角形的高和角平分线的概念、角和定理及其推论等有关知识,从而找不到所求角与已知角

2、之间的关系 在解决空间与图形问题时,寻求角与角之间的关系常为解题关键,而在这种关系中较难发现的是三角形的、外角关系,广是面对错综复杂的图形不易觉察到它,二是不易断定它要判断一个角是不是某三角形的外角,必须紧紧抓住外角的概念,即这个角的一边必须是三角形的一边,另一边是三角形另一边的反向延长线 做题时要善于从图形中看出几何元素的多重身份,如AFD,它既是RtAFD的角,又是ABF的外角；再如DAF,它既是RtAFD的角,又是CAF与CAD的差角解题中从不同角度观察,不但会发现题目中的隐含关系,而且解题的思路会更加广阔例2如图57,在AFD和BEC中,点A、E、F、C在同一条图57直线上,有下面四个

3、推断： AD=BC,AE=CF,B=D,ADBC 请用其中三个作为条件,余下的一个作为结论,编一道数学问题,并写解答过程分析本题考查学生的推断能力先要弄清题意,题目给出四个推断,按要求我们可以从中取出三个作为条件,余下的一个作为结论一般说来,证明相等关系较之证明平行关系容易些,所以可将前三个推断中的一个作为结论但关键是要考虑能否由条件推出结论解答已知：AE=CF,B=D,ADBC求证：AD=BC证明：AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CEADBC,A=C又B=D,ADFCBE,AD=BC点评解答本题常见错误是直接选取前三个推断作为条件,这时在ADF和CBE中,有两边及其一边的对角相等

4、,仍不能判定这两个三角形全等,然而却有给出全等判定的 在今后的中考中,需大篇幅证明的试题将会少见,主要考查是否能正确掌握有关的知识与技能在解答关于三角形全等的问题中,应注意以下几点： 在判定三角形全等的三个对应元素中,至少有一个元素是边 在判定两个三角形全等时,应注意知识运用的准确性,如ASA中,这个角必须是夹角,否则就不能判定两个三角形全等了 要特别注意对应两字的含义 寻找两个三角形全等的条件时,要关注题目中的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等图58例3在如图58的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点A、B是方格纸中的两个格点,在这个55的方格纸中,找出格点C,使ABC的面积为2个

5、平方单位,则满足条件的格点C的个数是个, 5 4 3 2C4C1ABC2C3C5图59ACBD图510分析本题考查学生在方格 中,灵活运用相关知识分析问题解决问题的能力当格点三角形至少有一条边在方格纸的横线上时,这条边长和这条边上的高均为整数或,可据此找出C点,但是这样找出的C点完全吗?图59中的点C1、C2、C3是满足条件的点；图59中的点C4是满足条件的点；作直线C2C3,它经过格点C5,ABC2和ABC5等底等高,C5也满足条件故本题应选点评解答本题常见错误,考虑问题不缜密,找不全满足条件的格点C；其二是,寻求的依据只有一条,就是面积公式,而忽略了等底等高的两个三角形的面积相等,不知可过

6、已找出的点作AB的平行线 近几年,关于以格点为顶点的多边形面积问题经常出现于中考中这样的问题也有两类,其一：如本例那样,在方格纸上找出面积为已知的图形,而且本例也展示出解决这类问题的两条依据；其二：计算方格纸中的多边形的面积,计算时,常常要将多边形的面积计算转化成至少有一条边在方格纸的横线上的格点三角形的面积计算图511拓广计算如图510中的四边形ABDC的面积时,得：S四边形ABDC=SABC+SBCD=1+2=3；而计算如图511中的四边形ABCD的面积与以上计算就有所不同,过程如下： S四边形ABCD=S四边形EFCHSABESBCFSADH=911=,C1A2B2C2图512CBAA1

7、B1 想想,两者为什么不同?再如：如图512在方格纸中44,存在格点ABC,且AB、BC、AC三边之比为：2 ：,请在图中画出一个与ABC相似但不全等的格点A1B1C1,并加以分析 分析设小正方形的边长为1,则由已知的AB=,BC=2,AC=故三边之比为：2 ：=1：=2：,由1：可画出如图所示的图513A1B1C1由2：也可画出如图所示的A2B2C2等等如图513 在大小为44的正方形方格中,ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个 A1B1C 1使A1B1C 1ABC相似比不为1,且点A1、 B1、C1都在单位正方形的顶点上 分析本题由于题设条件和结论都有着很大的灵活性,

8、不同条件有着不同的结论,故满足题意的三角形如图所示:A1B1C 1IJAHGAABC例4如图514,已知等腰ABC中,顶角A=36,BD为ABC的平分线,则：的值为 图514 1 ,分析本题考查了运用相似三角形的判别与性质进行推理和计算的能力,要求两条线段之比,一般需利用相似三角形所以应考虑这里是否有相似三角形?相似三角形的对应边是否是AD和AC?如果不是,应怎么办?是否能通过对应边的比直接求出AD和AC的比?如果不能,又应怎么办?解答由已知,得CBD=A=36,又ACB=BCD,BDCABC ABD=A=36,AD=BD,又BDC=C=72,BD=BC, AD=BC 由、,得：设： =,由得

