有限域上地多项式理论

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1、word密级：公开有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields33 / 37摘 要域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的根底，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进展推广，将有关的性质、定理在有限域上进展验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。当下，通信技术已经飞速开展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域

2、上的多项式在该领域的一个具体应用利用本原多项式来进展纠错码的操作。正文局部的结构组成包括：有限域的根本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式与本原多项式在纠错码中的应用。本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大局部的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在局部章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码AbstractWith the concept of th

3、e field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in bination of design, coding theory, cryptography, muter and munications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea

4、is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems.Nowadays, the municational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for munication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomials

5、applications: Error-correcting code.The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest mon factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomials applications: Error-correcting code.In this paper,

6、 a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time

7、, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters. Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code目 录摘要IAbstractII第1章绪论111.2 有限域的根底理论2第2章有限域上的多项式52.1 一元多项式52.2 多项式的整除和带余除法92.4 最大公因式142.5 因式分解定理182.6 重因式212.7 多元多项式23第3章有限域上的多项

8、式的应用28第4章结论34参考文献35致谢36第1章 绪论1.1 有限域的开展一般地讲，域是可以进展传统算术的四如此运算的集合。由此，要定义域首先得有完善的数系，这样逆运算才能进展。历史上，人们把零、分数、负数、无理数、复数引进熟悉经历了漫长的过程。1500年左右，人们已经承受零作为一个数，无理数也用得更随便了。到1700年左右，人们已经很熟悉整数、分数、无理数、负数和复数了，但是对它们还有错误的认识，甚至采取回避的态度。正是因为数系的扩大，才可以进展加法和乘法的逆运算，也就是为代数结构提供了活动的场所，而这一切都是在不知不觉中发生的。从算术开始，人们就知道有理数对加减乘除是封闭的，而且满足交

9、换律、结合律和分配律，也就是我们现在所说的域，但是他们并不知道这就是域的性质。迈向有限域论的第一步发生在古代。这个理论的根本定理是EUCLID原本，用现代语言表示如下:如果，那么。有限域的另一个重要结果是C. G. Bachet给出的一个算法，如果是自然数且互素，计算非负整数，使得，且，C.G. Bachet的算法允许在有限域中计算逆元。到了19世纪，人们所研究到的域有：有理数域、实数域、复数域和模素数的剩余类域等，然而第一个有具体域的概念，并且构造出一个新的有限域的数学家是年轻的E. Galois，这来源于代数方程的求根问题。1830年，E. Galois发表了一片题为“论数论的重要论文。他

10、在元域的根底上，采用域扩X的方法构作出全部可能的有限域，结果外表：每个有限域的元素个数必为某个素数的方幂 。而且对某个素数幂，本质上只有一个元有限域。所以后来，为了纪念E. Galois，人们把有限域也叫做 Galois域。有限域的理论最早可以追溯到费尔马FERMAT 16011665、欧拉EULER 17071783 和高斯 GAUSS 17771855,他们实质上研究了一种称之为有限素域的有限域。有限域的一般理论如此主要是从伽罗瓦GALOIS 18111832的工作开始。1830年，他在元有限域的根底上，采用域扩X方法构造出全部可能的有限域，证明了每个有限域的元素个数一定是某个素数的幂，而

11、且对每个素数幂，本质上也只有一个对应的有限域。如今，由于计算机和信息科学的开展，离散的数学结构比照于连续的数学结构的研究日益重要、有限域在纠错码、密码学、实验设计、有限群、有限几何等问题中担任重要角色。数域是代数中的一个根本概念。有理数域、实数域和复数域都是我们比拟熟悉的数域，这些域有个共同的特点，就是它们的元素个数都是无限的，而有限域最大的特点是只含有有限多个元素。有限域是现代代数学的重要分支之一。有限域作为域，当然具有通常域的一般性质，但又因为它只含有有限多个元素，使得它与我们所熟悉的数域又有很大的不同。有限域具有许多优美的性质，在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多实际

