数学与审美奇异美

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1、目 录摘要1Abstract1引言11 奇异美的含义12 奇异美之定理美1结语18参考文献19致谢20摘要数学不仅是一种科学，更是一种美学，而奇异美便是数学美中最为重要的一个特征。针对美学，著名数学家徐利治教授曾经说 :“奇异是一种美，奇异到极点更是一种美。”数学具备奇异美的特性，其表现是多方面的，其中奇巧、突变是数学奇异美最为重要的特征，能够为数学以无限生机。，数学中的奇异美，常常会让人们感觉震惊，从数学奇异美角度出发进行思考，还可以解决大量数学问题，故而本文将从三个方面对数学的奇异美进行分析，以为他人更好的了解数学提供参考，同时使更多的人喜欢数学。关键词：数学；审美；奇异美Abstract

2、The singular beauty of mathematics is one of the important characteristics of mathematics beauty. Professor Xu Lizhi，a famous mathematician，pointed out: Singularity is a kind of beauty，and singularity is a kind of beauty. The singularity and mutation in mathematics is an important manifestation of t

3、he singular beauty of mathematics. It reflects a side of the unconventional phenomenon in the real world. Give mathematics unlimited life. The singular beauty of mathematics often gives people an unexpected and shocking experience. This article will analyze the singular beauty of mathematics from th

4、ree aspects，in order to provide a reference for others to better understand mathematics，and at the same time make more people like mathematics.Key words: mathematics; aesthetics; singular beauty1大理大学本科毕业论文引言新颖的以及不常见的东西通常都会引起人们的遐想，而遐想实际上便是一种乐趣，在遐想中，能够引起人们对这些新颖东西的思考，勾起人们的好奇心，从而得到全新的观念。从数学角度来说，其中很多数学分支

5、，实际上都是人们在遐想中进行的进一步探索，在不断的探索中获得新的知识。从数学发展角度来说，正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索。故而本文从奇异性角度出发，对数学的奇异美进行探究 殷启正,徐本顺,杨耕文.论数学奇异美J.松辽学刊(自然科学版),1992(01):75-77.。1 奇异美的含义数学的奇异美通常包括两大方面的内容，即奇妙以及变异。数学中的不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。变异是指，数学理论拓广后或统一性遭到破坏后，出现另一种新的方法、新思想、新概念、新理论的起点。而变异实际上是与人们的想象以及期望相悖的，这些都能够使人们产生更多

6、的好奇。本文将从数学的定理美、公式美以及图形美三个角度出发，探究数学的奇异美。2 奇异美之定理美为了探索数学定理中独特的美，作者将以最基本的毕达哥拉斯定理入手，分析总结数学的奇异美。勾股定理(毕达哥拉斯定理)在数学中，是定理中最为重要的一个，此定理也用途比较广泛，勾股定理的代数公式是，很多人都有所了解。为了能更高地记住它，又将、表示三角形的三边，并将其叫做毕达哥拉斯三角形，例如三边分别是，便是一组三角形。勾股三角形的数目极多，一般由下面的表达式表示：， (、为正整数)。根据于此数学家费马提出猜想：是否存在正整数、满足表达式：，并经过推广，是否满足表达式()费马在1640年，当他阅读由古希腊数学

7、家柏拉图编纂的整数论时，其中在关于毕达哥拉斯三角形旁边做出批注：“时，方程不存在非零的整数解，这也被称作费马大定理。我可以了奇妙的证明此定理，但是这里字数有限，我不能把它完整写下。”这一小段批注，让无数著名的数学家都为之证明。经过了三百多年，人们才能证明出来。在之前的1730年，当，时，数学家欧拉提供了猜想的证明；狄利克雷证明了当时猜想能够成立；在1848年高次幂情况下，德国数学家库默尔证明了这一猜想的成立。除此之外，借助大型高速计算机并且利用库默尔提供的方法，证明当时(其中包含了它们的倍数)所得出的结论也依旧成立 韩应华.数学的奇异美与数学教学中的创新教育J.中国轻工教育,2009(03):

