固体物理学问题详解朱建国版

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1、word10:19配合固体物理学朱建国等编著使用固体物理学习题指导51 / 53第1章 晶体结构1第2章 晶体的结合12第3章 晶格振动和晶体的热学性质20第4章 晶体缺陷32第5章 金属电子论35第1章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代外表心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于 多少？答：由题意，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离

2、为：Rb=a那么，=1.2 晶面指数为123的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？假如ABC面的指数为234，情况又如何？答：晶面族123截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2，OC的长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。假如ABC面的指数为234的晶面族，如此A、B和C都不是格点。1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴，夹角，如下表所示。序号晶系基矢长度与夹角关系

3、布拉维晶胞类型所属点群1斜方任意简单斜方图中1所示1，22正方简单正方图中2所示4，4mm3六角简单六角图中3所示3，3m，6，6mm4长方简单长方图中4所示有心长方图中5所示1mm，2mm1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数hkil来表示，如下列图，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-h+k 并将如下用hkl表示的晶面改用hkil表示：001100010答：证明设晶面族hkil的晶面

4、间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族hkil中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 (1)由于a3=a1+ a2把1式的关系代入，即得根据上面的证明，可以转换晶面族为0010001，100，010，1.5 如将等体积的硬球堆成如下结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为1简立方：2体心立方：3面心立方：4六方密堆积：5金刚石：。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：边长为a的立方晶胞中堆积比率为假设硬球的半径都为r，占据的

5、最大面积与总体积之比为，依据题意1对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：=2对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，如此其边长为，那么：=3对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，如此其边长为r，那么：=4对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为0001/3，2/3，1/2，在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此=5对于金刚石结构Z=8 那么=.1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失以nm为单位a=3i，b=3j，c=1.5i+j+k，此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：1这

6、种晶格属于哪种布拉维格子？2原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：1因为a=3i，b=3j，而c=1.5i+j+k=1/23i+3j+3k=1/2a+b+c式中c=3c。显然，a、b、c构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。2晶胞的体积= =27*10-30(m3)原胞的体积=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失为：，求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积=ab*c=那么，倒格子的基矢为 ， ，其第一布里渊区如下列图：1.8 假如基失a，b，c构成正交晶

7、系，求证：晶面族hkl的面间距为答：根据晶面指数的定义，平面族hkl中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为，。该平面ABC法线方向的单位矢量是这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到故1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角如下序号12345/钽为体心立方结构，试求：1各谱线对应的衍射晶面族的面指数；2上述各晶面族的面间距；3利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和h+k+l为奇数时，衍射条纹消失。只有当h+k+l为偶数时

8、，才能产生相长干预。因此，题给的谱线应依次对应于晶面110、200、211、220和310的散射。由布喇格公式得 同法得应用立方晶系面间距公式可得晶格常数把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为取其平均值如此得1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看如下图，晶体点阵初基矢量为用正交关系式求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设由得到下面四个方程式 1 2 3 4由1式可得：由2式可得：由3式可得：由4式可得：于是得出倒易点阵基矢补充习题：1.11 什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明。答：晶体

9、是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规如此的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。1.12 什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。1.13 什么是布拉维原胞？什么是WS原胞？答：布拉维原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。1.14 试计算面心立方和体心立方的堆垛因子答：设面心立方晶胞的边长为a，如此堆垛

10、成面心立方晶胞的原子半径最大为。由于面心立方体晶胞中有个原子，所以面心立方的堆垛因子设体心立方晶胞的边长为a，如此堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为。由于体心立方晶胞中有个原子，所以体心立方的堆垛因子1.15 绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。1.16 试绘出二维正方晶格的WS原胞，设边长为a。答：1.17 请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻第一近邻到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为。第n近邻简立方体心立方面心立方原子数原子间距原子数原子间距原子数原子间距1681221266381224

11、462412524824624687122424728302469242412102424241.18 绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。答：金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成。1.19 绘出立方晶胞里的晶向与晶面：答：1.20 绘出六方晶胞里的晶向与晶面：答：1.21 按照WS原胞的构造法，如果BCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？如果BCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？答：原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面

