江西省北阳四校高三开学摸底考试数学文科试题解析版

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1、2017届江西省“北阳四校”高三开学摸底考试数学（文科）试题一、选择题1设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,所以,选D.2设向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,所以3已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】试题分析：，对应点在第四象限，故，A选项正确.【考点】复数运算4将4个不相同的小球放入编号1、2、3的3个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个“和谐盒”，则恰有有两个“和谐盒”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】恰有

2、有两个“和谐盒”的事件数为 所以概率为,选D.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5已知，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】C【解析】试题分析：设，则，因此重心的纵坐标为，选C.【考点】直线与抛物线位置关系6某几何体的三视图如图所示，则该几

3、何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积，故选A.【考点】1.三视图；2.多面体的体积.7“，成等差数列”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，成等差数列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否

4、定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件8已知函数（）的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只需把的图象（ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题意得 ,所以 向左平移 个单位长度得,选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A.

5、 5 B. 7 C. 9 D. 11【答案】C【解析】循环依次为 结束循环,输出选C.10函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,当 时;当 时;因此选D.11已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为 ,选A.12已知函数，直线与函数的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 若关于的方程恰有三个不同实根，

6、则取值唯一【答案】D【解析】作图,由图知, 且，因为 ，所以 ，若关于的方程恰有三个不同实根，则或 ，所以选D.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、填空题13已知数列满足（）且，则_【答案】2012【解析】试题分析：由题意可知是以为首项，2为公比的等比数列，【考点】等差数列、等比数列通项公式的求法14函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是_【答案】【解析】 15若，满足约束条件则当取最小值时，的值为_【答案】1【

7、解析】可行域如图，所以当 时，取最小值时，即的值为1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意得 ，所以 三、解答题17在中，.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知两角及一对边求另一对边，应用正弦定理求解：先利用同角三角函数关系求，再根据正弦定理

8、求的长；（2）先根据三角形内角关系及两角和余弦公式求，再利用同角三角函数关系求A，最后根据两角差余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以 .由正弦定理知，所以.（2）在中，所以，于是 ，又，故.因为，所以.因此， .18如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，垂足分别为，四边形为菱形，且.（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据线线平行得线面平行平面，平面.,再根据线面平行得面面平行:平面平面，最后根据面面平行得线面平行:平面.（2）先找垂面平面，再分割:，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）由题意知，平

9、面，平面，平面，又，平面，平面，平面.，平面，平面平面，又平面，平面.（2）连接，且，四边形为菱形，又平面，又，平面，又，该几何体的体积为.19随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：（）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；（）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式：，【答案】（1）（2）正相关，回归直线的方程为,

10、估计值为42【解析】试题分析：（1）利用枚举法确定从这5年中任意抽取两年，所有的事件个数:10;再从中确定至少有1年多于20个的事件数:7,最后根据古典概型概率公式求概率,（2）先计算平均数，再代入公式求,根据值的正负确定正相关还是负相关；利用求,最后求自变量为2019时对应函数值试题解析：解：（）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：，共10种，至少有1年多于20人的事件有：，共7种，则至少有1年多于20人的概率为.（）由已知数据得， ； ；所以，所以是正相关，回归直线的方程为则第2019年的估计值为20如图，在中，是其垂心，的延长线与边和的外接圆分别交于点、，且.（1）求的大小；（2）证明

11、：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据垂心的定义可得,再根据可得,因此.（2）先根据三角形相似得,再根据等角对等边得,即得结论试题解析：解：（1）在中，是其垂心，CE交AB于H,有，又，所以，故.（2）由（1）知，则，即，连接，则，所以，可知，从而有.21已知函数（）在处取得极值.（1）求、满足的关系式；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得,求导代入即得、满足的关系式；（2）化简不等式得，即解，根据a与零的大小分类讨论.试题解析：解：（1），又由题意得，即、满足的关系式是.（2）由得，即，当时，不等式的解集为，当时，不

12、等式的解集为.22如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于，两点，圆心在的内部，点是的中点.（1）证明，四点共圆；（2）求的大小.【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）点P是圆的切点，所以,点M是弦BC的中点，所以,可知四边形的对角互补，所以，四点共圆；（）由（）得，四点共圆，所以根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据,易得的大小.试题解析：（）证明：连结，因为与圆O相切于点，所以因为是圆O的弦的中点，所以于是由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以，四点共圆（）解：由（）得，四点共圆，所以由（）得由圆心在的内部，可知所以【考点】圆的相关性质23在直角坐标系中，曲线的参

13、数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值.【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）【解析】试题分析：（1）先根据加减消元法得曲线的普通方程，利用 将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线标准参数方程：，则根据参数几何意义得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得值，即得的值.试题解析：解：（1）曲线：；曲线：；（2）将（为参数）代入的直角坐标方程，得，所以；所以.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t

14、可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.24设函数（）.（）当时，求不等式的解集；（）若方程只有一个实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2） .【解析】试题分析：利用零点分区间讨论法解绝对值不等式，转化为，只有一个根，转化为函数 与的图象只有一个交点，画出 的图象解决.试题解析：（）依题意：原不等式等价于：，当时，即：，此时解集为；当时，即：，此时；当时，即：，此时.综上所述：所求的解集为：.（）依题意：方程等价于，令. （图象如图）.要令原方程只有一个实数根，只需或.实数的取值范围是 .【点睛】本题为不等式选讲，属于选修内容，解绝对值不等式是常见考试题，只需分段讨论去解；利用转化思想解决零点问题也是常考问题，画出函数图像，把零点问题转化为图象与 轴的交点问题去解决.第 15 页 共 15 页