8、90-92.。在1816年和1850年，法国科学院两次提供3000法郎来寻求证明这一猜想的人。在1908年德国也设立了由沃夫斯凯尔博士遗赠10万马克的高额奖项。这个看似不难解决的问题让很多人渴望尝试，因此，主张这个问题的文章来自全世界各地并且数量庞大。据说为了回应“答案”当年的数学家兰道复印了许多明信片，上面写着这样一段话：“亲爱的先生或女士，对于费马猜想的证明，我们已经收到，现在将再次退还给您。”当年的费马是否真的证明世界难题也遭到人们的质疑。英国数学家怀尔斯致力于七年的研究。在1993年的夏天剑桥大学的学术会议上，他宣布费马的猜想他以得到证实，但在他的报告中人们也发现了出现了纰漏。经过一年

9、的沉默之后，怀尔斯以及他的学生泰勒二人于1994年10月25日，以电子邮件的形式，修补了上述文章中存在的漏洞，并将他们论文的预印本圆曲线和费马定理和某些Hecke代数的情况的性质分发到了世界各地。上述两篇文章在第二年5月的美国数学年刊全文发表，从而宣告了困扰人们三个世纪的“费马定理”已经被征服。当提及数学的奇异性时，我们首当起冲地会想到代数方程中存在的求根问题。所谓的代数基本定理，其实关于代数方程根的定理大致是这样的：对于复数域上的次方程而言，在复数范围中最少存在一个解。法国数学家日拉尔在1629年就对此进行了大胆推测；1746年，法国学者达朗贝尔对定理证明，但是证明过程并不严谨；德国数学家高

10、斯在1799年能够严谨的证明出了定理，并且他又给出了另外三个证明方式 赵春祥.在数学研究性学习中培养学生审美能力J.新课程研究(上旬刊),2015(04):115-119.。从以上定理可以清晰地得出，代数方程根是肯定存在的，但如果想仔细地得出结果，难度很大在九世纪时，中亚细亚的学者穆罕默德阿里花拉子米对一元二次方程，提出了相应的求根公式：当()时，其x的解表达方程为。一元三次方程的求解与其相较而言，方法更为繁杂。希腊人在公元四世纪，得到了只针对于特殊的三次方程的解；阿拉伯学者卡牙姆在公元十一世纪将三次方程能够严谨的得出结果，但意大利卡尔达诺于1545年在他的大法中给出了求三次方程根的通式。在那

11、之后，卡尔达诺的学生费拉明确提出了一元四次方程的求根公式。 伽罗瓦，一位法国青年数学学者将此问题彻底有效地解决了，他提供有关于次方程公式解的充要条件，并且根据此建立了伽罗瓦理论的数学分支 欧林书.浅谈数学之奇异美J.数学学习与研究,2017(04):153.。调和级数被证明是发散级数，在数学史上最为出人意料的事情。在自然数当中，若发现越来越稀疏的质数分布现象，那么级数(将所有质数取遍)不可能收敛，更令人觉得更不可思议! 除此之外,不可思议的事情并不仅局限于此，例如：从调和级数中含有数字的每一项从中除去，并且从中得到级数收敛且它们相加得到的值小于。从调和级数中将其他含有数字的项以此除掉之后，根据

12、这样的方式得到的级数也同样收敛。根据某些规定，用骨牌填充整个平面与图论相关的问题。换句话说，我们要利用如上图一样形状的骨牌(图中、为该边上的某种赋值)去将平面铺满，使两个骨牌在相邻位置具有相同的值（每个骨牌表面上的四个数字不经允许发生旋转或反射）。根据上述要求，可利用以下六种骨牌将整个平面填充满： 但是按照事实来讲，填充全部平面是通过重复上面的矩形所得到的（请注意，对个的数字分别对应相等）。但是显而易见，根据上述要求有以下三种骨牌，不能将全部平面覆盖 高保银.小学数学教学中数学文化的有效运用J.名师在线,2017(01):59-60.。 希尔伯特著名的第三个问题也是这个数学奇点的一个很好的案例

13、。如果其大小相等，那么也就说两个几何图形的面积相同；如果经过有限次后其中一个图形在可分为另一个图形，那么就叫做其组成相等。长方形和结构相同匈牙利数学家鲍耶、德国人盖尔文在1832年与1833年两年见相继得出结果：若两个多边形大小完全相等，那么可以得到组成一定相等 张小平.抓“奇” 利“动” 导“胜”J.小学教学参考,2010(35):45.。按照如下的五条理论，从而得出证明结果 (这里“”表示组成相等)(1)，并且，那么可以说；(2)任何的一个三角形某一矩形；(3) 两平行四边形如果等底等积，则其组成也相等；(4) 两矩形如果等积，则构成相等；(5)多边形矩形。但是，如果所得到的结果推广到三维

