变量间的相关关系、统计案例

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1、变量间的相关关系、统计案例1.相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.(3)若两个变量x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的 .如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的.2.线性回归方程(1)最小二乘法如果有 n 个点 (x1， y1)， (x

2、2， y2)， ， (xn， yn)，可以用 y1( a bx1) 2 y2 (a bx2) 2 yn (a bxn) 2 来刻画这些点与直线 y a bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线ya bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.(2)线性回归方程方程 y bx a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据( x1， y1 )，(x2， y2)， ， (xn， yn) 的线性回归方程，其中 a，b 是待定参数 .n x y yn n x yxiixiyib i1nxi x 2 i1 n， xi2 n x 2i1i1a y b x .3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变

3、量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1， y1 )， (x2， y2 )， ， (xn， yn)中， ( x ， y )称为样本点的中心 .(3)相关系数nxi xy y r i 1innxi x 2 yi y 2i 1i1n xi yi n xyi1；nn xi2 n x 2 yi2 n y 2i 1i 1当 r0 时，表明两个变量正相关；当 r 2.7062时，有 95%的把握判定变量A， B 有关联；当 3.8412时，有 99%的把握判定变量A，B 有关联 .当 6.635概念方法微思考1.变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同

4、点：两者均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.如何判断两个变量间的线性相关关系？提示散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断.3.独立性检验的基本步骤是什么？2提示列出 22 列联表，计算值，根据临界值表得出结论.4.线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预测是否一定准确？提示 (1) 不一定都有实际意义 .回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性

5、回归方程毫无意义 .(2)根据回归方程进行预测，仅是一个预测值，而不是真实发生的值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确 (请在括号中打“”或“” )(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( )(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( )(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温 x()之间的关系，得线性回归方程y 2.352x147.767，则气温为 2时，一定可卖出143 杯热饮 .()(5)事件 X， Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的2)的值越大 .(题组二教

6、材改编2.为调查中学生近视情况，测得某校男生150 名中有80 名近视，在140 名女生中有70 名近视 .在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A. 回归分析B. 均值与方差C.独立性检验D.概率答案C解析“ 近视 ”与 “ 性别 ” 是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.3.下面是 2 2 列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中 a， b 的值分别为 ()A.94,72B.52,50C.52,74D.74,52答案 C解析 a 21 73， a 52.又 a22 b， b 74.4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零

7、件所花费的时间，为此进行了5 次试验 .根据收集到的数据 (如下表 )，由最小二乘法求得回归方程y 0.67x 54.9.零件数 x (个 )1020304050加工时间 y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为.答案68解析由 x 30，得 y 0.6730 54.9 75.设表中的 “ 模糊数字 ”为 a，则 62 a 7581 8975 5， a 68.题组三易错自纠5.某医疗机构通过抽样调查2(样本容量 n 1 000)，利用 2 2 列联表和 统计量研究患肺病是22 0.05，现给出四个结论，否与吸烟有关 .计算得 4.453，经查阅临界值表知

8、P(3.841)其中正确的是 ()A. 在 100个吸烟的人中约有95 个人患肺病B. 若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C.有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D.只有 5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由已知数据可得，有1 0.05 95%的把握认为 “ 患肺病与吸烟有关”.6.在一次考试中，5 名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系 )学生的编号 i12345数学成绩 x8075706560物理成绩 y7066686462现已知其线性回归方程为y 0.36x a，则根据此线性回归方程估计数学得90 分的同学的物理成绩为.(四舍五入到整

9、数)答案73解析x 60 65 70 75 80 70，5y 62 64 66 68 70 66， 5所以 66 0.3670 a， a 40.8，即线性回归方程为y 0.36x 40.8.当 x90 时， y0.36 90 40.8 73.2 73.题型一相关关系的判断例 1(1) 观察下列各图形，其中两个变量x， y 具有相关关系的图是()A. C.B. D.答案C解析由散点图知 中的点都分布在一条直线附近 中的两个变量具有相关关系.(2)(2018 合肥质检 )根据下面给出的2004 年至 2013形图 .以下结论不正确的是(). 中的点都分布在一条曲线附近，所以年我国二氧化硫排放量(

10、单位：万吨 )的柱A. 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D解析从 2006 年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008 年二氧化硫排放量与2007 年排放量的差最大，A 选项正确；2007 年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然 2011 年二氧化硫排放量较 2010 年多一些， 但自 2006 年以来， 整体呈递减趋势， C 选项正确；自 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D