12、领域有着广泛的应用。特别是最近几十年，随着计算机技术的蓬勃开展，有限域的地位愈加重要。例如有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算的影响，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用，有限域已经成为许多工程技术人员不可缺少的数学工具。另一方面，有限域理论本身也吸引了人们的广泛兴趣，成为许多优秀数学家施展自己才华的场所。数学本身和实际应用领域也不断提出关于有限域的大量数学问题，这些问题的解决或者有益于应用，或者推动数学的开展。有限域上的多项式理论对研究有限域的代数结构，以与对有限域的应用是非常重要的。1.2 有限域的根底理论有限域是域的一种，首先给出一般的域的概念。定义1.1 设

13、是至少包含两个元的集合，在中有一个代数运算，称作加法：这就是说，对中任意两个元，有中唯一一个元与之对应，称为与的和，并记为 (这里的等式表示集合相等，即等号两边的元素一样)。在中还有另一个代数运算叫做乘法，即对中任意两个元，在中都有唯一的一个元与之对应，称为与的积，并记为。如果的这两个运算还满足. 1. 加法交换律 ，。 2. 加法结合律 ，。 3. 中有一个零元满足，。 4. 对中任一元，有中的元，使得，称为的一个负元。. 1. 乘法交换律 ，。 2. 乘法结合律 ，。 3. 中有一个单位元，满足，。 4. 对中任意非零元，有中的元，使得，称为的一个逆元。. 乘法对加法的分配律 ，,。这时我

14、们称为一个域。而所谓的有限域，就是满足上述条件，且元的个数为有限个的一种域。有限域作为一种只含有有限多个元素的域，有着许多其他域所没有的特殊性质，比如说每一个有限域中元素的个数一定是某一素数的幂，而且对任一素数幂，也一定存在相应的有限域；再比如说，任何两个元素个数一样的有限域一定同构，从而可以把它们等同起来，等等。举个有限域的例子。对于非空集合，在的情况下做加法和乘法运算，定义运算规如此为：加法：如果，如此乘法：如果，如此易得，在的情况下是个有限域。实际上，对于素数，集合在普通加法和乘法下，再加上运算，就成为有限域。对于域而言，有一个重要的概念是域的特征。定义1.2 设是一个域。假如对任何正整

15、数，都有，就称为特征为的域；假如是使的最小的正整数，如此称是特征为的域，这时必为素数。数域的特征为0，而的特征为2。假如是一个有限域，可证它的特征是某个素数。这只要证明有某个正整数，使。考察，它们都是1的倍数，都属于。因中仅有有限个元，上述倍数中必有两个是一样的。设，且，于是，而是正整数。故以某个素数为特征。对于有限域的元素个数有如下限制： 有限域的元素个数必为，其中为素数，。证明 有限域的特征必为素数，于是为的子域。我们把的一个子集叫做生成集，是指中每个元素均可表成 (1-1)其中，本身显然是的一个生成集。在所有的生成集中取其中包含元素最少的一个，仍记为，如此中每个元素均可表成(1-1)的形

16、式。现在我们证明对每个，表达式(1-1)是唯一的。因为假如又有如此。如果有某个不为零，不妨设，如此 (1-2)即可以用表示 (系数仍属于)。由于中每个元素均可用表示，将(1-2)代入表达式中，可知可用表示。这明确是生成组，与生成组元素最少相矛盾。所以，即 (对每个，)。从而表达式(1-1)是唯一的。于是，在(1-1)中分别取中的个元素，共有种取法。由上述知不同的取法给出中不同的元素，从而中共有个元素。第2章 有限域上的多项式2.1 一元多项式在对多项式的讨论中，我们总是以预先给定的数域作为根底。在这里，我们假定所选取的数域为有限域，记为,并以此作为根底。 设是一非负整数，形式表达式， (2-1

17、)其中全属于有限域，称为系数在有限域中的一元多项式，或者简称为有限域上的一元多项式。在多项式(2-1)中，称为次项， 称为次项的系数。以后我们用， 或 等来代表多项式。定义2.2 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为。系数全为零的多项式称为零多项式，记为。在(2-1)中，如果，那么称为多项式(2-1)的首项，称为首项系数，称为多项式(2-1)的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式的次数记为。我们对形式表达式(2-1)，可类似地引入相加、想减、相乘这些运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式。设，是有限域上两个多项式。那么它们可以写

