二次函数知识点总结材料及相关典型题目

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1、word二次函数知识点总结与相关典型题目第一局部 根底知识1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.的性质1抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2函数的图像与的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线.用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状一样.平行于轴或重合的直线记作.特别地，轴记作直线

2、.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 1公式法：，顶点是，对称轴是直线. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失.中，的作用 1决定开口方向与开口大小，这与中的完全一样. 2和的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；即、同号时，对

3、称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧. 3的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，：，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.轴右侧，如此 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下轴0,0轴(0,)(,0)(,)() 1一般式：.图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 2顶点式：.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 1轴与抛物线得交点为(0,). 2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的

4、两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离. 4平行于轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，如此横坐标是的两个实数根. 5一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. 6抛物线与轴两交点之间的距离：假如抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故第二局部 典型习题yx2

5、2x2的顶点坐标是 A.2，2 B.1，2 C.1，3 D.1，3的图象如下列图，如此如下结论正确的答案是 ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第,题图 第4题图的图象如下列图，如此如下结论正确的答案是Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E，交AC于点FEF不过A、B，设E到BC的距离为，如此的面积关于的函数的图象大致为 与x轴分别交于A、B两点，如此AB的长为与x轴交点的横坐标为、，如此对于如下结论：当x2时，y1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是

6、只需填写序号与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.1假如该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；2过点B作直线BCAB交x轴交于点C，假如抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.解： 8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,1求此二次函数的解析式；2在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值X围. 解：9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况一样他们将一头骆驼前两昼夜的

7、体温变化情况绘制成如下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间X围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第9题第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形假如存在，请求出a的值；假如不存在，请说明理由yx2mxm2. 1假如抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m的值；2设C为抛物线与y轴的交点，假如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解: 12.：抛物线与x轴

8、的一个交点为A1，01求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；2D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；3E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在2中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由13.二次函数的图象如下列图1求二次函数的解析式与抛物线顶点M的坐标2假如点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时点N不与点B，点M重合，设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S

9、与t之间的函数关系式与自变量t的取值X围； 3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?假如存在，求出所有符合条件的点P的坐标；假如不存在，请说明理由；4将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程的图象经过点1，1求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图1在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1

10、 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图21求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； 2如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长备用数据：，计算结果准确到1米16.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数a0的图象经过点A、B，与y轴相交于点C1a、c的符号之间有何关系?2如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；3在2的条件下，如果b4，求a、c的值第二局部 典型习题yx22x2的顶点坐标是 D A.2，2 B.1，2 C.1，3 D.1，3的图象如下列图，如

11、此如下结论正确的答案是 Cab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第,题图 第4题图.二次函数的图象如下列图，如此如下结论正确的答案是Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E，交AC于点FEF不过A、B，设E到BC的距离为，如此的面积关于的函数的图象大致为 与x轴分别交于A、B两点，如此AB的长为 4 与x轴交点的横坐标为、，如此对于如下结论：当x2时，y1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是只需填写序号与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.1

12、假如该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；2过点B作直线BCAB交x轴交于点C，假如抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.解：1或 将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,1求此二次函数的解析式；2在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值X围.解：1设所求二次函数的解析式为,yOx如此,即,解得故所求的解析式为:.2)函数图象如下列图.由图象可得，当输出值为正数时，输入值的取值X围是或第9题9.某生物兴趣小组在

13、四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况一样他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成如下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间X围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是39与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形假如存在，请求出a的值；假如不存在，请

14、说明理由解：依题意，得点C的坐标为0，4 设点A、B的坐标分别为，0，0， 由，解得，点A、B的坐标分别为-3，0，0，当时，ACB90 由， 得 解得当时，点B的坐标为，0， 于是当时，ABC为直角三角形当时，ABC90由，得解得当时，点B-3，0与点A重合，不合题意当时，BAC90由，得解得不合题意综合、，当时，ABC为直角三角形yx2mxm2. 1假如抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m的值；2设C为抛物线与y轴的交点，假如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解: (1)x1，0,B(x2，0) . 如此x1，x2是方程