12、体的六个角，形成的14面体八个面是正六边形, 六个面是正四边形。1.22 为什么晶体没有5次对称轴，而准晶体有5次对称轴？答：设在图中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。晶体中某一晶面的晶列（1） 旋转角，通过A处的u轴顺时针方向转过后，使B1点转到B，假如通过B处u轴逆时针方向转过角后，A1点转到A。经过转动后，要使晶格能自身重合，如此A、B点必须是格点，由于A、B和AB平行，AB必须等于AB的整数倍，即，于是。（2） 旋转角，同理，有，于是有综上，旋转角改写为。即晶体中只存在1、2、3、4、6次转轴。另外一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性

13、的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有5次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有5次对称轴。1.23 试写出沿x2轴有90旋转轴的变换矩阵。答：1逆时针旋转2顺时针旋转1.24 举例宏观对称元素与微观对称元素宏观：转动 对称中心 反演 对称面 反映微观：平移和平移轴 螺旋旋转与螺旋轴 滑移反映和滑移面1.25 对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？答：在晶体中，电位移矢量与电场强度间的关系可以写为：对于立方晶系，当把电场E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作一样的转动。用D表示转动后的电位移矢量。设电场E沿着立方轴y，

14、这时，但是，转动是以E为轴的，实际上电场并未改变。而上述转动又是立方体的一个对称操作，所以转动前后晶体没有任何差异，电位移矢量D应不变，即代入，可得：，即如果取E沿z方向，并绕z轴转动，同理，可得：的非对角元都等于零，于是，再取电场沿立方体方向，如此绕轴转动，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，如此转动后的D写为与前论述的一样，电场实际是没变的，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变，所以，D和D应一样。第2章 晶体的结合解：1离子键：无方向性，键能相当强；2共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；3金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个

15、晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有；4X德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与成反比函数关系，该键结合能较弱；5氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子如O，F，N等相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。解：解：根据弹性模量的定义可知1上式中利用了的关系式。设系统包含个原子，如此系统的内能可以写成2又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距的函数，即3上式中为与晶体结构有关的因子如面心立方结构，。又因为 45考虑平衡条件，得，那么5式可化为6将6式代入1式得：，所以解：在平衡位置时有

16、12将离解能eV和nm,代入1和2式可得：eVm2，eVm10。解：由题意有以下方程成立：把，的具体数值代入上述方程组，即得：由此可得：，该晶体的有效弹性模量为：又上式中表示晶体中所含的原子个数 ，表示与晶体结构有关的因子故1010 解：1在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；2在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；3在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故；4在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；5在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。解：解：解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0，晶胞基矢长为2r0NaC l晶体中Na+和Cl-的最近距离

17、为。晶胞基矢长为 2，一个晶胞中含有四对正负离子对。 一个原胞一个NaCl分子的体积为：= NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为： 由晶体体积弹性模 量的公式： =由平衡时离子晶体的内聚能公式：， 将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为： =解：1在平衡时，有下式成立1 由上式可得2设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为，那么有2设为2个原子间的最短距离，如此有，那么2式可化为3其中3式中，。那么每个原子的平均晶格能为解：.假如NaCl晶体的马德隆常数，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：（1） 离子间距增加多少？（2） 负压强的理论值是多大？解：1设该

18、NaCl晶体的含有个离子，如此其相互作用势能为1上式中的指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为，如此有。由平衡条件可知2 由2式可得：。当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有3将代入3式可得因而离子间距增加了2.12 试利用中性计算三维NaCl晶体的马德隆常数。2.13 试求出GaAs的离子键比例，Ga、As的电负性分别为1.5、2.0。2.14 Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时Kr晶体的结合能。解：第3章 晶格振动和晶体的热学性质51027kg，恢复力常数15Nm1 解：一

19、维单原子链的解为 据周期边界条件 ，此处N=5,代入上式即得 所以 2为整数 由于格波波矢取值X围：。 如此 故可取2，1，0，1，2这五个值 相应波矢：,0, 由于，代入，m与q值 如此得到五个频率依次为以rad/sec为单位10131013101310133.2 求证由N个一样原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N解：对一维单原子链， 所以 1 由色散关系 求得 2 而， 如此由1式可得 由于 ，如此总的振动模数为 令，如此积分限为0到 ， 故3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为解：由书上369式

20、可得 1由371可得 由此可得 ，代入1式得3.4 对一堆双原子链，原子的质量51027kg，另一种原子的质量M4m，力常数15Nm1，试求（1） 光学波的最高频率和最低频率和；（2） 声学波的最高频率；（3） 相应的声子能量以eV为单位；（4） 在300K可以激发频率为，和的声子的数目；（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：12 3， ， 4光速 ，3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10， 且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图， 10 10mx2n-

