数学物理方程总结

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1、. .理工大学数学系第一章 ：偏微分方程的根本概念偏微分方程的一般形式：其中是自变量，是未知函数偏微分方程的分类：线性PDE和非线性PDE，其中非线性PDE又分为半线性PDE，拟线性PDE和完全非线性PDE。二阶线性PDE的分类两个自变量情形： 一般形式 记为 PDE1主部目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类非奇异 根据复合求导公式最终可得到：其中：考虑如果能找到两个相互独立的解那么就做变换 从而有在这里要用到下面两个引理：引理1：假设是方程 (1)的特解，那么关系式是常微分方程： 2的一般积分。引理2：假设是常微分方程2的一般积分，那么函数是1的特解。由此可知，要求

2、方程1的解，只须求出常微分方程2的一般积分。常微分方程2为PDE1的特征方程，1的积分曲线为PDE1的特征曲线。 记 那么：一维的波动方程：一维的热传导方程高维的情况只需要把改为laplace的形式即可。数学物理方程泛定方程加上相应的定解条件就构成了定界问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题Dirichlet：定解条件仅有初值条件边值问题Neumann：定解条件仅有边值条件混合问题Rbin BC：定解条件有初值条件也有边值条件数学物理方程的解：如果一个函数在某一自变量的取值区域有所需要的各界连续的导函数，并且带入数学物理方程使方程成为等式，称此函数为在该取值区域方程的解。

3、定界问题的适定性： 如果一个定解为题的解存在，唯一且稳定，就称这个定界问题是适定的；反之，假设有一个性质不满足，那么称这个定界问题是不适定的。 所谓界存在，是指定解问题至少有一个解。如果一个定界问题的解不存在，这个问题就完全失去了意义，但定界问题反响的是客观物理实际，在实际问题中解释存在的。假设定解问题的解不存在，说明所建立的定界问题是错误的，可能是在推导过程中有非次要因素被忽略掉了，导致泛定方程错误，还有可能定解条件给错了等。这就需要重新考虑定解问题的提法。 解的唯一性从物理意义上讲是显然的，如果解存在但不唯一，将无法确定所求解是否是所需要的，当然也无法求近似解。这说明问题的提法还不够确切，

4、需要进一步分析。 所谓解的稳定性，是指当定解问题有微小变动时，解是否相应地有微小的变动，如果是这样，该解就是稳定的解；否那么所得的解就没有实用价值，因为定解条件通常是利用实验方法所获得的，因而所得到的结果有一定的误差，如果因此导致解的变动很大，那么这种解显然不符合客观实际的要求。而我们多学的定解问题都是经典问题，他们的适定性都是经过证明了的。第二章 ：别离变量法别离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项别离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求

5、出各个方程的通解；4、最后将这些通解组装起来。别离变量法是求解偏微分方程最根本最常用的方法。主要根据的理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解。下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论观察注意其特点是： 方程齐次, 边界齐次.端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为(2) 各点振幅随点而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示设且不恒为零，带入方程和边界条件

6、中得到1由于不恒为零，有：23利用边界条件：45参数成为特征值。函数成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题i方程的通解为由边值条件得C1 =C 2=0 从而 ii方程的通解同样的到，iii时，通解由边值条件得 得到从而，故 即 而由于再求T：其解为：所以根据叠加原理可以得到：定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。解的物理意义u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不一样的驻波叠加而成。 n1的驻波称为基波,n1的驻波叫做n次谐波. 注意：别离变量法适用围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函

7、数和运用叠加原理。对于不同类型的定解条件做了如下总结左端点右端点特征值特征函数取值围一一n=1,2,3，。一二n=0，1,2，。二二n=0，1,2，。二一n=0，1,2，。齐次化原理：Duhamel设上的函数关于自变量x，t二次可微连同关于x和t的一阶和二阶偏导数都对在上连续，且满足：那么函数是下面方程的解：1、 圆域上的laplace方程定界问题边界条件想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标。挖掘边界条件: r的边界是0和a, j的边界是0和2.自然边界条件有限值，周期边界条件：，别离变量令，带入极坐标Laplace方程：得到： 于是可以化为下面两个常微分方程：、求解式1的本征函数得到：在求

8、解2式，形式上是欧拉方程，因此可以通过来进展代换，得：因此式2化简为：它的通解是：m=0时，m0时，由自然边界条件u(0,j)=有限值 可知=0和=0.所以，原Laplace方程的通解为：再代入边界条件：上式实际上就是f(j)的傅立叶级数展开式，所以待定系数可以确定： 二维Laplace方程的一般解为：1) 如果考虑圆问题那么其解为：2) 如果考虑圆外问题那么其解为：3) 如果考虑是圆环问题，那么其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件，因此在这里就不多说了，其求解原理和方法和求解其次边界条件问题是一样的。第三章 ：行波法和积分变换行波法：1. 根