18、成，。在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令。那么与的和为。而与的乘积为，其中次项的系数是。所以可表示成。显然，有限域上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是有限域上的多项式。对于多项式的加减法，不难看出。对于多项式的乘法，可以证明，如果，那么，并且。事实上，设，其中，于是的首项是。显然，因此，而且它的次数就是。由以上得出的结果都可以推广到多个多项式的情形。和数的运算一样，有限域上的多项式的运算也满足下面的一些规律。1.加法交换律：。2.加法结合律：。3.乘法交换律：。：。5.乘法对加法的分配律：。这些规律都很容易证明。下面只给出乘法结合律的证明。设；。现在来证。等式左边，

19、中次项的系数为，因此左边次项的系数为。在右边，中次项的系数为。因此右边次项的系数为。与左边次项的系数一样，所以左右两边相等，这就证明了乘法满足结合律。对于多项式的乘法，我们还可以证明乘法消去律如果且，那么。因为，有，而，所以，也就是。接下来我们引入 所有系数在有限域中的一元多项式的全体，称为有限域上的一元多项式环，记为，称为的系数域。我们举一个在有限域里进展多项式加法和乘法的实际例子系数模。在上计算。在上计算通过(2-1)给出的多项式的一般形式以与有限域中的元的个数为有限个的特殊性质，我们可以知道，对于有限域上的多项式，只要次数给定了以后，所有满足要求的多项式的个数也是有限的。例如，我们取定有

20、限域为，规定多项式的次数为，那么所有满足条件的多项式为，共18个。2.2 多项式的整除和带余除法在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以做的。因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。我们可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式。我们不妨取中的多项式，来说明两个多项式的带余除法。设,。我们可以按下面的格式来作除法:于是求得商为，余式为。所得结果可以写成。同样的，类似上述的过程，如果我们取定系数域为有理数域，得到的结果是。下面就按照这个想法来证明一元多项式环的一个根本性质。带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式，存在，使(2-2)

21、成立，其中或者，并且这样的，是唯一决定的。证明(2-2)中和的存在性可以由上面所说的出发直接得出。下面用归纳法的语言来加以表示。如果，取即可。以下设。令，的次数分别为，。对的次数作第二数学归纳法。当时，显然取，(2-2)式成立。下面讨论的情形。假设当次数小于时，的存在已证。现在来看次数为的情形。令，分别是，的首项，显然与有一样的首项，因而多项式的次数小于或为。对于后者，取，；对于前者，由归纳法假设，对，有，存在使，其中或者。于是，也就是说，有，使成立。由归纳法原理，对任意的，的存在性就证明了。下面来证明唯一性。设另有多项式，使，其中或者。于是，即。如果，又据假设，那么，且有。但是,所以上式不可

22、能成立。这就证明了，因此。 有限域上的多项式称为整除，如果有有限域上的多项式使等式成立。我们用“表示称为整除。 当时，就称为的因式，称为的倍式。当时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 对于有限域上的任意两个多项式，其中，的充分必要条件是除的余式为零。证明 如果，那么，即。反过来，如果，那么，即。带余除法中必须不为零。但中，可以为零。这时。当时，如，除所得的商有时也用来表示。由定义还可以看出，任一个多项式一定乘除它自身，即。因为；任一个多项式都整除零多项式，因为；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因为当时，。下面介绍几个性质:1. 如果，那么，其中为非零常数。由有，由有于是。如果

23、为零，那么也为零，结论显然成立。如果，那么消去就有，从而。由此即得。这就是说是一非零常数。，那么整除的传递性。显然，由，即得 。，那么，其中是有限域上任意的多项式。由，即得。通常，称为多项式的一个组合。由以上的性质可以看出，多项式与它的任一个非零常数倍有一样的因式，也有一样的倍式。因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替。最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说，如果，是中两个多项式，是包含的一个较大的有限域。当然，也可以看成是中的多项式。从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式与余式都是一样的。因此，如果在中不能整除，那么在