21、1 x2n x2n+1 x2n+2原子的运动方程应是即 求格波解， 令，代入运动方程，可导出线性方程组为：令，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得可解出 色散关系见如下图时，时，3.6在一维双原子链中，如，求证 证 由书中3.22式知，双一维原子链声学支， 由近似式， 得， 对，由于，3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。证 由318第一式得 ，当 时 且对声学支，代入上式即得： ，故A0， 轻原子静止 再由318第二式得 ，当 时 且对光学支，代入上式即得 故B0， 重原子静止3

22、.8 设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率，其中M是原子质量。解 当质量为M的原子以频率与等于原子间距的10的振幅振动时，其振动能为： 在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为，于是有，由此得3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容证明：由书可知在高温时，如此在整个积分X围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为 将上式代入的表达式，得3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由369式知，状态密度 如此 3.11 在德拜近似的根底上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格

23、的比热，证明在低温下其比热正比于证明：解法一此题可推广到任意维m，由于 而德拜模型中，故 令，如此上式变为 在低温时 如此积分 为一个于T无关的常数 故 对三维 m3 对此题研究的二维 m2 对一维 m1 解法二德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为的格波的色散关系是。在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个的圆环，如下列图在区间内波速为的格波数目式中S是二维晶格的总面积，由此可得波速为的格波的模式密度考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度格波的振动能晶格的热容量3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为， b为待定常数， 平衡间距，求线膨胀系数。 解：由书上3.1

24、14式知，线膨胀系数 其中：， 由平衡条件， 由于 ，3.13 三维晶体在附近一支光学波的色散关系为 ， 试求格波的频谱密度 解： 如此 这是q空间的一个椭球面，其体积为，而， q空间内的状态密度 ，故椭球内的总状态数N为 故 补充习题：3.14 具有二维矩形点阵的简单晶格，设原子质量为M，晶格常数分别为a和b，最近邻原子间相互作用的恢复力为，试求此系统沿；的格波色散关系。 3.15 Cu，金刚石，NaCl晶体应该分别有几支色散关系？解：Cu有 3支声学波；金刚石有3支声学波，3支光学波；NaCl有3支声学波，3支光学波。3.16 对于简立方晶胞，设原子质量为M；晶格常数为a；最近邻原子间相互

25、作用的恢复力为。试求此系统沿方向的格波色散关系。3.17 对于一维单原子点阵，简正模式的色散关系为式中，为回复力系数，M为原子质量。1导出模式密度的准确表达式()；2在德拜模型下，求出德拜截止频率最大频率D.解答:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如如下图所示:由色散关系的对称性可以看出,d区间对应两个同样大小的波矢空间dq.区间对应L/a个振动模式,单位波矢区间对应有L/2X围如此包含个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为.由色散关系得:所以,模式密度:(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质,把格波看作弹性波.代入可以求出:3.18 由正负离子组

26、成的一维原子链，离子间距为a，质量都为m，电荷交替变化。原子间的互作用势是两种作用势之和：a近邻两原子之间的短程作用，力常数C；b所有离子的库仑作用。求：1库仑力对力常数的贡献 2色散关系解：3.19 什么是声子？试比拟声子与电子的异同点解：声子不能脱离固体存在，声子只是格波激发的量子，在多体理论中称为集体振荡的准粒子。3.20 什么是布里渊散射？什么是喇曼散射？解：光子于与长声学波声子的相互作用一般称之为光子的布里渊散射。光子也可与光学波声子相互作用，这称为光子的喇曼散射。两种散射都不会有倒逆散射。下的能量为0.02eV，试求在300K时这个格波的平均声子数是多少？如果能量为0.2eV；2e

27、V，平均声子数又是多少？解： ，3.22 如果晶体做严格的简谐振动，如此格林爱森常数等于多少？简谐近似是指势能函数展开式只取到二阶项，在简谐振动情况下，势能函数展开式中的三阶与以上系数均为零，所以在此情况下，。第4章 晶体缺陷4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否一样？为什么？答：空位与间隙原子的平衡浓度值是不一样的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是一样的。.4.3如果空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式可得=5.682*10-124.