15、x2mxm20的两根.x1 x2m , x1x2=m2 0 即m2 ;又ABx1x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值为1 . 2M(a，b)，如此N(a，b) .M、N是抛物线上的两点,得：2a22m40 . a2m2 .当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. .这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为0，2m,而SM N C = 27 ,22m=27 .解得m=7 . 12.：抛物线与x轴的一个交点为A1，01求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；2D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的

16、解析式；3E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在2中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由解法一：1依题意，抛物线的对称轴为x2 抛物线与x轴的一个交点为A1，0， 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为3，02 抛物线与x轴的一个交点为A1， 0，t3aD0，3a 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线 上，C4，3aAB2，CD4 梯形ABCD的面积为9，a1 所求抛物线的解析式为或3设点E坐标为，.依题意， 且设点E在抛物线上，解方程组

17、得 点E与点A在对称轴x2的同侧， 点E坐标为，设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小AE长为定值， 要使APE的周长最小，只须PAPE最小 点A关于对称轴x2的对称点是B3，0， 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为， 解得 直线BE的解析式为 把x2代入上式，得 点P坐标为2，设点E在抛物线上，解方程组 消去，得0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P2，使APE的周长最小解法二：1 抛物线与x轴的一个交点为A1，0，t3a令 y0，即解得 ， 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为3，02由，得D0，3a 梯形ABCD中，A

18、BCD，且点C在抛物线上， C4，3aAB2，CD4 梯形ABCD的面积为9，解得OD3a1 所求抛物线的解析式为或3同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点 如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交点为F由PFEQ，可得 点P坐标为2，以下同解法一13.二次函数的图象如下列图1求二次函数的解析式与抛物线顶点M的坐标2假如点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时点N不与点B，点M重合，设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式与自变量t的取值X围； 3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?假如存在，求出所

19、有符合条件的点P的坐标；假如不存在，请说明理由；4将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程解：1设抛物线的解析式，其顶点M的坐标是 2设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为Nt，h，解得， 线段BM所在的直线的解析式为，其中s与t间的函数关系式是，自变量t的取值X围是3存在符合条件的点P，且坐标是，设点P的坐标为P，如此，分以下几种情况讨论：i假如PAC90，如此解得：，舍去 点ii假如PCA90，如此解得：舍去点iii由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，所以边AC的对角APC不可能是直角4

20、以点O，点A或点O，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA或边OC的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D1，2， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F图a 图b的图象经过点1，1求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数解：根据题意，得a21.a1 这个二次函数解析式是因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是0，2，所以该函数图象与x轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图

21、1在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图21求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； 2如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长备用数据：，计算结果准确到1米解：1由于顶点C在y轴上，所以设以这局部抛物线为图象的函数解析式为 因为点A，0或B，0在抛物线上， 所以，得因此所求函数解析式为 2因为点D、E的纵坐标为， 所以，得 所以点D的坐标为，点E的坐标为，所以因此卢浦大桥拱内实际桥长为 米16.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次

22、函数a0的图象经过点A、B，与y轴相交于点C1a、c的符号之间有何关系?2如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；3在2的条件下，如果b4，求a、c的值解:1a、c同号 或当a0时，c0；当a0时，c02证明：设点A的坐标为，0，点B的坐标为，0，如此， 据题意，、是方程的两个根 由题意，得，即 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数3当时，由2知，a0解法一：ABOBOA， ，得c2.解法二：由求根公式，得c217.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O与A、B两点1C是E上一点，连结BC交OA于点D，假如CODCBO，求点A、B、C的坐标；2求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：3假如延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置关系，并说明理由解：1连结EC交x轴于点N如图 A、B是直线分别与x轴、y轴的交点 A3，0，B又CODCBOCBOABC C是的中点 ECOA连结OE C点的坐标为 2设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为 C为所求3，BAO30，ABO50由1知OBDABD ODOBtan301 DA2ADCBDO60，PDAD2ADP是等边三角形DAP60BAPBAODAP306090即PAAB即直线PA是E的切线19 / 19