412圆的一般方程

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1、4.1.2 圆的标一般方程 韦利华圆的标准方程圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径 复习复习 动动手动动手把把圆的圆的 标准方程标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得 x2 y 2DxEyF0 - -22222202= =- -+ + +- -+ +rbabyaxyx由于由于a, b, r均为常数均为常数FrbaEbDa= =- -+ += =- -= =- -2

2、22,2,2令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式1.是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示方程表示 的曲线是圆呢？的曲线是圆呢？ 思考思考2.下列方程表示什么图形？下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.配方可得：配方可得：把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0 (1) 当当D2+E2-4F0时时,表示以（表示以（ ） 为圆心，以为圆心，以( ) 为半径的圆为半径的圆.2,2ED- - -FED42122- -+ +22

3、224()()224DEDEFxy+ +- -+ + + += =(2) 当当D2+E2-4F=0时时,方程只有一组解方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（ ）.2,2ED- - - 动动脑动动脑(3) 当当D2+E2-4F0时时,方程无实数解方程无实数解,所所以以不表示任何图形不表示任何图形.所以形如所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy+ +- -+ + + += =圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：

4、(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED42122- -+ +没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；1. A C 0 圆的一般方程：圆的一般方程：与二元二次方程：与二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的关系的关系:x2 y 2DxEyF0(D2+E2-4F0)2. B=03. D2E24F0 二元二次方程表二元二次方程表示圆的一般方程示圆的一般方程圆的一般方程与二元二次方程的关系圆的一般方程与

5、二元二次方程的关系 判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能写若能写出圆心与半径出圆心与半径(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1，-2）半径）半径3是是圆心（圆心（3，-1）半径）半径10不是不是不是不是不是不是 练习练习3 , 6, 4)(- -A3 , 6 , 4)(- -B3, 6 , 4)(- - -C3, 6, 4)(- - -DD 练习练习1. 已知圆已知圆 x2+y2+Dx+E

6、y+F=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于例例2 求过三点求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的的圆的方程方程,并求圆的半径长和圆心坐标并求圆的半径长和圆心坐标.用待定系数法求圆方程的基本步骤：用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1 1）设圆方程）设圆方程 ；（；（2 2）列方程组；）列方程组；（3 3）求系数；）求系数； 如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心

7、坐标或半径都无直接关系如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆往往设圆的一般方程的一般方程.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式 举例举例例例. 已知一曲线是与两定点已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距距离的比为离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线并画出曲线. 举例举例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=- -解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法直译法 举例举例

8、例例3. 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是（4，3），端点），端点A在圆（在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹方程方程.圆的方程圆的方程（x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0知知D、E、F知知a、b、rD2+E2 4F0配方配方展开展开 知识结构知识结构1. 本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为其表达式为(用配方法求解用配方法求解)3. 给出圆的一般方程给出圆的一般方程,如何求圆心和半径如何求圆心和半径? - -+ += =+ + + + +0402222FEDFEyDxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径) 小结小结若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆我们一般采用圆的标准方程较简单的标准方程较简单.4. 要学会根据题目条件要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式恰当选择圆方程形式:若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解一般方程用待定系数法求解. 小结小结课本P123 练习1，2，3 作业作业