14、空间，是否依旧成立呢？换句话而言，希尔伯特提出的第三个问题也就是说：两个多面体体积相同，那能不能组成相同的多面体呢？戴恩1900年证明了他老师希尔伯特的猜想，存在体积相等但成分不相等的这样两个四面体 杨娟.揭示数学美 培养学生创新性思维J.成才之路,2010(35):51-52.。希尔伯特的第三个猜想因此得到了否定的答案。从平面到空间的普及的过程中产生了阻碍，这和人们的猜测相违背。平面上的点、线和面积又是怎样的呢？“点”在欧几里得几何中，以没有长度、宽度和厚度的几何图形的形象描述它；具有长度或宽度的几何图形的定义来阐释“线”。如下所举出的例子是对上述定义的缺点进行阐释。将正方形面积定义为，并将

15、其称作为单位正方形，见下图(1)所示，并将其中一个十字从中除掉(图(2)，对于其宽度而言，占除掉面积的。并且经过此步骤，留下了四个小方格中，并重复上述步骤，令每个去除的横截面积等于上一个开挖面积的二分之一（图（3），（4）。它所产生的“极限图”仍然有一个正值面积，尽管如同分散的点（因为剩余的正方形目的逐步变小）。就实际情况而言，经过上述步骤，从中扣掉的十字形面积数值逐步是，,，在极限情况下，图形面积公式为.将视线再次对准皮亚诺曲线，它的特点是可以将正方形铺满，在1890年是意大利数学家皮亚诺所提供的此类曲线 胡建庭,徐沥泉.感受数学奇异美数学中化奇异为和谐的例J.江苏教育学院学报(自然科学版)

16、,2011,27(03):14-18.。把正方形以，等部分划分为相同的小正方形，从每个小方格中随之去除几个边，由此得到了一个蜿蜒的“密集迷宫”，迷宫的中间存在的曲线（如图中的虚线所示）会逐步变得更加密集。中位曲线在极限情况下，所得到的是一条皮亚诺曲线，它可以将全部正方形面积铺满。谢尔品斯基，一位波兰数学家也提供了一个可以将平面铺满的曲线。如下图(1)所示，所给在方格中的曲线被叫做第级曲线；重复图(1)的步骤，对每一个小正方形加细，将每个田字格子再通过曲线相互连在一起，从而构成第级曲线 刘丽霞.浅谈数学美及其在教学中的应用J.职业技术,2008(06):38.。 逐步重复以上的步骤，以此得出、级

17、曲线。在极限情况下所得到的曲线，可将所有正方形铺满。 数学中的存在的令人不可思议的现象还存在独特的意义：当人们不认识它，并根据此做出判断结论出现失误、或提供不完善的方式时，一些“反例”（这是数学本身严谨的必要性）也会随之出现。为了将这一结论完全得到证实，我们务必都要将所有的情况结合进去；我们只需要举出一个反例就可以否定这个结果。制造者的独创性不仅通过反例得以体现，另外也体现了数学中存在的严谨性（不能容忍一点点的错误与虚伪）。我们有理由说，最精彩和意想不到的是数学反例，除此之外，也是数学的奇特的美的一种体现。换句话而言，不管从哪个层面而言，它都能将奇异的美体现的淋漓尽致 陈明惠.小议数学中的奇异

18、美J.四川文理学院学报,2007(S1):124-125.。3.奇异美之公式美奇异美之公式美主要通过下面的方程表现出来的：和整数 差距只有，换个方式来讲，(它不是一个整数，而是一种超越数)这个数字知道小数后十位还是零（到了第十一位就不是零了）。还有一个表现，在，至 的情况下，的结果才会是整数(其整数的数额是 ）。这种情况并不奇怪，再举一个例子，的情况下，才得到了整数值(也就是说才是完全平方数) 丁巍.数学美与大学数学教学J.辽宁教育行政学院学报,2016,33(01):67-70.。这种在数字中存在的身体的情况，让社会上的各种相关学者都非常感兴趣。这种现象的背景也是真实存在的，有事实基础的。第

