反函数知识点总结材料讲义教案设计

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1、实用文档文案大全班级班级：一对一一对一所授所授年级年级+ +科目科目： 高一高一数学数学授课教师：授课教师：课次课次：第次：第次学生：学生：上课时间：上课时间：教学目标教学目标理解反函数的意义理解反函数的意义， 会求函数的反函数会求函数的反函数； 掌握互为反函数的函数图象之间的关系掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题会利用反函数的性质解决一些问题教学重难点教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系反函数的求法，反函数与原函数的关系反函数知识点总结教案反函数知识点总结教案【知识整理】【知识整理】一函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个范围

2、内的每一个确定的值，按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数，x就叫做自变量，x的取值范围 D 称为函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 A 叫做函数的值域，记为：)(xfy xD.二反函数定义一般地，函数)(xfy (xD),设它的值域为 A,我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到)(yx,如果对于y在 A 中的任何一个值，通过)(yx,x在 D 中都有唯一的值和它对应， 那么，)(yx就表示y是自变量，x是自变量y的函数， 这样的函数)(yx（yA)叫做函数)(xfy (xD)的反函数.记作：)(1yfx反函数)(1yfx中，x为

3、因变量，y为自变量， 为和习惯一致， 将x,y互换得：)(1xfy( xA).注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；三主要方法：1求反函数的方法步骤：实用文档文案大全求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；由)(xfy 反解出)(1yfx(把x用y表示出来)；将x,y互换得：)(1xfy，并写出反函数的 定义域2 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.3 原函数与反函数的联系反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若( )yf x与1( )yfx互为反函数，函数( )yf x的定义域为D

4、、值域为A，则1( )()f fxx xA，1 ( )()ff xx xD；函数)(xfy 反函数)(1xfy定义域DA值 域AD4.互为反函数的函数图象间的关系一般地， 函数)(xfy 的图像和它的反函数)(1xfy的图像关于直线y=x对称， 其增减性相同.释意：如果点(a,b)在函数)(xfy 的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1xfy的图像上。换言之，如果函数)(xfy 的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1xfy的图像上必然有点(b,a).1求下列函数的反函数：（1）2( )(1)f xxx x ；（2）221(01)( )( 10)xxf xxx .实用文档文案大全

5、解： （1）由2(1)yxx x 得2211()(1)24yxx ，211(0)24xyy ，所求函数的反函数为211(0)24yxx （2）当01x时，得1( 10)xyy ，当10 x 时，得(01)xyy ，所求函数的反函数为1( 10)(01)xxyxx 2函数11(,)1axyxxRaxa 的图象关于yx对称，求a的值解：由11(,)1axyxxRaxa 得1(1)(1)yxya y ，11( )(1)(1)xfxxa x ，由题知：1( )( )f xfx，11(1)1xaxa xax，1a 3若(2,1)既在( )f xmxn的图象上，又在它反函数图象上，求,m n的值解：(2,

6、1)既在( )f xmxn的图象上，又在它反函数图象上，(1)2(2)1ff，221mnmn，37mn 4设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值解法一：由1 21xyx得12yxy，11( )2xfxx，1(1)3xfxx，实用文档文案大全)(xg与3xyx互为反函数，由23xx，得(2)2g 解法二：由1(1)yfx得( )1xf y，( )( )1g xf x，(2)(2)12gf 5已知函数( )yf x（定义域为A、值域为B）有反函数1( )yfx，则方程( )0f x 有解xa，且( )()f xx xA的充要条件是1( )yfx满

7、足11( )()(0)fxx xBfa且6已知21( )()21xxaf xaR，是R上的奇函数 （1）求a的值； （2）求( )f x的反函数；（3）对任意的(0,)k 解不等式121( )logxfxk解： （1）由题知(0)0f，得1a ，此时2121211 2( )()021212112xxxxxxxxf xfx，即( )f x为奇函数（2）21212121xxxy ，得12( 11)1xyyy ，121( )log( 11)1xfxxx （3）121( )logxfxk，11111xxxkx ，111xkx ，当02k时，原不等式的解集 |11xkx，当2k 时，原不等式的解集 |

