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1、 第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1直接法根据条件与一些根本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。练习：1平面动点到点的距离与到直线的距离之比为2，那么点的轨迹方程是。2设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面的轨迹是A直线B椭圆C抛物线D双曲线2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一
2、要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2假设为的两顶点，和两边上的中线长之和是，那么的重心轨迹方程是_。练习：4方程表示的曲线是A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其根本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。例3椭圆中,过的弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_。练习：5以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。6双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两
3、点，使为线段的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点在方程的曲线上移动；另一个动点随的变化而变化；在变化过程中和满足一定的规律。例4 是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。练习：7，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进展讨论；参数取值的变化使方
4、程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值围的变化等等。例6过点作直线交双曲线于、两点，。1求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；2是否存在这样的直线，使矩形？假设存在，求出的方程；假设不存在，说明理由。练习：8设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:(1)动点的轨迹方程； (2)的最小值与最大值。9设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且，过作于，求点的轨迹方程。6交轨法假设动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7
5、是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。练习：10两条直线和的交点的轨迹方程是_。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性和“纯粹性，即轨迹假设是曲线的一局部，应对方程注明的取值围，或同时注明的取值围。2“轨迹与“轨迹方程既有区别又有联系，求“轨迹时首先要求出“轨迹方程，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏和“去掉增多的点，假设轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。练习参考答案12解：设点的坐标为，那么由方程，得由于直线与椭圆交于两点、，故即、两点的坐标分
6、别为由题知即即所以点的轨迹方程为3D 【解析】在长方体中建立如下图的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面，设在平面动点满足到直线与的距离相等，作于，于，于，连结，易知平面，那么有，(其中是异面直线与间的距离)，即有，因此动点的轨迹是双曲线，选D.4A5解 设，PMA那么，由，OB两式相减并同除以得 ,而, 又因为所以 化简得点的轨迹方程6先用点差法求出，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进展检验，而双曲线必须进展检验。7解：设，那么由即所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。点是点关于直线
7、的对称点。动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有即故动点的轨迹方程为。8解：(1)解法一:直线过点，设其斜率为,那么的方程为记、由题设可得点、的坐标、是方程组 的解 将代入并化简得,所以于是 设点的坐标为那么消去参数得当不存在时, 、中点为坐标原点,也满足方程,所以点的轨迹方程为解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上,所以 得,所以 当时,有并且 将代入并整理得 当时,点、的坐标为，这时点的坐标为也满足,所以点的轨迹方程为(2)解:由点的轨迹方程知，即所以 故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值, 最大值为9解法1 ：(常规设参)设，那么由共线得 那么把代入上式得化简得的轨迹方程为)解法2： (变换方向) 设的方程为，那么的方程为由 得 ， 由得所以直线的方程为 因为，所以直线的方程为即得的轨迹方程: 解法3： (转换观点) 视点为定点,令，由可得直线的方程为, 与抛物线联立消去得,设，那么 又因为，所以故即所以点的轨迹方程为109 / 9
6-圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)