9、本思想:先求出偏微分方程的通解，然后用定界问题确定特解。2. 关键步骤：通过变量代换，将波动方程化为便于积分的其次二阶偏微分方程3. 适用围：无界域的波动方程等达朗贝尔公式：其解为：一味的达朗贝尔公式再次引入一个平均值函数 为了应用这种表达式在这里令a=x+at;b=x-at 那么有 那么达朗贝尔公式可以表示如下形式：解的物理意义：a. 只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波，代表以速度a 沿x 轴负向传播的波。b. 只有初始速度时：，假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0，。结论是：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。相关概念：当

10、方程为非齐次时：由叠加原理可知，如果vx，t是初值问题：的解。wx，t是初值问题：那么u=v+w是初值问题*的解，即可直接写出*的解ux，t为：这个公式成为一维非齐次波动方程初值为题解的Kirchhoff公式半无界弦的振动问题：1. 端点固定求解的思想是，把它转化为无界弦的振动问题，因此需要做一个奇延拓：那么问题转化为：即解为：通过讨论t的围分为xat,和0x=at可以得到原来要求方程的解.2. 端点自由思路同上只不过是把延拓改为偶延拓：、三维波动方程的初值问题记 球对称情形化为球面坐标系:令那么所谓球对称是指无关，那么波动方程可化简为：又可以化为：这是关于 v = r u 的一维半无界波动方

11、程.我们利用球面平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况，所谓球平均法，即对空间任一点x，y，z，考虑 u 在以x，y，z为球心，r 为半径的球面上的平均值。直接得出三维波动方程的解为：并令那么得到：二维波动方程的初值问题求解方法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。 由Hadamard最早提出的。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在上的球面积分可由在圆域：上的积分得到。r=at由和可以得到二维波动方程的解为：物理意义：三维情况是惠更斯原理有清晰的前锋和后尾 二维情况是波的弥散有清晰的前锋但无后

12、尾积分变换Fourier变换和Laplace变换1. Fourier变换： 定义：性质：1. 线性性质：2. 尺度性质：3. 位移性质：4. 微分性质：一般情况下有5. 积分性质：6. 卷积公式：7. Parseval等式Laplace 变化及性质性质：1. 线性性质2. 相似性质3. 微分性质： 一般情况 4. 积分性质：5. 乘多项式性质：6. 延迟性质：7. 初值定理:8. 终止定理:9. 卷积公式：第四章 ：拉普拉斯方程的green函数法Green函数：格林函数,又称点源影响函数,是数学物理中的重要概念,代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场,而知道了点源的场,可以用叠加的

13、方法计算任意源产生的场.。第一green公式：同理 第二green公式：两式相减就得到green第二公式讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程而第一,第二,第三类边界条件可以统一表示为其中f是区域边界上给定的函数，为第一类边界条件Dirichlet BC，为第二类边界条件Neumann BC；为第三类边界条件Robin BC三维空间Laplace方程的根本解：定点是动点是二维空间Laplace方程的根本解：，动点是根本解：调和函数的性质：1) .牛曼问题有解的必要条件2) 平均值公式那么3) 极值原理：那么只在区域的边界上取得最大值和最小值.Dirichlet问题的解释唯一的，Ne

14、umann的解只相差一个常数也是唯一的二 狄问题Green函数法的步骤（1） 、半空间问题;(镜象法构造green函任取置+e电荷，在对称点置-e电荷，那么任意点M的电位当M位于边界上时有2.球域其格林函数是：（3） 推广：第一挂限和第二挂限它的格林函数的形式是：图和上述第一种类型图相似，其中点是关于xoz平面的对称点，点是点关于xoz平面的对称点。(4) 在上半半平面的半球域构造格林函数法思想如第三种类型其格林函数是：其中点是关于xoy平面的对称点，点是点关于xoy平面的对称点。课程感悟：通过这门课程让我学到了怎样去解一些简单的偏微分方程，了解古典方程的类型，明白了其物理意义和现象。中间教师给我们布置了一个小论文，让我明白了现在自己的知识很有限，这样就需要查阅更多的资料和文献。在无形中就提高了自己的知识面和自己的写作的能力。这样的训练让我受益匪浅，虽然在花费了大量的时间在这门课上，但是我觉得很值得。现在了解了最简单根本的方程和模型，我相信这对以后的学习会有很大的帮助。教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。优选