概率论与数理统计课后习题答案徐雅静版

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1、第1章三、解答题1 .设P(AB) = 0,则下列说法哪些是正确的？(1) A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确.2 .设 A, B 是两事件，且 P(A) = 0.6, P(B) = 0.7,问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB) P(A) P(B) P(A B), 又因为 P(B) P(A B)即 P(B) P(A B) 0.所以当P(B)

2、 P(A B)时P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) P(A)=0.6.(2) P( A B) 1 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3 .已知事件 A, B 满足 P(AB) P(AB ),记 P(A) = p,试求 P(B).解：因为 P(AB) P(AB),即 P(AB) P(AB) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB), 所以 P(B) 1 P(A) 1 p.4 .已知 P(A) = 0.7, P(A B) = 0.3,试求 P( AB).解：因为 P(A B) = 0.3,所以 P(A ) P(AB) = 0.3, P(

3、AB) = P(A ) 0.3, 又因为 P(A) = 0.7,所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4, P(AB) 1 P(AB) 0.6.5 .从5双不同的鞋子种任取 4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 4解：显然总取法有 n C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k：法一：分两种情况考虑：k C5 c2 (C2)2 + C；其中： C5c2(C2)2为恰有1双配对的方法数 11法二：分两种情况考虑：k c5 C8 C6 +C552!51 c8 c6其中：C5 6为恰有1双配对的方法数 2!法三：分两种情况考虑：k C1(C； C：) + C； 其中：c5(c； c

4、4)为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k c5c；-C；441 4法五：考虑对立事件：k C10-C5 (C2)4_ 1 4其中：C5 (C2)为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：k C140C；0 C8 C6 C44!C1 c1 c1 c1其中:C10 C8 C6 C4为没有一双配对的方法数4!所求概率为pC：。13216.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码.求:解:求最小号码为求最大号码为法一：P5的概率;5的概率.C5C30,法二:12C3 A2 AT112(2)法二：pC42C30,法二:20C3A2207.将

5、3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 23的概率.解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为12, 3的事件，则P(M1)A3 3，P(M2)?4849冠 P(M3)c443168.设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则P(M2)C1 03P(M1) CC2 06 P(M1)C5C5C；-4 0.1 c；9 . 口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的

6、概率.M M1M1= 取到两个球颜色相同” ,M1= “取到两个球均为白球” ,M2= “取到两个球均为黑球”,则M 2且 M1 M 2所以P(M )P(M1 M2) P(M1) P(Mz) c C2C2C2132810 .若在区间(0, 1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间=(x事件A =两数之和小于6/5 = (x, y)因此y)： 0 x, yx + y 6/51P(A)A的面积 的面积172511 .随机地向半圆0 y d2ax x2 (图？a为常数

7、)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 一的概率.4解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与 x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x, y)： 0 x 2a,0 y J2ax x2事件A = 原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 一4因此=(x, y)： 0 x 2a,02 .y 2ax x ,0P(A)A的面积 的面积112.已知 P(A) ,P(BA)4解：P(AB) P(A)P(B A)11-,P(AB),求 P(A B).32

8、1 1 1,P(B) B14 3 12P(A| B)_1 1 112 2 613 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概 率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产 品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”设庆=”所取两件产品中至少有一件是不合格品，B= 两件均为不合格品”；P(A) 1 P(A) 1C6-2，P(BC103C2C12014 .有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球

9、放到第2个箱子里，再从第 2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？P(A)Cc5解：设A= 从第1个箱子中取出的1个球是白球 ，B= 从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则3-2,P(A) 一,由全概率公式得55由贝叶斯公式得15 .将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2: 1,若接收站收到的信息是 A,问原发信息是A的概率是多少？解：设M= 原发信息是A，N= 接收到的信息是 A”， 已知 所以由

10、贝叶斯公式得1 1 116 .三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为一，问二人中至少有一人能将此密码译出的概率是5 3 4多少？解：设Ai= 第i个人能破译密码”，i= 1,2,3.111-4-2-3已知 P(A) 一,p(A2) -,P(A3)一,所以 P(A) -,p(A2) 一,p(A3)-,534534至少有一人能将此密码译出的概率为17 .设事件A与B相互独立，已知 P(A) = 0.4, P(AU B) = 0.7,求 P(BA).解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A U B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B)