11、选项错误，故选D.思维升华判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关.(2)相关系数：当r0时，正相关；当r0 时，正相关；当b0 时，负相关.跟踪训练1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)， ， (xn，yn )(n 2，x1，x2 ， ， xn 不全相等 )的散点图中，若所有样本点1(xi， yi)(i 1,2， ， n)都在直线 y x1 上，则这组样本数据2的样本相关系数为 ()1A.1 B.0 C.2D.1答案A解析完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为1，故选 A.题型二回归分析命题点

12、例 21线性回归分析下图是我国2011 年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1 7 分别对应年份 2011 2017.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到0.01)，预测 2019 年我国生活垃圾无害化处理量 .附注：77720.55， 7 2.646.参考数据：yi 9.32，tiyi 40.17，yi yi 1i 1i1nti tyi yi1参考公式：相关系数r，nnti t2yi y 2i 1i 1回归方程y abt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：nt

13、i tyi yi 1b， a y b t .nti t2i1解 (1) 由折线图中数据和附注中参考数据得7t 4，(ti t )2 28，i 17yi y2 0.55.i 17(ti t )( yi y )i 177 tiyi tyii 1i 1 40.17 4 9.32 2.89，所以 r2.890.99.0.552 2.646因为 y 与 t 的相关系数近似为0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 .(2)由 y 9.32 1.331 及 (1) 得77ti t yi yi 12.89b0.10，728ti t2i1a y b t

14、1.331 0.10 4 0.93.所以 y 关于 t 的回归方程为y0.93 0.10t.将 2019 年对应的t 9 代入回归方程得y 0.93 0.109 1.83.所以预测2019 年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83 亿吨 .命题点2非线性回归例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元 )的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi( i 1,2， ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.8888(xi x ) (wi w ) xyw(xi x )2(wi w )2i 1i 1i

15、1i 1(yi y )(yi y )46.65636.8289.81.61 469108.8表中 wi xi， w 1 8w i.8i 1(1)根据散点图判断，y a bx 与 y c dx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由)(2)根据 (1)的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与 x，y 的关系为 z 0.2y x.根据 (2) 的结果回答下列问题：年宣传费x 49 时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费x 为何值时，年利润的预测值最大？附：对于一组数据(u1， v1)，( u2， v2

16、 )， ， (un， vn)，其回归直线v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为nui uvi vi 1， v u .nui u2i1解 (1) 由散点图可以判断， y c d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 .(2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于8w i wyi yi 1 108.868，d81.6w i w2i 1c y d w 563 68 6.8 100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为y 100.6 68w，因此 y 关于 x 的回归方程为y 100.6 68x.(3)由 (2)知，当 x 49 时，年销售量y 的预测值y 1

17、00.6 6849576.6，年利润 z 的预测值z 576.60.2 49 66.32.根据 (2) 的结果知，年利润z 的预测值z 0.2(100.6 68x) x x13.6x 20.12.13.6所以当x 6.8，即 x46.24 时， z 取得最大值 .故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预测值最大 .思维升华回归分析问题的类型及解题方法(1)求回归方程 根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关. 利用公式，求出回归系数 b. 待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值.(3)利用回归

18、直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1 时，两变量的线性相关性越强 .跟踪训练2(2018 全国 ) 下图是某地区2000 年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元 )的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 . 根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2， ， 17)建立模型： y 30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2， ， 7)建立模型： y 9

19、9 17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.解(1) 利用模型 ，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y 30.413.519 226.1(亿元 ).利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y 99 17.5 9256.5(亿元 ).(2)利用模型 得到的预测值更可靠.理由如下：( )从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.413.5t 上下，这说明利用2000 年至2016年的数据建立的线性模型 不能很好地描

20、述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至2016 年的数据建立的线性模型y 99 17.5t 可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.( )从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.题型三独立性检验例 4(

21、2017 全国 )海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位： kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50 kg箱产量 50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01).附：2 k)0.0500.0100.001P( k3.8416.63510

22、.8282n ad bc 2a b c d a c b d .解(1) 记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50 kg” ， C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于 50 kg”.由题意知， P( A) P(BC) P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.0120.014 0.024 0.034 0.040) 5 0.62，故 P(B)的估计值为 0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.0680.046 0.010 0.008)5 0.66，故 P(C)的估计值为 0.66.因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 0.66 0.409 2.(2

23、)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：箱产量 6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.004 0.020 0.044) 5 0.340.5 ，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为500.5 0.34 52.35 (kg).0.068思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法22通过计算 的大小判断： 越大，两变量有关联的可能性越大.通过计算 |ad bc|的大小判断： |ad bc|越大，两变量有关联的可能性越大.(2)独立性检验的一般步骤 根据样本数据制成22 列联表 .2n

24、 ad bc 22 根据公式 计算 的值 .a b a c b d c d2 比较 与临界值的大小关系，做统计推断.跟踪训练 3 (2018 郑州检测 )某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50 件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在 195,210) 内，则为合格品，否则为不合格品.甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图如下：甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数190,195)9195,200)10200,205)17205,210)