9、光解得= 应选 点评解答本题的常见错误是没有思路,不知道用相似三角形；或不能进行等量代换,导致完全不会解答也可能有计算错误,误选为1本例所采用的是直接进行推理、计算的解法,可以看出它的过程比较复杂其实,选择题的解法有多种,比如特例法、验证法、排除法、图示法等该题可采用排除法： ADAC,而答案和都不小于1,应排除和显然,D不是AC的中点,应排除应选 一般地,求两条线段的比或证明比例式常要用到相似三角形但是也会遇到,所要求的比或比例式中的某些线段,不是题目中相似三角形的对应边,处理这种情况时,可根据问题选用以下两个方法：其一是等量代换法,即用所要求的比或比例式中的某条线段去代换相似三角形中与之相

10、等的边例如,在本例中用线段AD代换,BDC的边BC其二是等比代换法,即欲求,当知时,可去求的值；欲求,当证得时,可去证例5如图515,在直角坐标系中,CMN是等边三角形,且OM=ON=1,OA=2,P是x轴正半轴上的一点,当点P在x轴正半轴上移动时,是否存在这样的一点P,使ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似?若存在,请确定点P的位置并画出CNP,且给予证明；若不存在,请说明理由图515分析CMA是钝角,假设存在符合要求的点P的话,点P一定在射线Nx上,显然,CN=CM,由此可知CMA=CNP所以,如果使ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似,那么CMA与CNP必为对应角,而CA与CP是另一

11、组对应边余下的几条边是如何对应的呢?这是解题思路的起点解答存在这样的点P,使ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似当CN与CM是一组对应边时,NP与AM是另一组对应边CN ：CM=l,两个三角形应全等由题意,易得AM=1,NP=1,由此可知点P的坐标是这时,ACMP1CN 当CN与AM是一组对应边时,NP与CM是另一组对应边CMN是等边三角形,CN=CM=MN=2CN ：AM=2 ：1,NP=2CM=4点P的坐标是这时,ACMCP2N点评本题考查了运用三角形相似的条件,进行探索和推理的能力及分类讨论的能力.解答本题常见错误是没有预见到对相似三角形对应边的不同情况进行讨论,只给出一种解答,特别是

12、忽略了三角形全等的情况,甚至不知全等是相似的一种特例本例属于一道讨论题,然而我们所遇到的试题并未有明确它是否需要讨论,所以复习中需要解决的是,遇到什么样的题目需要进行讨论?怎样进行讨论? 一般地,遇有不确定因素的问题时,解答中常需讨论所谓不确定因素包括字母的取值不确定、图形的大小或位置不确定、图形与图形之间的关系不确定等等本例就属于两个相似三角形的边的对应关系不确定,所以解答时需要讨论图516讨论时,首先要明确题目中不确定因素的所有可能情况,然后才能针对这些情况进行讨论例如,在本例中,因为CA与CP的对应关系已经确定,所以只剩下两种对应关系,即CN与CM同时NP与AM对应,或CN与AM同时NP

13、与CM对应但是,在区分不同情况时,一定要有一个固定不变的标准例如,在本例中,我们是以确定CN的对应边为主进行讨论的,否则对于讨论情况的划分可能会有重复或遗漏例6如图516,在ABC和DEF中,已知A=D=70,E=30画直线和m,使直线将ABC分为两个小三角形,直线m将DEF分为两个小三角形：并使ABC分成的两个小三角形与DEF分成的两个小三角形分别相似分析本题突出了数学活动过程的考查,并考查了学生运用数学知识进行数学思考创新的能力及动手操作能力,首先应计算出C=60、F=80,然后确定分割方法分割一个三角形有两种方式：一种是用不经过三角形顶点的直线去分割,另一种所用的直线经过三角形的顶点由于

14、前一种分割将三角形分成了一个三角形和个四边形,它不符合题意,因而分割方式只能是后一种当过三角形一个角的顶点作直线进行分割时,其他两个角的度数不变例如,过B的直线将该角分成和两个角,但A与C仍为原来的70和60这时,若使直线m将DEF分成的两个小三角形与直线将ABC分成的两个小三角形相似,直线m只能过点F,且将F分成一个60角和一个8060=20角,60的角只能在直线m的下方回过头来再看,图中的角和的大小就很清楚了,一定为=30,=20以上便是第一种分割方法,同理可以得到第二种分割方法,然而只能是这两种,因为直线和m都不能过70角的顶点 解答画法只有以下两种,如图517和518所示：图518图5