8、11xx 7.已知函数13)(xxf的反函数)(1xfy，) 13(log)(9xxg（）若)()(1xgxf，求x的取值范围D；实用文档文案大全（）设函数)(21)()(1xfxgxH，当Dx时，求)(xH的值域.解：13)(xxf，) 1(log)(31xxf（）)()(1xgxf即) 13(log) 1(log93xx) 13(log) 1(log929xx，2(1)31,10.xxx 解之得10 x1, 0Dx（）)(21)()(1xfxgxH) 1(log21) 13(log39xx) 1(log) 13(log99xx113log9xx1, 0 x令123113xxxt，显然在0，

9、1递增，则有21t2log)(09xH，即)(xH的值域为2log09 yy8.8. 已知函数)(xfy 在其定义域D内是减函数，且存在反函数，求证：)(xfy 的反函数)(1xfy在它的定义域E内也是减函数（E是)(xfy 的值域） 证明：)(xfy 在其定义域D内是减函数，设Dxx21,，且21xx ，有)()(21xfxf令)(),(2211xfyxfy，有Eyy21,，且21yy 函数)(xfy 在上D存在反函数Exxfy),(1，)(),(212111yfxyfx由题意，)()(21112121yfyfxxyy，且Eyy21,，实用文档文案大全)(1xfy在定义域E内是减函数9.已知

10、函数21( )() ,1.1xf xxx（1）求( )f x的反函数1( )fx； （2）判定1( )fx在其定义域内的单调性；（3）若不等式1(1)( )()x fxa ax对11, 16 4x恒成立，求实数a的取值范围.解： （1）由y=（11xx）2，得x=yy11. 又y=（112x）2，且x1，0y1f1（x）=xx11（0 x1）.（2）设 0 x1x21，则1x2x0，11x0，12x0.f1（x1）f1（x2）=)1)(1 ()(22121xxxx0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1x）xx11a（ax）.1+xa2ax，即（1+

11、a）x+1a20 对x161，41恒成立.显然a1.令t=x，x161，41 ，t41，21.则g（t）=（1+a）t+1a20 对t41，21恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是关于t的一次函数，实用文档文案大全g（41）0 且g（21）0，即, 01)1 (21, 01)1 (4122aaaa解得1a45【反馈练习】1 函数223yxax在区间1, 2上存在反函数的充要条件是（D）A、,1a B、2,aC、1,2aD、,1a 2,2 函数) 1( 12xyx的反函数是（ A）A)3 , 1 (),1(log2xxyB)3 , 1 (,log12xxyC 3 , 1 (),1(log

12、2xxyD 3 , 1 (,log12xxy3 若函数)(xf是函数10222xxy的反函数，则)(xf的图象为 （ B）xxxxyyyyOOOOABCD4 4 若函数)(xfy 的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数)(1xfy的图象经过(B)（A）第一、二象限（B） 第二、三象限（C）第三、四象限（） 第一、四象限5 设0,1aa，函数logayx的反函数和1logayx的反函数的图象关于（B）( )A x轴对称( )By轴对称()Cyx轴对称()D原点对称6 已知函数( )ln1(0)f xxx，则( )f x的反函数为 (B)实用文档文案大全（A）1()xyexR（B）1()xy

13、exR（C）1(1)xyex（D）1(1)xyex7 设 1fx是函数 112xxf xaaa的反函数，则使 11fx成立的x的取值范围为（A）A、21(,)2aaB、21(,)2aaC、21(, )2aaaD、( ,)a 解:1a 时， f x单调增函数，所以 21111112afxffxfxfa 。8 设函数f（x）是函数g（x）=x21的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ C ）A.0，+）B.（，0C.0，2）D.（2，0 解：f（4x2）=log2（4x2）,x（2，0时，4x2单调递增；x0，2）时，4x2单调递减.9 已知函数baxfx)(的图象过点（，），又其反函数的图象

14、经过点（，），则)(xf的表达式为_.)(xf=43x10 关于反函数有下列命题：二次函数一定有反函数；反比例函数一定有反函数；若函数)(xfy 与其反函数)(1xfy有公共点，则该点一定在直线xy 上；单调函数在其单调区间上一定有反函数以上命题，正确的命题的序号是_.11 已知函数31,13aaxaxxy的反函数就是它本身，那么a_ .-312 若函数 f x存在反函数 1fx，且方程 f xxa、方程 1fxxa分别有唯一实根1x、2x，则12xx=_。 （a 为常数）a13 已知函数y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x） ，则g（8）=_解：