11、 - P(A)P(B) 将 P(A) = 0.4, P(A U B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5 ,所以或者，由于A与B相互独立，所以A与B相互独立，所以18 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少?解：设A= 甲射击目标”，B= 乙射击目标，M= 命中目标”， 已知 P(A)=P(B)=1, P(M A) 0.6,P(M B) 0.5,所以 由于甲乙两人是独立射击目标，所以19 .某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1;第二种工艺有两道工序

12、，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2,试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai= 第1种工艺的第i道工序出现合格品，i= 1,2,3; Bi= 第2种工艺的第i道工序出现合格品，i=1,2. (1)根据题意，P(Ai)=0.7, P(A2)=0.8, P(A3)=0.9, P(Bi)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7 0.8 0.9 0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P

13、(B2)= 0.7 0.80.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P(Bi)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 0.7 0.70.49._1_9P(C) 一,且已知 P( A B C),216可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1.设两两相互独立的三事件 A, B和C满足条件ABC = ，P(A) P(B)求 P(A).解：因为ABC =,所以P(ABC) =0,因为A, B, C两两相互独立，P(A) P(B) P(C),所以由加法公式P(A B C) P(A

14、) P(B)P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)得3P(A) 3P(A)2916即4P(A)34P(A) 1 0-_1_1考虑到P(A)一,得P(A)-.2412.设事件A, B, C的概率都是一，且P(ABC) P(ABC),证明:2一- 一 12P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC).2证明：因为P(ABC) P(ABC),所以P(ABC) 1 P(A B C) 1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 将1口P(A) P(B) P(C) 一代入上式得到2整理得3 .设 0 P(A) 1 , 0 P(B) 1 , P

15、(A|B) +P(A|B) 1, 试证A与B独立.证明：因为P(A|B) + P(A | B) 1 ,所以将P(A B) P(A) P(B) P(AB)代入上式得两边同乘非零的P( B)1- P( B)并整理得到所以A与B独立.4 .设A, B是任意两事件，其中 A的概率不等于0和1,证明P(B|A) P(B | A)是事件A与B独立的充分必要条件.P(AB) P(AB)证明：充分，性，由于 P(B | A) P(B|A),所以一- _ ,即P(A) P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB) P(A)P(B),所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即P(AB) P(A)

16、P(B),且P(A) 0, P(A) 0,所以一方面另一方面所以 P(B|A) P(B | A).5 . 一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为 p2(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.PPClA) 手(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.解：设 A= 第 i 次及格”，i=1, 2.已知 P(A) P，P(A2 | A)由全概率公式得(1)他取得该资格的概率为(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6 .每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱

17、检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为 不合格而拒收.由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%, 一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率.解：设Ai= 一箱产品有i件次品，i=0, 1, 2.设M= 一件产品为正品，N= 一件产品被检验为正品”. _1已知 P(A0) P(A1) P(A2), P(N | M ) 0.02, P(N | M ) 0.1,3由全概率公式91P(M ) 1 P(M ) 1 一 一，又 P(N|M) 1 P( N | M ) 1 0.02 0.98, 10 10由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7 .用一种检验

18、法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率.解：A= 一产品真含有杂质，Bi= 对一产品进行第i次检验认为含有杂质，i= 1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检 验不含有杂质，即B1, B2发生了，而B3未发生.所求概率为P(A| B1B2B3)P(AB

19、B2B3)PB1B2B3)P(A)P(BiB2B3| A)又知 P(BJA) 0.8,P(Bi | A) 0.9, P(A) 0.4,所以 ,P(A)P(BiB2B3 |A) P(A)P(BiB2B3| A)由于三次检验是独立进行的，所以2发，已知火炮与坦克每次发8 .火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问(1)火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2)都不被击毁的概率等于多少？解：设A= 第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 P(A1) P(A3) 0.3, P(A

