概率复习教案

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1、复习巩固一、 目的与要求：复习巩固整理基本概念与内容四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合六、教学过程：一.事件的集合表示原理与要点：注意集合符号的逻辑含义.9 代表或者；代表而且A代表不与否定例：(1)A与B发生，C不发生ABC(2) A,B,C至少两个发生 AB- BC- AC(3) A,B,C 恰有两个发生 ABC= ABC= ABC(4) A,B,C同时发生 ABC(5) A,B,C不全发生 2 B- C或者ABC二.古典概率原理与要点：p(a)=n,即特殊样本数量与整体样本数量 的比为古典概率例：掷三颗骰子，求以下事件的概

2、率(1) 最大点数小于等于 5(2)最大点数等于5解：设Y = maxXi,X2，X3即是三次的最大点数，则(1)53P(Y 5) = = 0.518763(2)53P(Y = 5) = P(Y 5) - P(Y 三 4)= 643 = 0.280463三.离散的随即变量分布的计算原理与方法：分布函数的定义：F(x) = P(X三x)先计算点概率质量，再计算区间的概率质量例：X0123p0.20.30.30.2求 F (1.5) P (1.5X5 )解：F(1.5)二 P(X 三 1.5) = 0.5P(1.5 X 5) = 0.2 0.3= 0.5四.切比雪夫不等式的应用：主要是用于计算某些

3、特殊 事件的概率的估计值。P(X -E(X)| 之名)w Var2X)SP(X -E(X)|)1-Var(2X)例：若 E(X) = 5,Var(X) = 2求P(X之8,X 2)的范围解：P(X - 8或X 5 2) = P(X -5 - 3或X - 5 三 3)=P(|x - E(X)合 3)”arX) = 2一 9五.常见的期望与方差的计算： (1)二项分布(即贝努力分布) X b(n, p),R(X = k)= C；Pkqn,k= 0,1,2,3,E(X) = np, V a(rX) = n p q(2)泊松分布X PR)kPn(X = k) e- ,k = 0,1,2,3,k!E(X

4、)=,Va(rX)=(3)均匀分布X U(a,b)a X b其它b a e(x)=?(b - a)1 2 Var(X)=YP(x)=(4)指数分布，X Exp(3x 0其它11E(X)= l, Va(rX) =0九九2、(5)正态分布，XNd,s ).(xf1E(2X 6)= 2E(X) 6 = 2 - 6=7- 31 2 2,P(x)=e，-：xE(X)， Va(rX) = 2例 1 若 X b(6,0.2) , Y P(5)求 E(3X - 2Y + 5),Va(2X 3Y)解;由条件得：E(X)=np=6 0.2 = 1.2, Var(X)=npq= 6 0.2 0.8= 0.96E(Y

5、) = 5, Var(X) = 52x x (0,1)例2:若P(x) = 1 0 其它求2 x2xdx=一E(2X 6), Var(3X 5) 1 解：E(X) = xp(x)dx 二 0 1_222_1E(X ) = x p(x)dx= x 2xdx= 0022 _2_2121Var(X)=E(X )-(E(X)2- 2 =18Var(3X 5) = Var(3X) = 9Var(X) = 918计算应该注意的要点：一般先算单个因子的期望与方差，再算函数的期望与方差六.全概率公式与贝叶斯公式:原理与方法：全概率公式实际上是一个复杂事件安某种特 殊标准进行分类，分成若干特殊子事件，其典型模型

6、为：流 水线模型。贝叶斯公式实际上是条件概率按全概率公式的展开形式全概率公式:nP(A)八 P(Bi)P(ABi) i =1二 P(B1)P(A B) P(B2)P(A B2)P(Bn)P(A Bn)贝叶斯公式：P(B A);P( Bi A)P(A)P(Bi)P(A Bi) nP(Bk)P(A Bk) k例：某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的 产量分别为：15%, 20%, 30%, 35%,又四条流水线的次品 率分别为0.05,0.04,0.03,0.02.现在任意抽一件产品，问恰好是 次品的概率为多少。解：令A=任意抽取一件为次品Bi =任意抽取一彳产品为第i条流水线生产则由

7、全概率公式有：P(A)= P(B(A B) P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)P(B4)P(AE = 0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02= 0.0315问题2:若抽取一件产品是次品，问是第四条流水线生产的0.35 0.02 20.03159概率是多大P(B4/A) = 3= 4P(B4)P(AB4)P(A) 、P(Bk)P(A Bk)七.一维密度与分布的计算。计算应该注意的要点：密度函数为点概率质量对应的量，而 分布函数刻画的是区间概率质量，点质量累加积分得到区间 质量。例：若随机变量X的密度函数为:Ax P(x)= 0x (0,2)其它求

8、(1)A (2) P(1x3)(3)分布函数 F(x)解：(1)由+0P p(x)dx= 1 得2-2 .Ax dx =03 x A328=A = 1 =03(2)则密度函数为P(x)3 2一x80x (0,2)其它P(1 x 3)2 3 23=p(x)dx x dx 0dx11 822718(3)F(x) = P(X mxx) = p(t)dt当 x 0 时，F (x)=P(X x) = 0o0dt1 3 一x8xF(x) = P(X 三 x) = p(t)dtodx3 2t dt08xF(x) = P(X 三 x) = p(t)dt2P(t)dt = o23t2dt =108故分布函数为(