15、当x0 时，x0，f（x）=13x.又f（x）是奇函数，f（x）=f（x） ，即f（x）=13x.f（x）=x 31实用文档文案大全f（x）=xx3113. 0, 0 xxf1（x）=. 0)1 (log, 0) 1(log33xxxxf1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.14 求函数的反函数：32331yxxx.解：由32331yxxx得3(1)2yx，312()xyyR ，所求反函数为13( )12()fxxxR 15 设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值.解法一：由1 21xyx得12yxy，11( )2xfxx

16、，1(1)3xfxx，)(xg与3xyx互为反函数，由23xx，得(2)2g 解法二：由1(1)yfx得( )1xf y，( )( )1g xf x，(2)(2)12gf 16 求函数2385xxy的值域(掌握利用反函数法求函数值域)解：2385xxy5382yyx35y函数的值域为35|yy17 2112 ,0 ,f xxxxfx已知求。解：由 222121111f xxxxf xxx 21,10,xyx Q2110yxxyy 故所求的反函数是 110fxxx实用文档文案大全1 设0,1aa，函数logayx的反函数和1logayx的反函数的图象关于()( )Ax轴对称( )By轴对称()C

17、yx轴对称()D原点对称2 已知函数1( )( )12xf x ，则1()fx的图象只可能是（）( )A ( )B ()C ()D3 若函数)(xf的图象上经过点) 1, 0( ，则函数)4( xf的反函数的图象上必经过点（C）)4 , 1() 1, 4()4, 1()4 , 1 (4 已知函数)(xfy 有反函数，则方程axf)(（a为常数） （B）有且只有一个实根至多有一个实根至少有一个实根实根的个数无法确定5 函数12 xy（Nx）的反函数是（ C）A21xy（Nx）B21xy（Zx）C21xy（正奇数x） D21xy（正奇数x）6 设函数32)(2xxxf，1 ,x，则)(1xf的定义

18、域是（ D）A, 0B), 2(C1 ,D,21xyO2xyO1xyO11xyO2实用文档文案大全7 若6yax与13yxb的图象关于直线yx对称，且点( , )b a在指数函数( )f x的图象上，则( )f x 8 若函数axxxf23)(有反函数,则实数a的取值范围是_Ra且32a.9 设21(01)( )2 ( 10)xxxf xx ，则15( )4f10 求函数)0(3)0(2xxxxy的反函数解：当0 x时，2xy 则反函数为xy（0 x） ；当0 x时，xy3则反函数为xy31（0 x） ，原函数的反函数为:)0(31)0(xxxxy11 求下列函数的值域； （1）122xxy；

19、 （2）313xxy解： （1）先由122xxy可得yyx212，21y，故原函数的值域21yRyy且（2）先由313xxy可得yyx313，3y，故原函数的值域为3yRyy且说明：通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，往往适用于函数的解析式为一次分式的情况12 已知函数) 1()(2xaxxxf，且函数)(xf具有反函数，求常数a的取值范围设0a是满足上述条件的a的最大值，当0aa 时，求)(xf的反函数实用文档文案大全解：二次函数axxxf2)(对称轴为2ax，函数)(xf具有反函数，12a，解得常数a的取值范围为2a20a令1) 1(2)(22xxxxfy，2) 1(1xy，1x，1

20、1yx，11yx，)(xf的反函数为11)(1xxf13 若xxf21)(，且)(xgy 的图象与) 1(1xfy的图象关于直线xy 对称为 g(x)，求)3(g的值解：令xy21，得12yx，12)(1xxf，xxf2) 1(1)(xgy 的图象与) 1(1xfy的图象关于直线xy 对称，14 已知xxxf324)(，求)(1xff及)(1xff的解析式，并判定它们是否为同一函数解：由xxxf324)(求出反函数1324)(1xxxf（31x） ，则xxxxxxfxfxff13243324241)(3)(24)(1（32x）xxxxxxfxfxff21324313244)(32)(4)(111（31x）虽然)(1xff与)(1xff两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同实用文档文案大全15 设)(xf是R上的增函数，并且对任意Rx，有)()(1xfxf成立，证明xxf)(解：若存在Rx 0，有00)(xxf，不妨设00)(xxf，则)()(001xfxff，即)(00 xfx 矛盾，同理可证也不可能有00)(xxf，对一切Rx有00)(xxf教案审核：