24、中，也不能整除。2.4 最大公因式多项式称为多项式，的公因式，如果既是的因式，又是的因式。在公因式中占有特殊地位的是所谓的最大公因式。 设，是中的两个多项式。中多项式称为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件:1) 是，的公因式；2，的公因式全是的因式。例如，对于任意的多项式，它就是本身与的一个最大公因式。特别地，根据定义可以知道两个零多项式的最大公因式就是。有了以上的定义以后，我们接下来所关心的问题是最大公因式的存在性问题，以下的证明同时也给出了一种具体的求法。关于存在性的证明主要根据是带余除法，关于带余除法，我们介绍以下事实： 如果有等式(2-3)成立，那么，和，有一样的公因式。证明

25、如果，那么由(2-3)，。这就是说，的公因式全是，的公因式。反过来，如果，那么一定整除它们的组合。这就是说，是,的公因式。由此可见，如果,有一个最大公因式，那么也就是，的最大公因式。 对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式，使(2-4)证明 如果，有一个为零，不妨设，那么就是一个最大公因式，且。下面来看一般的情形。无妨再设。按照带余除法，用除，得到商，余式；如果，就再用除，得到商，余式；又如果，就用除，得到商，余式；如此辗转相除下去，显然余式的次数不断降低，即因此在有限次之后，必然有余式为零。余式我们有一串等式:，,。与的最大公因式是。根据前面的说明

26、，与也就是与的一个最大公因式；同样的理由，逐步推上去，就是与的一个最大公因式。由上面的倒数第二个等式，我们有。再由倒数第三式，,代入上式可消去，得到，这就是定理中的(2-4)式。由最大公因式的定义不难看出，如果，是与的两个最大公因式，那么一定有与，也就是，。也就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式。在这个情形，我们约定，用来表示首相系数是的那个最大公因式。定义2.6 中两个多项式，称为互素也称互质的，如果有。显然，如果两个多项式互素，那么它们出去零次多项式以外没有其他的公因式，反之亦然。中多项式，

27、互素当且仅当有，使。证明:由互素的定义和定理2.2，必要性是显然的。现在设有使，而是与的一个最大公因式。于是，从而，即与互素。由此可以证明: 如果，且，那么。证明 由可知，有，使。等式两边乘得，因为，所以整除等式右端，从而。推论2.1 如果，且，那么。证明 由有。因为，且，所以根据定理2.4有，即，代入上式即得，这就是说，。事实上，对于任意多个多项式 ，也可以定义最大公因式。设,多项式称为的最大公因式，如果满足:1) ,。2) 如果，那么。在这里我们仍然用来表示首相系数为的最大公因式。不难证明，的最大公因式存在，而且当不全为零时，就是的最大公因式。我们取上的两个多项式易知，的最大公因式为。2.

28、5 因式分解定理对于一个给定的多项式而言，我们对它进展因式分解的结果往往和所选取的数域有直接的关系，对于多项式而言，在有理数域上，我们得到的结果是，但是在上，我们得到的结果是，而在复数域上，我们可以得到更彻底的分解结果。在这一节，我们将讨论有限域上的多项式的因式分解问题。上次数的多项式称为上的不可约多项式，如果它不能表示成上的两个次数比的次数低的多项式的乘积。从定义中我们可以看出，任意的一次多项式都是不可约多项式。从本节开始的文字中说明了，一个多项式是否不可约是依赖于所选取的系数域的。而且，不可约多项式与任一多项式的关系只能有两种，或者，或者。 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由

29、一定推出,或者。证明:如果，那么结论显然是成立的。现在假设不整除，那么由以上说明可知。对于上述的定理，我们还可以利用数学归纳法对其进展推广，也就是：如果不可约多项式整除多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的一个。下面来证明因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 有限域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成上一些不可约多项式的乘积。所谓的唯一性是说，如果有两个分解式，那么必有，并且适当排列因式的次序后有，其中是一些非零常数。证明 先证分解式的存在性。我们对的次数作数学归纳法。因为一次多项式都是不可约的，所以时结论成立。假设结论对于次数低于的多项式已经成立，且。如果是不可约多项式，那么结论是显然