15、17点评解答本题常见错误是思考与创新能力不足,不能依据相似的要求,有步骤地进行分析,以至于无从着手解答；有的根本不理解题意和解答要求,随意乱画像本例这样的设计图案型的试题,常常是开放式的,结果可以有多种,通常只要求给出一种符合要求的图案即可因为这类题在表述上不像我们所熟悉的作图题和解答题,所以设计前应认真审题,明确是在什么条件下进行设计?设计什么?对于所要设计的图案需达到什么要求?还要确定进行设计的理论根据答题前,最好先在试卷外画出草图,有时还需对草图进行多次修改,认为它符合设计要求后,再正式画在试卷上例7如图519在ABC中点D、E分别在边AB、AC上,给出5个论断：CDAB,BEAC,AE

16、=CE,ABE=30,图519CD=BE1如果论断、都成立,那么论断一定成立吗？2从论断、选取3个作为条件,将论断作为结论做成一个真命题,那么你选的3个论断是；只需填论断的序号用中你选的3个论断作为条件,论断作为结论组成一道证明题,画出图形,写出已知、求证并加以证明图520分析本题立意新颖,灵活的考查了学生的推理意识和思维能力,可采取分析综合法,从结论和条件同时,进行推理,另外,见中点常做的辅助线是平行线,解答1一定成立2、3已知：如图520,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,CDAB,AE=CE,ABE=30求证CD=BE证明：作EFCD交AB与点F,AEFACDAE=CE,AF=FD

17、,CD=2EF,CDAB,EFAB在RtEFB中,EFB=90,EBF=30BE=2EF,CD=BE点评解答本题常犯的错误就是逻辑思维混乱,选不准能使结论成立的条件,或者是不能明确的表达出证明的过程本题是体现新课程理念的一道设计独特的题,它实质上是从等边三角形及其两条高中写出5个论断,然后加以组合来研究新的命题,所以解答本题一定要认真分析,分清条件和结论,然后组成一个或多个新命题,并加以推理和判断例8已知：如图521,等边三角形ABC的边长为6,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=2若点F从点B开始以每秒l个单位长的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t 0时,直线FD与

18、过点A且平行于BC的直线相交于G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O 设EGA的面积为S,写出S与t的函数关系式；当t为何值时,ABGH；图521请你证明GFH的面积为定值；当t为何值时,点F和点C为线段BH的三等分点分析 本题考查学生综合运用有关知识分析问题解决问题的能力1要将EGA的面积S用BF的长t表示出来,须先将这个三角形的一个边及这边上的高用t表示,那么究竟哪条边可用t表示?这就需从已知条件分析了首先看到EGA中有与BF平行的边GA,这就为我们应用相似三角形的有关知识创造了条件2认真观察图形,从整体中找出易于推出ABGH的部分图形,如四边形AGDE3因为GFH

19、夹在两平行线之间,所以它的高是定值,从而只要证明它的底FH是定值就行了证明中,仍然需抓住题目中诸多的平行关系,充分利用相似三角形的有关知识4由点F和点C为线段BH的三等分点出发,确定t的值解答第和题时,务必注意F在射线BC上的不同位置所引起的变化解答1GABF,ADGBDF,AB=6,AD=2,DB=4,又BF=t,作EKAG于KBCA=60,EAK=60,AEK=30,AE=2,AK=1,EK= 2t=4时,ABGH证明如下：t =4时,AG=AG=AE=2,AGE=AEGAGDE,DEC=AGE=AEG,即EG平分AEDAD=AE,DAE=60,ADE是等边三角形,ABGHABCFHDEG

20、图522 3ADGBDF,AGECHE, 当点F与点C重合时,显然BD=FH；当点F在BC边上时,BC=BF+FC=CH+FC=FH；当点F在BC的延长线上时,BC=BFFC=CHFC=FH 综上所述,底边FH的长始终不变AGBH,GFH的高始终不变GFH的面积为定值 4当t=3或12时,点F和点C为线段BH三等分点证明如下：当t =3时,BF=3BC=6,点F在BC边上,显然BC=FC=3当t=12时,BF=12BC=6,点F在BC的延长线上,显然BF=FC=6BF=CH,t=3或12时都有BC=FC=FH,即点F和点C为线段BH的三等分点点评 本试题是中考压卷题,含有动点,又是多问,还需探

21、索,面对这种试题多数学生会产生不小的心理压力,这种压力严重地阻碍了思路的形成另外,还会有许多学生可能忽略点F在射线上运动,从而没有进行必要的讨论另外,1本例第2和4小题属于一类探索题,其设问形式通常是当x时,y成立,它要求解答者探索使成立的探索常用的方法为逆推法,即首先假设成立,将其作为已知去推求如本例第2题的探索过程是：如图521,假设ABHG由AD=AE,DAE=60,可知ADE是等边三角形,AEG=DEGAGDE,AGE=DEG=AEG AG=AE=2,即当然,证明时需将上述探索过程反过来2本例中含有动点,随着点的运动,部分图形一定会有所改变因此,在解答第3、4小题时,需要分情况进行讨论一般地,在解答含有动点、动线或运动的其他图形的问题时,可能需要分类讨论3本例第3小题中,在证明BF=CH时,所用到的知识是相似三角形的判定与性质这里提供了一个证明线段相等的方法：欲证线段=,可证7 / 7