19、一种现象可以通过对于数学理论和代数理论进行结果的审查；第二种现象的产生和Pell方程的展成连分数中的周期有着莫大的关系。在周期非常大的情况下，该方程形成的第一解是非常巨大的。例如在况下，最小的 仅在77位的情况下得到的才是整数，并且如果 ，在 得到整数式最小的 数也到达了155位。所以前苏联数学家切巴塔廖夫在如下的计算实际中：指出：如果把 进行细分，让其到无法再分解的整数系数后，得到的没个系数的绝对值是小于等于1的。得失伊万诺夫依然找出了 存在如下的因式：在这个因式中 与 的系数都是-2，很明显的他们的绝对值都是大于1的，换个方式讲，在 的取值是从 1到104 的情况下，上述结论都是对的，可是

20、就在 时出现了不同的结果。以下的情况也非常的奇特，让人充满好奇：的结果是无数组有理的解，可是很奇怪的 却解不出解来； 有无数组有理解可是 也是解不出解来。他们的形态上本没有太大的区别，可是得出的结果确实非常大的 汤波.谈谈数学的奇异美J.济南教育学院学报,2002(02):56-57.。也有一个埃及分数的例子，它的奇特现象也非常的吸人眼球。研究学者对它进行了抽象升华使其变成了不定方程的形态进行研究。爱尔特希和特斯卢在1950年进行了大胆的猜想，他们认为 在任意的情况下都存在整数解。然后斯特卢斯在这个基础上有进行大胆的猜测，他认为，在的情况下，存在整数解，并且相互不等。并且随后对进行了检验，得出

21、的结果是正确的。国内的四川大学柯召教授在1963年进行了以上猜想的检验，得出的结果是这两个猜想是相等的，并且进而进行了检验（如今这项检验已经进行到了的情况下）。在人们对这些神奇的情况的好奇心的趋势下，不断涌现出了无数个新的理论结果。数学家布累策1969年在数学游览中阐述道：没有办法被表示为单位分数小于三项的和，并且。可是最初研究人员也不清楚上述公式的最大分母有没有存在最小值的情况。华东交通大学刘润根在1983年得出了。并且同一时间，位于中国四川峨眉疗养院的医务人员王晓明也推理出了，这三个公式。上方的这些公式的分母最大也比小 韦静.小学数学教师对数学美的认识的调查研究D.闽南师范大学,2017.

22、。至于这些分母是不是最小的，现在也没有得出准确的答案。分数中分在的奇特的现象是令人好奇的，它的神奇的现象远远高于它看起来的样子，如果不是这样，在古埃及时代出现的理论为真么这么令人着迷。在进行平面几何的尺规画图的时候，可以把一个圆周平分成2,3,4,5,6分，得失目前还无法做到7等分的评分。进行圆周评分时的研究后，得出了以下结论：如果（是是或自然数)，并且在是质数的情况下(也就说是费马质数)，圆周可以被尺规等分成（包括它的 倍)等份，这就是高斯定理。比如，在的情况下，就是一个质数，所以运用尺规这个工具可以把圆平分成3、5、17、257、65537份。4.奇异美之图形美本篇文章在图形美的研究时的主

23、要方向是“有限性”和“图形”中的联系，主要内容如下：世界、宇宙以及数学都是无穷无尽的。由于在世界和数学的无穷无尽中存在的非常多引人好奇的事物，所以他才是不同无法替代的。虽然数字数不尽，可是它的表示也仅仅运用十个数字就可以表达出来。一个平面存在无数点，可是如果想要确定一个平面只需要用三个不共线点就可以做到。试问洗牌要洗几次才可以均匀分布，最终结果是次，洗牌的次数不是多洗几次，越多越好的扑克牌有种排列方式，也就大概是种。美国哈佛大学的数学学者戴克尼斯与哥伦比亚大学数学家贝尔通过多次试验得出了这个结果。这个实验是这样的：他们给张牌进行编号，首先按照按1到52的顺序递增排列。进行洗牌的时候将牌分成两叠

24、，第一叠是1到26号，第二叠是27到52号。在进行第一次洗牌的结果是：1，27，2，28，3，29，这是两组递增数列：1，2，3，26和27，28，,29，52的混合数列。然后再进行洗牌的行为，一直到递增数列的数组大于时，这幅牌的顺序才被完全打乱 任宝苹.数学美渗透到初中代数教学之研究D.内蒙古师范大学,2017.。经过计算得出，在洗牌行为到次的时候，就可以达到这种情况，如果大于这个数目，那么效果就会变差。再以广告举例，很多企业认为宣传次数越多，产生的效果越大，但是事实却不是这样。广告的投入和产生的效果是有一定的规律的，它的规律符合在经济活动中的曲线(如下图)，图中的反映是，只有在广告投入费用