30、成立的。现在设不是不可约多项式，即有，其中都是次数低于的多项式。由归纳法假定，都可以分解成上一些不可约多项式的乘积。把，的分解式合起来，我们就得到了一个的分解式。由归纳法原理，结论普遍成立。再证唯一性。设可以分解成不可约多项式的乘积。如果还有另一个分解式，其中都是不可约多项式，于是 (2-5) 我们对作数学归纳法。当时，是不可约多项式，由定义必有，且。现在设不可约因式的个数为时唯一性已证。由(2-5)，因此，必能除尽其中的一个，无妨设， 因为也是不可约多项式，所以有 (2-6)在2-5式两边消去，就有.由归纳法假定，有，即， (2-7)并且适当排列次序之后有，即， (2-8) (2-6) ，(

31、2-7) ，(2-8)合起来即为所证，这就证明了分解的唯一性。应该指出的是，因式分解定理虽然在理论上有其根本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来介绍标准分解式的概念。在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使他们成为首项系数为1的多项式，再把一样的不可约因式进展合并。这时具有形为的分解式，其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，是正整数。这种分解式称为标准分解式。如果有了两个多项式的标准分解式，我们就可以直接写出两个多项式的最大公因式。多项式，的最大公因式就是那些同时在与的标准

32、分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个。最后补充一个不可约多项式的内容。首先，对于二次和三次多项式而言，假如其可约，分解式中必含有一次因式，故可用有限域中的元依次检验是否为该多项式的根来判断其是否可约，此方法对于一些特征较小的有限域而言是很方便的；其次，对于有理数域而言，有任意次数的不可约多项式。对于复数域而言，不可约多项式只有一次的。而对于有限域而言，它仍然具有任意次的不可约多项式，这一点将在第三章中给予证明。2.6 重因式定义2.8 不可约多项式称为多项式的重因式，假如，而不整除。如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么

33、称为的重因式。显然，如果的标准分解式为，那么分别是的重因式，。指数为1的那些不可约因式是单因式；指数大于1的那些不可约因式是重因式。设多项式，那么它的微商为。同样也可以类似的定义高阶微商。一个次多项式的微商是一个次多项式；它的阶微商是一个常数；它的阶微商等于零。 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式。证明:由假设，可以分解为，其中不能整除。因此，这说明。如果令。那么整除等式右端的第二项，但是不能整除第一项，因此不能整除，从而不能整除。这说明是的重因式。 这里要补充的一点是，定理2.6只是一个充分条件，而非必要条件。而下面的推论2.2将给出的是一个充要条件。 如果不可约多项式是的重因

34、式，那么是，的因式，但不是的因式。 不可约多项式是的重因式当且仅当是与的公因式。证明的重因式显然是的因式，也就是与的公因式；反过来，如果的不可约因式也是的因式，它必定不是的单因式。 多项式没有重因式的充分必要条件是与互素。推论2.4明确，要判断一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算辗转相除法来解决。在有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时，我们常常希望所考虑的多项式没有重因式。为此，以下的结果是有用的。设具有标准分解式。根据定理2.6，与的最大公因式必有具有标准分解式。于是。这是一个没有重因式的多项式，但是它与具有完全一样的不可约因式。因此，这是一个去掉因式重数的有效方法。除去前面的介绍

35、的一元多项式外，还有很有多个文字的多项式，即多元多项式。现在来介绍它的概念。设是一个数域，是个文字。形式为(2-9)的式子，其中属于，是非负整数，称为一个单项式。如果两个多项式中一样文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些多项式的和(2-10)就称为元多项式，或者简称多项式。和一元多项式一样，元多项式也可以定义相等、相加、想减、相乘。与一元多项式的情况相仿，我们有 所有系数在有限域中的元多项式的全体，称为有限域上的元多项式环，记为。称为单项式(2-9)的次数。当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数。虽然多元多项式也有次数，但是与一元

36、多项式的情况不同，我们并不能对多元多项式(2-10)中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为不同类的单项式可能有一样的次数。我们看到，一元多项式的降幂排法或者升幂排法对于许多问题的讨论都是方便的。同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元多项式也引入一种排列数序的方法，这种方法称为字典排列法。每一类单项式(2-9)都对应一个元数组(2-11)其中为非负整数。这个对应是11的。为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对于元数组(2-11)定义个先后数序就行了。如果数中有一个不为零的数是正的，也就是说，有使 ，那么，我们就称元数组(2-11)先于元数组，并记为(2-12)由定义立即看出，对