28、4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克制的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。P87答：由公式可得=2*1015*0.02=4*10134.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。1试证明：n/N=Bexp-W/2kBT；2试求有肖特基缺陷后体积的变化V/V，其中V为原有的体积。答：1设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为同时

29、，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数由此而引起晶体熵的增量为设形成一对正、负离子空位需要能量w，假如不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，如此晶体自由能的改变1热平衡时，并应用斯特令公式，从1式得因为实际上Nn，于是得n/N=Bexp-W/2kBT2对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是式中a为离子最近邻距离。因为为晶体原有的体积，有上式可得4.6扩散系数与温度之间的关系为：如下数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K8781007117612

30、531322D/m2s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16试确定常数Do和扩散激活能EA.答：由公式，可得当T=878，D=1.6*10-20时，D01=铜和硅的空位形成能Eu分别是和。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。答：由公式可得：对于铜对于硅碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570上升到620时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。答：一价负离子空位俘获一个电子形成F心，所以F心的数目可以看作是一价负离子空位的数目，由

31、平衡时空位的数目4.7式，可得F心的数目，其中，解，得考虑一体心立方晶格：1试画出110面上原子的分布图；2设有一沿方向滑移、位错线和平行的刃位错。试画出在110面上原子的投影图。答：如下列图：求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向即沿该方向的周期最小。1体心立方：滑移面为110面，滑移向为111，最小滑移矢量b即111晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，如此2面心立方：滑移面为111，滑移向为101。最小滑移矢量b等于101方向上相邻格点间的距离，即3六角密堆：滑移面是基面0001，滑移向

32、是。晶向上原子间距为a，因此，在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。答：刃位错滑移矢量与位错线垂直 螺位错滑移矢量与位错线平行ab=0故是刃位错，滑移面第5章 金属电子论5.1 银是单价金属，费米面近似球面，银的密度rm103kg m-3，原子量A10-3W10-3W m课本数据有误。试计算：（1） 费米能级和费米温度；（2） 费米球半径；（3） 费米速度；（4） 费米球的最大截面积；（5） 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程。 P111解：电子数密度。(p103)费米波矢

33、（1） 费米能费米温度（2） 费米球的半径（3） 费米速度（4） 费米球的最大横截面积（5） 平均自由时间，平均自由程 p105-106根本电荷室温下，绝对零度附近，5.2 1求出二维情况下电子浓度n 和kF的关系式；（2） 求出二维情况下rs和kF的关系式；3证明在二维情况下，g(e)=常量，当e0，或者g(e)=0，当e0，并求出这个常量的值。解：1由周期性边界条件得到，和其中和是任意的整数于是一个k态在k空间中所占据的面积为：。费米波矢k是费米面的半径，于是有：，所以。2在自由电子近似下，每个电子占有的体积为 解得3在自由电子近似下，二维晶格的K空间的kk+dk圆环内的电子状态数为 p1

34、10，当时，由于，。即 所以单位面积的二维晶格K空间的状态密度函数g(e)当时，5.3 证明单位体积的固体内费米能级EF处的状态密度函数可以写为证：在自由电子近似下，k空间的等能面是一个球面，如此半径为k的球体内电子的状态数为单位体积的固体内电子的状态数为其状态密度又，从而5.4 试用驻波条件讨论k的取值。求g(e)，并与周期性边界条件比拟。解：在自由电子近似下，电子在势阱中的薛定谔方程为，按照别离变数原理，方程可写为：，上述三个方程的解为：，由归一化条件：，可知：，有边界条件：，可得，这里是正整数，所以：，每一个状态点占有的k空间的体积是：k空间态密度为k空间壳层内的电子状态数为：所以周期性

35、边界条件下，可得这是由于在驻波条件下，只能取正数，而在周期性边界条件下，可取正负整数。5.5 电子处在体积V的正交六面体小盒子中，借助测不准关系确定在动量区间pp+dp或能量区间EE+dE中电子的量子态数，求动量和能量分别小于p0和E0的电子态总数。解：因为体积为V的电子体系中的能态密度为 由 ，以与 ，得 = 有测不准关系，电子位置的不确定 ，电子动量的不确定性，所以在动量区间pp+dp或能量区间EE+dE中电子的量子态数为动量和能量分别小于p和E的电子态总数Npp0或EE05.6 电子在边长为L的方匣中运动，求出它的前4个不同能级的所有波函数，给出各能级的能量和简并度。解：由课本5.32式