20、2) P(A4) 0.35,所以(1)火炮被击毁的概率为坦克被击毁的概率为(2)都不被击毁的概率为9.甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为一一一，、-，一 r 1-，一一冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是 -,现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率.2解：Ai= 甲第i局获胜”，Bi= 乙第i局获胜”，Bi= 丙第i局获胜”，i=1,2, - -.,_ _一一1已知P(A)P(Bi)P(Ci) -, i 1,2,.,由于各局比赛具有独立性，所以2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为P(AC2c3AC2B3A4c5c

21、6AC2B3A4c5B6A7c8c9.)17,同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为12125丙仔冠车的概率为2，甲、乙得冠车的概率均为一(1一).772714第二章2一、填空题：1. P X2. PX3. PX14.15. f(x)X , F(X2) F(Xi)k kn kk Cn P (1 P) , k = 0, 1,，nkk e ,0为参数，k = 0, 1,k!b a0,其它6. f(x)7. (x)(X )29.x21-2e2(a-1Pi0.40.40.2可观察出随机变量的取值及概率。分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法,910.

22、64,而本题对随机变量X取值的观察可看作分析：每次观察下基本结果“ x1时，FY1(y)PXyr)1-x e dx11-e”fK (y)y 20,y 1y 1其他 FY2(y) pY2y) PeX y)，0 时，eXy)为不可能事件，则Fy2(y)PeXy)y 1 时，Iny 0,则 FY2(y)XPey)X In yIn y0dxIn y1 时，In y0,则FY2(y)X Indx 1根据fY2 ( y)Fy2 (y)得fY2 (y) FY3(y) p(Y3y)0时,FY3(y)0, y 1t, y yPX2px2y)，y) 0，0时,Fy3 (y)PX2xdx所以fY3(y)0, ye

23、y2-y,y02e2x,x 07.(1)证明：由题意知 f (x) 0 ,x 0Yie2x,Fy(y)PY yPe2X yIn y2c 2x .iny2e dx y,当 y0时，Fay)0即 fY,(y)0，2X当 0 y 1 时，FY1(y) Pe y P X当 y i时，FY(y)p xln y20 2e2xdx故有fr (y)1,0 y 1,可以看出Y1服从区间(0,1)均匀分布; Y2 eFy2(y)PY21yP1-e2Xy Pe2X 1-y当 1 y 0时，Fy2 (y)Pe2x 1-y 1,当0 1 y 1时，Fy2(y)Pe2X 1-y P Xln(1 y)2ln(1 y)2e

24、2xdx2X当 1 y 1 时，Fy2(y) P(e 1-yln(1 y)2ln(1 y)0dx 0,由以上结果，易知fY2 (y)1,0 y 1，可以看出丫2服从区间(0,1)均匀分布。0,第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1) 由乘法公式:P X=1,Y=1= PX=1PY=1|X=1|=2/3 1/2=/3同理可求得 PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下:2解：X, Y所有可能取到的值是 0, 1,2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|=f X jCh Ct*-*i,j=0,1,2, i

25、+j 2或者用表格表不如下:03/286/281/2819/286/28023/2800(2)P(X,Y) A=PX+Y 1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/14日上 P(AB) P(AB)3 解：P(A)=1/4,由 P(B|A)=1 1/2 得 P(AB)=1/8P(A) 1/4由 P(A|B)= P(AB) 1/ 2 得 P(B)=1/4 P(B)(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则PX=0,Y=0=) P(A b)=pdA ,，I ； I p! A . . B II P (A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0

26、,Y=1=P( |B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A E)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由归一性知： 1：厂；1x，V)Uxdy =Axydxdy =，故 a=4(2)PX=Y=0 (3)PXY= 力；4xydydx =，0. *0或，04nlivdud* 0xl,0ylF(x,y)=即 F(x,y)=Jf(u、)dudv _ 4j0 x 14Hlivdud% x 1,0 y 1 L x之Ly之1,0, x 0或v 0x2y2t 0x1t0y 0 x 1y2t x 1,0 y lfy 15.解