9、0当x 01 3F(x)= Lx3 当0M x 0时，X,Y正相关 当Cov(X,Y) 0时，X,Y负相关 当Cov(X,Y)= 0时，X,Y不相关 即当相关系数= Corr (X,Y)=Cov(X,Y)vVar(X)Var(Y)Cov(X,Y) 一 0d 5X YX,Y不相关。(3) 独立性与相关性的关系：若X,Y独立，则X,Y不相关。反之不成立。这是因为：当X,Y独立时，有E(XY)= E(X)E(Y)此时：Cov(X,Y)= E(X- E(X)(Y- E(Y)二 E(XY)- E(X)E(Y)= 0故X,Y不相关此时相关系数Cov(X,Y)：: Corr(X,Y)Var(X)Var(Y)

10、解:-1由于X 。51)1 1Y 050.5205例：若离散的随机变量 X,Y的二维分布如下:12-10.20.310.30.2判断X,Y是否独立和相关这里P(X = 1)P(Y = 2) = 0.5父 0.5 = 0.25，而P(X = 1,Y = 2) = 0.2故 P(X = 1)P(Y = 2)= P(X = 1,Y = 2) 所以X,Y不独立。(2)_ 1 XY0.2-2120.3 0.3 0.2j则 E(XY)-1 0.2 (-2 0.3) 1 0.3 2 0.3=0E(X) = -1 0.5 1 0.5= 0E(Y) = 1 0.5 2 0.5 = 1.5Cov(X,Y) = E

11、(XY) - E(X)E(Y) = 0Cov(X,Y) =Corr (X,Y)=,Var(X)Var(Y)Cov(X,Y)二 06 5 X Y即X,Y不相关九.利用标准正态分布表的数据完成相关的概率计算原理与要点：若X N(”)，则X N(0,1)例：设随机变量XN(108,32)求(1) P(102 X 117)(2)常数 a,使得 P(X a)= 0.95解：（1）102-108P(102 X 117) = P(X - 1083117-1083二 P(-2X - 10833) = ： (3)一 ： (一2)0.9759=：(3)(2) - 1 = 0.9987 0.9772 1(2)由 P

12、(X a)= 0.95 得:P(X a) = PX - 108 a 108 a -108( () = 0.953a - 108又小(1.645) = 095 ,即 (-)= (1.645)3a 108于是- = 1.645= a = 112.935十.矩估计矩估计的基本原理:Xi1 nE(X) 一n i=iE(X2)工 Xi2n i=i1 nE(Xk)Xikn i=i例1设总体X服从指数分布，其中 九 0是未知参数，如果取得的样本值为Xi,X2, X3求8的矩估计值解：因为总体X的密度函数为f (x;)e-0l 0其它_.1E(X) = x e dx =一九01 于是E(X)二1则九的矩估计量

13、为假设检验基本原理： 大概率事件在一次统计结果中出现是应该的，正常的，可以接受的。小概率在一次统计结果中出现是 不正常的，不可接受的。简单言之：一般最初采集的样本是把概率事件对应的样 本，大概率事件的样本最早出现。逻辑框架：H0 :无病 ; H1 :有病 假设 H 0 : 无病 ; 为真 而统计指标落在无病对应的大概率区间则承认 H 0 : 无病 ; 为真，即接受无病判断，否则拒绝。H0 :正常 ; H1 :不正常 假设 H 0 : 正常 为真 而统计指标落在正常时对应的大概率区间则承认 H 0 : 正常 为真，即接受设备正常判断， 否则拒绝。例：设某厂一车床生产纽扣其直径服从 Nd ,5.2

14、2）的正 态分布，现在抽取容量为100的样本子样，且X = 26.56 , 求在显著性水平a = 0.05下检验假设H0 ： 0 = 26解：原假设与备择假设分别为：H。：二26 vsH126若原假设H。：卜=26为真，则X1 x2X1005.2 而 服从N (26,100)的正态分布X - 265.2 10 N(0,1)-1.96U0.975 = 1.96x- 1 x - 26 26.56 - 26统计值 u x n 5.2 105.2 10=1.08而 u = 1.08 (-1.96,1.96)故不能拒绝原假设，接受原假设H0: R = 26成立，可以认为猜测正确，生产是正常的。附；假设检

15、验中几种常用的无偏估计量P295定义6.2.2设 =e(x1,x2xJ是日的一个估计量,满足E(e )=e，则称a是a的无偏估计。2若x1,x2, xn来自于同一正太分布 Nd ,6 )的样本,的无偏估计。1 n由于叫产1 n;故T xi是Rn i=1又由于E(x)=X) 一-1 n 1 n n n e2Var(x); Var( 一 % xi)= - Varf xi) 一n i=1n u n n2 n- n_2注意到xi - x = xi2 nx1 =1i =1nEC Xi =1n222, 22、22)二 E xi - nEx n()-n 二 + ni =12=(n-1) 2E- n 11故n-1n-ZI i =1nZi=1Xi2仅- X）为6 2的无偏估计1P(x)二 1a 01 n EL