37、于任意两个元数组(2-11)，(2-12)，关系。中有且仅有一个成立。同时，关系“具有传递性，即如果，那么。因此，这样确实给出了元数组之间的一个数序。相应地，单项式之间也就有了一个先后顺序。按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项。应该注意，首项不一定具有最大的次数。当时，字典排列法就归结为以前的降幂排法。对于字典排列法，我们有 当，时，乘积的首项系数等于的首项与的首项的乘积。证明:设的首项为，的首项为。为了证明它们的积为的首项，只要证明先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。事实上，中其他单项式所对应的有序数组是，或者，或者，其中，。而与是显然的。同样有。由传递性即得

38、。这就证明了，不可能与乘积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，因而它是首项。用数学归纳法立即得出 如果，那么的首项等于每个的首项的乘积。定理7显然包含着 如果，那么。多项式称为次齐次多项式，如果其中每个单项式全是次的。显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。任何一个次多项式都可以唯一地表示成，其中是次齐次多项式。称为的次齐次成分。如果是一个次多项式，那么乘积的次齐次成分为，特别地，的最高次齐次成分为。由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和。第3章 有限域上的多项式的应用定理3.1 是域上的多项式，如此，是上的一个多项式。证明 在上

39、建立映射由于，即，故，当然有，即是满射实际上，是上自同构。现设，。由是满射，有，使得于是有推论3.1 假如是上不可约多项式，如此不能有上使得。定理3.2 (1) 上有任意次不可约多项式，且存在的扩域；(2) 上任意次不可约多项式都是的因式，且它在的一个扩域上完全分解成一次因式的乘积；(3) 上的不可约多项式是的因式当且仅当的次数满足。证明(1) (2)： 首先对任意域上任意多项式来证明:有的扩域，使得在中分解成一次因式的乘积。对的次数作数学归纳法。任取的一个不可约多项式，我们可以构造出的一个扩域，其中是的一个根。于是在域中有分解，此时，为上次多项式。用归纳法知有的扩域，也是的扩域，在上，因而在

40、上分解成一次因式的乘积。现在考虑上多项式，设其在某扩域上分解成一次因式的乘积。由于导数为(因的特征为)与互素，故无重根，因而它在中有个根。下面证明这个根构成的一个子域，它正是个元的域。令的这个根的集合为，对，即有，为了证明对加法封闭，需用到特征为的域中有，即对加法封闭。又易知故是的子域，具有个元，再证唯一性。设皆是个元的域。因是循环群，故是它的生成元。由零元与皆属于，得。再由是含和的最小的域，就得到。又是的根，设在上的分解式中的不可约因式以为根，故。而也是上多项式的全部根，故中有的根，任取一个设为，如此。但右端有个元，故有个元。而，右端也是个元，故，这就证明了。我们知道，有个元的域存在。并且证

41、明唯一性的时候已经得到上不可约多项式，使，是的根。假如为次，那么右端是上维线性空间，因而有个元。但左端有个元，故，即上有次不可约多项式。现在是上次不可约多项式。在域中是不可约多项式的根。这个域有个元，故也是的根，故是以为根的极小多项式可能差一倍数，以它为因式。又在个元的域中能够完全分解，故也能。(3) 设是上不可约多项式，次数，如此由(2)知，如此。再设在上不可约，次数以与。取个元的域，因由的全部根组成，它含有是的因式的个根，这个根组成域，故。又，故可取中的元使其为的根。是的子域，且，于是有个元。再由与，得。推论3.2 等于上所有次数乘除的不可约多项式的乘积。证明 令为上所有次数乘除的不可约多

42、项式的集合。再令(2-13)皆为上不可约多项式。由于无重因式，互再由(2-13)，等于中所有多项式的乘积。接下来引入周期的概念。 设是上不可约多项式且不整除，称满足的最小正整数为的周期。命题 设是上不可约多项式且不整除，如此的周期就是在乘法群中的阶，因而。又是阶循环群。设它的一个生成元为，如此的阶为。的元都是的根，也是。于是是的上某不可约多项式的根。由与，推出，于是记与，如此。因，所以，即不整除。这样，对任意我们可得到上次不可约多项式，不整除，并且的周期也即的阶为。定义3.2 设是上不可约多项式且不整除，假如它的周期是，如此称为上本原多项式。前面的讨论已经说明了上任意次本原多项式一定存在。下面