27、：px+y 1= f(x, y)dxdyx y 16解：X的所有可能取值为0,1,2,丫的所有可能取值为0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.5 3=0.125;、PX=0,Y=1=0.5 3=0.125PX=2,Y=2=0.5 3=0.125, PX=2,Y=3=0.5 3=0.125X,Y的分布律可用表格表示如下:7.解:f(x, y)y e0,x y其它8.解:f(x, y)2cx y,0,(1)1f (x, y)dxdy1c 2x2cx ydydx2c1 21x 一04dx24c21Y0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.12

28、50.25P.j0.1250.3750.3750.1251所以c=21/4 fx(x)f (x,y)dy21412x2x ydy,0,|x| 1其它21x2(18 0,x4)|x| 1其它9 解：Sde21 , dx ln x1 x(X,Y)在区域D上服从均匀分布,f(x,y)的概率密度为10解： f(x, y)3x,0,1,0 y x其它当00 时，fxiY(x|y)f(x,y)fY(x)1 y0,0 x 1, x y x其它1f(x,y) , 0 | y | x 1所以，fxY(x|y)1 | y |fY(x)Q其它12 解：由 fXY(x|y) f(x, y)得1fY(x)13解：Z=m

29、ax( X，丫),W=min( X,Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max( X，丫)001111222Min( X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min( X,Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2W-101Pj0.160.530.311-八1 -14 解：fX (x)e , x 0My)e0, x 00,由独立性得X, 丫的联合概率密度为x yx 11则 PZ=1=PX Y=f(x, y)d

30、xdyoq2 edydx 一x y2PZ=0=1- PZ=1=0.515解:f(x, y)122-,x y 10,其它同理，fY(y)2由 y2, |y| 10, 其它故Z的分布律为Z01Pk0.50.5显然，fX(x)fY(y),所以X与丫不相互独立.0 y其它16 解：(1) fx (x):,0 x 11,fY (y)- 其它0,利用卷积公式:fz(z)fx(X)fY(Zx) dx 求 fz(z)fx(X)fY(Zx)= 0,1, x z其它 fx(x)1, 0 0,x其它fY(y)e y, y0, y利用卷积公式:fz(z)fx(z y)fY(y)dy17解：由定理故 Px Y118解:

31、(1) fx(X)3.1(0)y)e同理,fY(y)y(y 1)y0显然,fx(x)fY (y),所以x与丫不相互独立0.5(x y),dyx,(x1) (x0)(2).利用公式fzfx(x, z x)dx19解：并联时，系统 L的使用寿命Z=maxx,Y因xE( ),丫E(),故串联时，系统L的使用寿命Z=minx,Y(B)组1 解：Px=0= a+0.4, Px+Y=1=Px=1,Y=0+Px=0,Y=1=a+bPx=0,x+Y=1= Px=0,Y=1=a由于x=0|与x+Y=1相互独立，所以Px=0, x+Y=1=Px=0 Px+Y=1a=(a+0.4)(a+b)再由归一性知:0.4+a

32、+b+0.1=1解(1),(2)得a=0.4, b=0.12 解:(1) Px2Yf (x, y)dxdyx 2 yx02 (2 x y)dydx24利用公式fz (z)f(x,z x)dx计算3.解：(1) FY(y)=PY y=PX2 y当 y0 时，fY(y)=0当 y0时，Fy(y)P出 X Fx(/y) Fx ( y)从而，fY(y)fx( .y)0, y 4(2) F(-1/2,4)=PX -1/2,Y 4= PX -1/2,X2 412 -dx1 21=P-2 X -1/2= 2 fX (x)dx4.解：PXY 0=1-PXY=0=0即 PX=-1,Y=1+PX=1,Y=1=0由

33、概率的非负性知，PX=-1,Y=1=0 , PX=1,Y=1=0由边缘分布律的定义，PX=-1= PX=-1,Y=0+ PX=-1,Y=1=1/4得 PX=-1,Y=0=1/4再由 PX=1= PX=1,Y=0+ PX=1, Y=1=1/4得 PX=1,Y=0=1/4再由 PY=1= PX=-1,Y=1+ PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1= PX=0,Y=1知 PX=0,Y=1=1/2最后由归一性得：PX=0, Y=0=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下:01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2)显然，X 和 丫不相互独立，因为 PX=-1