25、8210,215)6乙流水线样本频率分布直方图(1)根据乙流水线样本频率分布直方图，估计乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数；(2)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面2 2 列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线总计合格品不合格品总计附：2P(k)0.150.100.050.025k2.0722.7063.8415.0242n ad bc 2a b c d a c b d (其中 na b cd).解

26、 (1) 设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为因为 (0.012 0.032 0.052) 50.480.5(0.012 0.032 0.052 0.076) 5 0.86，则 (0.012 0.0320.052) 5 0.076 (x 205) 0.5，0.0100.0050.0016.6357.87910.828x，解得 x3 90019 .(2)由甲、乙两条流水线各抽取的50 件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为P 甲15 3 ；5010乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1P 乙 (0.012 0.028) 5 .5于是，若某个月内

27、甲、乙两条流水线均生产了5 000 件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5 000 3 1 500,5 0001 1 000.105(3)2 2 列联表：甲生产线乙生产线总计合格品354075不合格品151025总计5050100100 35 10402215则 50 50 75 25 4 1.3，3 1.32.072 ， 没有 85%的把握认为 “ 该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关 ”.线性回归方程及其应用数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程.主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构

28、建模型对信息进行分析、推断、获得结论 .例 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量 /万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y bx a；(2)利用 (1)中所求出的线性回归方程预测该地2019 年的粮食需求量.解 (1) 由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表 .年份 201042024需求 257211101929对处理的数据，容易算得x 0， y 3.2， 4 21 2 11 2 19 4 29 50 3.2b 4 2 2 2

29、22 42 5 02 26040 6.5，a y b x 3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为y 257 6.5(x 2010) 3.2，即 y6.5(x 2010) 260.2.(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2019 年的粮食需求量大约为6.5 (2019 2010) 260.2 6.5 9260.2 318.7(万吨 ).素养提升例题中利用所给数据求回归方程的过程体现的就是数据分析素养.1.已知变量x 和 y 满足关系y 0.1x 1，变量 y 与 z 正相关 .下列结论中正确的是()A. x 与 y 正相关， x 与 z 负相关B. x 与 y 正相关， x 与 z 正相

30、关C.x 与 y 负相关， x 与 z 负相关D.x 与 y 负相关， x 与 z 正相关答案C解析因为 y 0.1x 1，0.10)，所以 z 0.1bxb a， 0.1b6.635， 有 99%以上的把握认为 “ 生育意愿与城市级别有关 ”，故选 C.7.某市居民2010 2014 年家庭年平均收入x(单位：万元 )与年平均支出 y(单位：万元 )的统计资料如下表所示：年份20102011201220132014收入 x11.512.11313.315支出 y6.88.89.81012根据统计资料， 居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有相关关系 .(填“正”或“负”

31、)答案13 正解析中位数是 13.由相关性知识， 根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时， 年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系.8.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5 年的年广告支出 m 与年销售额 t(单位：百万元 )进行了初步统计，得到下列表格中的数据：年广告支出 m24568年销售额 t3040p5070经测算，年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程t 6.5m 17.5，则 p.答案60解析由于回归直线过样本点的中心，m 5， t 190 p，5代入 t 6.5m 17.5，解得 p 60.9.以下四个命题，其中正确的序号是.从匀速传递的产品生产流水线上

32、，质检员每20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在线性回归方程 y 0.2x 12 中，当自变量 x 每增加一个单位时，因变量 y 平均增加 0.2 个单位；22对分类变量 X 与 Y 的统计量 来说， 越小，“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大 .答案解析 是系统抽样；对于2 ，统计量 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小.10.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50 名学生，得到如图所示 22 列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知222 50 13

33、2010 7 2P(3.841) 0.05，P( 5.024)0.025.根据表中数据， 得到 23 27 20 30 4.844，则有的把握认为选修文科与性别有关.答案95%250 13 20 10 72解析 4.844，因为4.8443.841，所以有 95%的把握认由题意， 23 27 20 30为选修文科与性别有关.11.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第 x 年与年销售量 y(单位：万件 )之间的关系如下表 .x1234y12284256(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y 与 x 的关系 (不必说明理由 )；(3)建立 y 关于 x 的回归方程，预测第5 年的销售量 .参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为nni xyi yii n xyxxyi 1i1b， a y b x .nnxi x 2xi2 n x 2i1i1解 (1) 作出的散点图如图所示：(2)根据散点图可知，可以用线性回归模型拟合y 与 x 的关系 .(3)观察 (1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：ixiyi2xiyixi1112112222845633429126