43、介绍本原多项式的一个应用。利用本原多项式来构造纠一个错的码。对上任意15元向量，将它与上一个多项式对应取定一个次本原多项式，规定码集合为由于中次的多项式包括零多项式的集合作成的子空间，它是维的，取基底，如此与的对应是向量与坐标向量的对应。它保持加法和与中元的数量乘法。我们干脆等同它们，把中码子所对应的多项式也叫做码子。因此一个多项式是码子当且仅当，其中是上次的多项式包括零多项式。我们也写码集合为有基，故是的维子空间。设的一个码子经传输后，收到的向量至多有一位错，数学上看是下述情况：(i) 传输中没出错，如此。(ii) 错在第项，记，第项系数为，由变成或由变成，也即变成中的加法，于是假如用去除，

44、其余式正是用去除所得的余式。因不整除，其余式不为零。由余式定出。这需要15个单项式被除所得的余式皆不为零皆不一样。这个性质可以通过的元来表达，即是的15个不同的非零元，它们组成的乘法群是15阶群，正是的全部非零元的乘法群。这等价于是上的本原多项式。因此当选为本原多项式以后，用去除得到15个余式互不一样，且。现在可以进展纠错了。(i) 就是。 (ii) 不整除，用去除得余式。计算，被除的余式。因是中15个不同的非零元，只有一个为。设，如此被除的余式为1。由于是某的余式，于是。但中仅能有一个为，因而。即假如只错了一位，就只能错在的这位置上。结果是。第4章 结论本文通过将高等代数中关于数域上的多项式

45、理论向有限域上进展推广，得出了以下的几个结论：1. 对于大局部数域上的多项式的结论，在有限域上依然是成立的，特别是一些经典的结论，例如带余除法在有限域上也是成立的。2. 对于任何一个有限域，当多项式的次数确定后，满足条件的多项式的个数是有限的。3. 对于二次和三次多项式而言，可用有限域中的元依次检验是否为该多项式的根来判断该多项式是否可约；对于任意有限域上有任意次的不可约多项式。 4. 利用有限域上的多项式的理论可以对码进展纠错。参 考 文 献1邓明立.有限域思想的历史演变D.某某：某某师X大学，2004：1-2，39-42.2林东岱.代数学根底与有限域M.：高等教育，2006.3X海权，游宏

46、.抽象代数M.某某：东北师X大学，1993. 4Joseph J. Rotman. Advanced modern AlgebraM .American：Prentice Hall，2002.5Jacobson N. Basic AlgebraM.San Francisco：W H Freeman pany，1974，1980.6王萼芳,石生明.高等代数M.：高等教育,2003.7X贤科，许甫华.高等代数M.：清华大学，2005.8T.W.Hungerford著，冯克勤译.代数学M.某某：某某教育，1984.9乐茂华.高等代数M.某某：某某大学，2002.10X禾瑞.近氏代数根底M.：高等教育

47、，1998.11杨德平.有限域上的不可约多项式N.聊城师X学报，1999. 12X宏月.有限域的运算J.天中学刊，1998，05.13E. H. Connell. Elements of Abstract and Linear AlgebraM.Miami：University of Miami，2004.14Gilbert W J. Modern Algebra with ApplicationsD.New York：John Wiley& Sons，1976.15Jacobson N. Basic AlgebraM .San Francisco：W H Freeman pany，1974，1980.16Lang S. AlgebraM.Menlo Park：Addison- Wesley Publishing pany，Inc，1984.17N. Bourbaki.AlgebraM.Paris：Hermann，1970.18G. Birkhoff，S. Maclane. A Survey of Modern AlgebraM.New York：Macmillan Publishers Co.，.19石生明.近世代数初步M.：高等教育，2005.20冯克勤.近视代数引论M.某某：中国科学技术大学，2009.