34、,Y=0 PX=-1PY=05解：X与丫相互独立，利用卷积公式fZ (z) f X (x) fY( z x)dx计算6.解：(X,Y)U(G)设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数F(s)=PXYss0 时,Fs(s)=01,s 0时,1dydxx1dydx0 2所以,Fs于是,7.解:0,21,s 2 ln 一, sS= XY概率密度为由全概率公式:Fu(u)=PU u= X+Y u=PX=1PX+Y u|X=1+ PX=2PX+Y u|X=2=PX=1P1 + Y u+ PX=2P2+Y u=0.3 Fy(u-1)+0.7 Fy(u-2)所以，fU(u) =0.3 fY(

35、u-1)+0.7fY(u-2)8.解：(1) f (x, y)1,0,0 x 其它1,0 Fz(z)PZzP2Xzf (x, y)dxdy2x y z如图所示，当z0 时,Fz(z)=0;z 2时,Fz(z)=1当 0 z2 时：FZ (z)2x0 1dydx2x2x z1dydx综上所述,0,其它所以z的概率密度为：fZ(z)z2, 09.解：(1) fX (x)1, 00,其它 fY(y)1 ln y, 0 y0,其它1 1 dx,0 y f(x,y)dx yx0,其它 PX Y 1f (x, y)dxdyx y 10.51dydx x1 ln210.解：(1)P(Z 1/2|X=0=PX

36、+Y 1/2|X=0=PY 1/2=1/2 (2)由全概率公式:Fz(z)=PZ z=PX+Y z=PX=1PX+Y z|X=1 +PX=0PX+Y z|X=0=PX=-1PX+Y z|X=-1 =PX=1P1+Y z+PX=0PY z=PX=-1P-1+Y z=1/3 FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)从而，fz(z) =1/3 fy(z-1)+ fy(z)+ fy(z+1)=13,0,其它3x, 0 x 1,011.解：f(xy)八0,其它如图，当 z0 时，Fz(z)=0;当 z 1 时，Fz(z)=1当 0 z1 时：Fz (z)x0 3xdydxz3xdydx3z2综上得

37、：FZ(z)0,3z20,12Z的概率密度为fZ(z)2(10,z2),其它12 解：fX (x)x2万，fY(y)y22当 z0 时，Fz(z)=0;当 z0 时，FZ(z) PX2 Y2z222x yf (x, y)dxdyz2r2z 一e 2 rdrd0z21 e 2所以，Z的概率密度为fZ(Z)ze0,z1 2区，z 0其它第四章4三、解答题1 .设随机变量X的分布律为X202pi0.40.30.3求 E(X), E(X2), E(3X5).解：E (X ) =xpi =20.4+0 0.3+2 0.3 = -0.2i 1 22E (X k 1 k7.某城市一天的用电量 X (十万度计

38、)是一个随机变量，其概率密度为 求一天的平均耗电量.)= x pi = 4 0.4+ 0 0.3 + 4 0.3 = 2.8 i 1E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =30.2 +5 = 4.42 .同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望.解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi,则Xi的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为 X ,同时掷8颗骰子，相当于作了 8次独立重复的试验，E (Xi ) =1/6 X (1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =8X21/3=283 .某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1,借阅乙种图书的概率为P2,设每人借阅甲乙图书的行为相互

39、独立，读者之间的行为也是相互独立的.(1)某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望.(2)某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望.解：(1)设借阅甲种图书的人数为 X ,则XB(n, p)所以E (X )= np1(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y ,则丫B(n, p),记A =借甲种图书 , B =借乙种图书,则p = A U B = p1+ p2 - p1 p2所以 E (Y )= n (p+ p2- p1 p2 )4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求 E(X).解：依题意，XB(n, 1/n),所以E (X ) =1.5.设 X P()，且 PX5 PX 6,求 E(X).解：由题意知Xp()，则X的分布律p X,k = 1,2,.56又 p X 5 =P X 6 ,所以一e e5!6!解得6 ，所以E(X) = 6.6.设随机变量X的分布律为PX k2 2,k 1, 2,3, 4, k问x的数学期望是否存在?解：因为级数(1)k1kk 162.2) k(1)k1k 1k 1 11) k解：E(X)= x f(x)dx