36、，电子能量不考虑，的情况，如此最小能量分别对应于：为，简并度：3为，简并度：3为，简并度：1为，简并度：3如此波函数分别为： p107时，时，时，时，5.7 限制在边长为L的正方形势阱中运动的N个二维自由电子气能量为，试求能量在EE+dE间的状态数与费米能。解：由，得对于给定的能量，方程在波矢空间是一个圆。在k空间，单位面积内的状态数：半径的圆内的状态数：,能量E到E+dE之间的状态数：能态密度：绝对零度T=0时，体系的总电子数为绝对零度时的费米能量：10-14s，试计算300K时的热导率，如果在273K10-8Wm，试估计它在同一温度下的热导率。解：铜在300K时的热导率铜在273K时的热导

37、率5.9 钠是bcc结构，点阵常数a，试用自由电子模型计算霍尔系数。解：钠中电子浓度霍尔系数5.10 试证明热发射电子垂直金属外表的平均动能是kBT，如此平行于外表的平均能量也是kBT。证：由波尔兹曼分布率知，能量在v v+dvX围内的电子的数量为 应该为EE+dE()电子的均方平均速度 电子的平均动能 由于电子的自旋角动量是，遵从费米-狄拉克统计规律，每个能级上有两个自旋相反的电子，电子在垂直于外表方向的平均能量为同理可说明，平行于外表的平均能量也是kBT。二、简要表示特鲁德模型与索末菲模型的异同点。P103-104, p107第六章 习题解答6.1 一维周期场中电子的波函数应满足布洛赫定理

38、，假如晶格常数为，电子的波函数为1 2 3 f是某个确定的函数 试求电子在这些状态的波矢解：布洛赫函数为 1 ， ， 2 同理， ， ， 3 此处， ，6.2 一维晶格中电子的能带可写成，式中是晶格常数，m是电子的质量，求1能带的宽度，2电子的平均速度，3 在带顶和带底的电子的有效质量 解：能带宽度为 ， 由极值条件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为 当k0时，取极小值，且有当时，取极大值 ，且有 由以上的可得能带宽度为 2电子的平均速度为 3带顶和带底电子的有效质量分别为6.3 一维周期势场为， 其中 ，W为常数，求此晶体第一与第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽

39、度的表示式为 ， 其中是周期势场傅立叶级数的系数，该系数为： 求得，第一禁带宽度为 第二禁带宽度为6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出，与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。解： 根据紧束缚近似， 对一维，最近邻 如此 为余弦函数 图省 有效质量 的图也省 在原点附近，很小， 在布里渊区边界，6.5 某晶体电子的等能面是椭球面，坐标轴1，2，3互相垂直。求能态密度。 解：由条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 将上式与椭球公式比拟可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积 比拟可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积 由上

40、式可得 能量区间内电子的状态数目是晶体体积，电子的能态密度6.6 能带为：其中，为晶格常数，试求（1） 能带宽度（2） 电子在波矢状态下的速度（3） 能带底附近电子的能态密度解：1 ，可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值故，能带宽度2 其中 在时（3） 能带底n为偶数，可取为零，故，均很小据有 用和6.5题一样的方法，其中，如此：6.7 用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度与有效质量X量。解：对二维正三角晶格如图，yx6个最近邻的坐标为，代入上式并化简得：电子速度：，其中由于6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能

41、带（1） 证明在k0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。（2） 画出100与111方向的曲线。（3） 画出平面内能量的等值线。解：1面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在将这些Rs代入上式并简化可得： 在k0附近，均很小，利用，x1, 如此得故 由于其余2 在100方向，如此 即可按此函数作图图省 在111方向， 可据上函数作图图省（4） 在平面内， 等值线即 C为常数6.9 对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。解：s态电子能带可表示为对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：，化简后即得：故 由于，可看出时，为极大值，即而，。即时，为极小值，即故带宽在带底附近，由于，用，如此 这显然是一个球形有效质量，所以 在带顶附近，可写为，很小如此这显然也是个球形而，6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数X量为求有效质量X量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质解：的逆矩阵即为矩阵，用矩阵计算方法，可求得， ， 其余为0 为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开有用的仅二阶项，并假定能带底E0，在能带底一阶导数为0，即，且故有显然等能面是一个椭球面