25、在内时，广告的效应才是最大的 彭念.数学美与数学直觉思维能力培养D.华中师范大学,2008.。 再者，对于广告在视频中的播放数量也是有限制的，数量为次是最好的效果。美国的知名广告学者克鲁曼指出：社会中的消费者对于广告只是不经意的看一眼，第一次观看可以对你的商品信息做以基础的了解，进行第二次观看时会考虑这个内容和自己的是否先关，进行第三次观看时就会对商品的印象做进一步的深入认识。所以广告的播出最好在6到8次，或多或少都不会得到最好的效果。并且三角形数的数量是无穷无尽的，可是在这个数字中只有：1(),3(),6(),55(),66(),666().这六个数字使用相同的数字组成的。再例如1875年吕

26、卡斯猜测，在棱锥数，也就是金字塔数， 只有1 ()和（）是完全平方数，这个猜想一直到1918年沃森才做出了事实证明 周玮.数学美在高职教育中的应用D.山东师范大学,2006.。还有大家都熟悉的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，,21，,55，,144，在这之中的仅有1，1和144是完全平方数，(由四川大学的柯召等人于1964年解决)。基于上文的基础，我们了解到在中只有，这一组非平凡的整数解，在方程中，也就是中也是有且仅有三组正整数解：，和。卡塔兰在1842年和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(柯召在1962年证实了方幂中有一平方数的情况；Tiideman在1976年证明了，在自然数之

27、后均为正整数幂，所以每个正整数的幂都应该小于常数，已证得）。 方程仅有一组整数解的原因是只有是在方幂52和33之间的整数。并且方程有两组整数解和；可是有且仅有一组整数解。欧拉很早就验证出了有且仅有一组整数解，这和卡塔兰猜测是一样的；虽然有、 、 三组整数解；可是却没有整数解(形状像的方程叫为Modell方程，可是却叫做Pell方程)。多面体的形状多种多样，形式类别也如天上繁星般无法去计数，可是欧拉却在他们之中寻找到了共同点：在这个多面体是简单多面体（单连通形成的简单多面体，表面可以变形到球面）的情况下，它的顶点、棱、面的数量可以由 来表示，这就是欧拉公式 黄赞焕.数学美学中的德育资源以初中数学

28、学科为例J.中国农村教育,2019(02):66+87.。这个公式在很多情况下都是可以被使用的（可以使用的情况已经在括号中表示）。所以学者们在这个情况的基础下得出了正多面体（每个面都是全等正多边形的几何体）只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。另外，它的共轭多面体（两种多面体有一样的棱的数量，并且一个的定点数和面数是另一个的面数和顶点数）也是五种，它们每个面的边数量和与这一点相交的棱数，以及，的关系如下： 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体) 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体)

29、 (正十二面体)我们也知道：平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)。有人将问题推广到空间情形。早在公元1694年，英国的一名天文学家叫格雷戈里的作出大胆的猜测：一个单位的球(也就是半径是1的球)可以相切于个单位的球，但是牛顿却觉得应该是和个单位球相切。约是260年之后(也就是在1953年)，范德瓦尔与许特登与许特得出了“最多可以和个单位的球相切”的结论。1956年，利奇给出了简化的一个证明。顺便说一句，上面的结论和自然界的一些现象和构造是相互协调的。在公元19世纪，法国的一个叫布拉维的结晶学家根据群论的研究结果，得出了晶体只有种有可能存在的结构(这早已被现代的科学

30、证实)的结果，这个有限的类别的结构早已经被无限的自然界认可。完美矩形(也就是用规格不一样的正方块所组的矩形)有无数种的可能，但阶数(也就是拼成它所用的小正方形的个数)最小的完美的矩形(阶)只存在两个可能(如下图所示，图片中显示的数字就是这个正方形的边长)。考虑到周长一定时的毕达哥拉斯三角形的个数问题。当个数是的时候，存在着周长为的情形: 三个边长分别是、的三角形的周长都是的毕达哥拉斯三角形；当个数是的时候，中只存在例周长是小于的情况，当中最小的周长是，三个边长分别是、的三角形的周长是的毕达哥拉斯三角形。此种问题第一个是为了在意形式上的美(所以才增加了限制)，它的解竟然这么的稀少！在数学中，有限

