二次函数例题

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1、（2012恩施州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N，当M（3

2、，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小；（3）需要分类讨论：当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知SAPC=（x）2+，所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，

3、如图2设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据图示以及三角形的面积公式知SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x）2+，所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值；解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得， 解得，故抛物线为y=x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（1，0）及C（2，3）得， 解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6， 3），由（1）得D（1，4），故直线DN的函数关系式为y=x+，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则m=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（

4、1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），F在抛物线上， x+3=x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去）E（0，1）；当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1）由F在抛物线上 x1=x2+2x+3 解得x=或x=E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）PQ=（x2+2x+3）（x1）=x2+x+2又SAPC=SAPQ+SCPQ=PQAG=（x2+x+2

5、）3=（x）2+面积的最大值为方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，如图2，设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）33=x2+x+3 =（x）2+APC的面积的最大值为例2：【2011 浙江杭州】2011年在国家央行加息的压力下，某公司决定研制一种新型节能产品并加以销售，现准备在一线城市和二线城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场 若只在一线城市销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x150， 成本为20

6、元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润=销售额成本广告费） 若只在二线城市销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为 常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为（元）（利润=销售额成本附加费） （1）当x=1000时，y=元/件，w一线=元； （2）分别求出，与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在一线城市销售的月利润最大？若在二线城市销售月利润的最大值与在一线城市销售月利润的最大值相同，求a的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决

7、策，选择在二线城市还是在一线城市销售才能使所获月利润较大？解：（1）14057500； （2）w一线=x（y-20）-62500= x2130x， W二线= x2（150）x（3）当x=6500时，w一线最大=360000； 由题意得， 解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）所以a=30（4）当x=5000时，w一线=337500，w二线= 若w一线w二线，则a32.5； 若w一线=w二线，则a=32.5； 若w一线w二线，则a32.5 所以，当10a32.5时，选择在二线销售； 当a=32.5时，在一线和二线销售都一样； 当32.5a40时，选择在一线销售例3：（2011山东日照）某

8、商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店。两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？解：（1）根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱（70-x）台，调配

9、给乙连锁店空调机（40-x）台，电冰箱为60-（70-x）=（x-10）台，则y=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）， 即y=20x+16800 10x40y=20x+16800（10x40）；（2）按题意知：y=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），即y=（20-a）x+16800200-a170， a30当0a20时，20-a0，函数y随x的增大而增大，故当x=40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a=20时，x的取值在10x40内的所有方案利润相同； 当2

10、0a30时，20-a0，函数y随x的增大而减小，故当x=10时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台2.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面一米的A处飞出，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地后又一次弹起。据试验，足球在草坪上弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。（1） 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。（2） 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43=7）。（3） 运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？解：（1）如图，设第一次落

11、地时，抛物线的表达式为由已知：当时即表达式为（或）（2）令（舍去）足球第一次落地距守门员约13米（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位） 解得（米）解法二：令 解得（舍），点坐标为（13，0）设抛物线为将点坐标代入得：解得：（舍去），令（舍去），（米）解法三：由解法二知， 所以所以答：他应再向前跑17米 3.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45（1）求一次函数y=kx+b

12、的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围 解：（1）由题意可得55 = k*65+b 解得k=-1，45 = k*75+b b=120所求一次函数的表达式为y=-x+120（2）W=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即x-606045%，60x87，当x=87时，W=-（87-90）2+90

13、0=891当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）由W500，得500-x2+180x-7200，整理得，x2-180x+77000，而方程x2-180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=-x2+180x-7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件x87元/件，所以，销售单价x的范围是70x87例1：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点过点A作垂直于y轴的直线l在抛物线上有一动点P，过点P作

14、直线PQ平行于y轴交直线l于点Q连接AP（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧若将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式解：（1）由题意得，4=c 解得a=-1 16a+4b+c=0 b=3 a-b+c=0 c=4 抛物线的解析式 y= -x2+3x+4（2）过点M作x轴的垂线交l于E，交另一条直线于F， 1）若PQAAOC，则AQ/QP=OC/AO 即x/ x2-3x=1/4 或-

15、 x/ x2-3x=1/4 解得x=7； x=-1 2）若AQPAOC，则AQ/QP=AO/OC 即x/ x2-3x=4/1 或-x/ x2-3x=4/1 解得x=13/4 x=11/4点P的坐标为(7，-24)，或 (-1，0)或 (13/4,51/16)或(11/4,75/16)(3)若点M在X轴上设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM， AEMMFP则 AM/ME=MP/PF ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ= x2-3x， X/4= x2-3x/PF 解得：PF=4x-12， OM=（4x-12）-x=3x-12，RtAOM中，由勾股定理得OM

16、2+OA2=AM2， （3x-12）2+42=x2， 解得x1=4，x2=5， 故点P的坐标为（4，0）或（5，-6） 此时y= - x+4 或y= - 2x+4 若点M在X轴上则易证AQPM为正方形 AQ=PQ即x= -x2+3x 解得x=2， 故点P的坐标为（2，6） 此时y= x+4 例:2：已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象经过点A(1,0) ，B(2,0) ，C(0,-2) ，直线 x=m（ m2）与 x轴交于点D （1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m2 ）上有一点E （点E 在第四象限），使得E,D,B 为顶点的三角形与以A,O,C 为顶点的三角形相似，求

17、 E点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由解：（1）二次函数yaxbxc的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，2） abc0 解得a1， 4a2bc0 b3， c2 c2二次函数的解析式yx 3x2（2）当EDBAOC时，有AO/EDCO/BD或AO/BDCO/EDAO1，CO2，BDm2当AO/EDCO/BD时，得1/ED2/(m2)， ED(m2)/2点E在第四象限， E1（m，()/2）当AO/BDCO/ED时，得1/(m2)2/

18、ED， ED2m4点E在第四象限， E2（m，42m）（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EFAB1，点F的横坐标为m1当点E1的坐标为（m，(2m)/2）时， 点F1的坐标为（m1，(2m)/2）点F1在抛物线的图象上， (2m)/2(m1)3(m1)22m 11m140， 解得m17/2，m22（不合题意，舍去）F1（7/2，3/4） 此时SABEF 13/43/4当点E2的坐标为（m，42m）时， 点F2的坐标为（m1，42m）点F2在抛物线的图象上， 42m(m1) 3(m1)2m 7m100， 解得m15，m22（不合题意，舍去）F2（4，6） 此时SABEF 1666.（2012凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PDx轴于D，交AB于点E当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？yxOBPCA（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由