31、性的另外一层含义是：“项”和“个数”的最少的问题。例如，我们刚才在前面所提到的完美的矩形的阶数最小的为，完美的正方形的最小的阶数为等。另外，还有很多这样的问题，例如：当正方形被分解为锐角三角形的时候，它的个数最少不低于(见上图(1)所示)；当钝角的三角形被分解为锐角三角形的时候，它的个数不少不低于个(见上图(2)所示)。数学中存在的唯一性的问题，为特殊的有限。例如，两条相交的直线有且只有一个交点; 例如螺旋式的三阶反幻方(即各列、各行、各对角线上总数之和都不相同)，不计算它的反射、旋转、平移等变换，它的解也是唯一的。由相同类型的数字来组成的数、由相同类型的图组成的图形，他们同样包含着单一的问题

32、。这个类型的问题在数学问题中存在许多。例如，平面镶嵌的问题，也就是：用怎样的单一的图形可以把平面(完美的正方形同样是镶嵌)铺满(不重叠、没有缝隙)平面?当然圆是不可以的，因为圆和圆中间存在着空隙。最为简单的图形也就是正多边形适合。但你是否想到，是不是任何正多边形都能够做到呢? 回答当然是否定的。实际上，只有三个类型的正多边形能够做到，即正四边形、正六边形、正三角形可以铺满整个平面。 经过简单的一些计算， 我们很容易就可以证实这点。假设正边形的所有内角为。 如果它可以铺满整个平面(如上图)，则一定存在有，使成立。 根据正多边形的内角的公式，代入到上式中午,就会得出，也就是，但是只可以为整数，在只

33、有的时候，也就是是，的时候才能做到(听说在毕达哥拉斯的时代，人们就对这个问题早就进行了研究)。众所周知，平行四边形就能够铺满整个平面，还有梯形同样可以做到(两个梯形就能组成一个整个的平行四边形)。 事实上，所有一个规格的四边形也都能够铺满整个平面。 但是，并不是所有的五边形都能够铺满整个平面。对与五边形来书，可以用它们来铺满平面的情形只有个(是在1978年，沙特斯奈德发现的)。 第一种第二种 第三种第四种第五种第六种第七种 可以铺满整个平面的非特殊的六边形发现了三种(是在1918年，是莱因哈托发现的)。铺地的问题事实上也就是用有限的问题来表示无限的问题的变形或者是另外一种提法。无限中存在有限在

34、数学中是美的现象，相反有限中的无限，也是数学中特有的美的现象。结语通过文章层层递进的分析，可以看出，数学美不仅仅只表现在定理、公式以及图形的美之上，还有其他的奇异美，如有限性或无限性的奇异美，或者是反例的奇异美，这些均吸引着我们更好的去探究数学。受限于个人水平，文章存在一定疏漏，恳请导师批评指导。参考文献1殷启正,徐本顺,杨耕文.论数学奇异美J.松辽学刊(自然科学版),1992(01):75-77.2韩应华.数学的奇异美与数学教学中的创新教育J.中国轻工教育,2009(03):90-92.3赵春祥.在数学研究性学习中培养学生审美能力J.新课程研究(上旬刊),2015(04):115-119.4

35、欧林书.浅谈数学之奇异美J.数学学习与研究,2017(04):153.5高保银.小学数学教学中数学文化的有效运用J.名师在线,2017(01):59-60.6张小平.抓“奇” 利“动” 导“胜”J.小学教学参考,2010(35):45.7杨娟.揭示数学美 培养学生创新性思维J.成才之路,2010(35):51-52.8胡建庭,徐沥泉.感受数学奇异美数学中化奇异为和谐的例J.江苏教育学院学报(自然科学版),2011,27(03):14-18.9刘丽霞.浅谈数学美及其在教学中的应用J.职业技术,2008(06):38.10陈明惠.小议数学中的奇异美J.四川文理学院学报,2007(S1):124-125.11丁巍.数学美与大学数学教学J.辽宁教育行政学院学报,2016,33(01):67-70.12汤波.谈谈数学的奇异美J.济南教育学院学报,2002(02):56-57.13韦静.小学数学教师对数学美的认识的调查研究D.闽南师范大学,2017.14任宝苹.数学美渗透到初中代数教学之研究D.内蒙古师范大学,2017.15彭念.数学美与数学直觉思维能力培养D.华中师范大学,2008.16周玮.数学美在高职教育中的应用D.山东师范大学,2006.17黄赞焕.数学美学中的德育资源以初中数学学科为例J.中国农村教育,2019(02):66+87.21致谢