不等式证明(一)

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1、高二数学理科导学案直接证明与间接证明主备人：授课时间：2015/3 备课组长签字：2.2直接证明与间接证明（一）比较法、综合法、分析法一、三维目标1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，进一步体会比较法、综合法和分析法。2、过程与方法：了解比较法、综合法、分析法的思考过程、特点.3、情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。二、学习重点与难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.三、学法指导当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。如

2、果是多项式结构，多采用比较法。请参考选修4-5第5页至第9页，第21页至25页，以及理科选修2-2第85页至88页相应内容。四、知识链接定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；基本不等式： （） 五、新课讲授(一)比较法1、原理：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“

3、变形”是解题的关键，是最重要的一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。2、典型例题：例1、若实数，求证：提示：采用做差比较法例2、已知求证提示：采用做商比较法(二)综合法（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）例3

4、、在锐角三角形ABC中，求证：提示：在锐角三角形中，两边同时取正弦例4、设a，b，c0,证明：a+b+c. (三)分析法（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等）或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q所要证明的结论，则

5、用分析法证明可用框图表示为： （结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）（4）分析法的格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。例5、求证：例6、求证： 六、达标检测1设，求证2、已知，且不全相等。求证：3、已知为两两不相等的实数，求证：。4.求证：5已知a，b，m都是正数，并且求证： 6、已知且，求的最小值是 7若，求的最大值是 。8、的最小值是 。9、的最大值是 七、小结：1在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2综合法写出的证

6、明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.八、课后反思 直接证明与间接证明（二） 反证法、放缩法与换元法一、学习目标1、知识与技能：了解间接证明的方法反证法、放缩法和换元法；2、过程与方法：通过师生互动，让学生掌握反证法、放缩法和换元法；3、情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。二、学习重点与难点：根据问题特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.三、学法指导反证法解题的实质是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全。反证法适合证明 “存在性问题、唯一

7、性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。请参考选修4-5第26页至29页，理科选修2-2第89页至91页。四、知识链接1、若则 bd；2、若，则ac bc；若，则ac bc；若，则ac bc；3、若，则 ；若，则 .五、新课讲授（一）反证法（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义、已知条件、临时假设及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了

8、原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的基本步骤：“假设矛盾肯定”反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. （3）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.例1 若都为实数，且，求证： 中至少有一个大于0.例2、已知，求证：（二） 放缩法：通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法。1、关键：把握“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小，要注意放缩的适度. 2、常用方法是：添

9、加或舍去一些项，如：， 将分子或分母放大（或缩小）如： 应用“糖水不等式”：“若，则” 利用基本不等式，如：； 利用函数的单调性； 利用函数的有界性：如：； 绝对值不等式：； 利用常用结论：如：， 例3、求证：（1）（2） 例4、 若a, b, c, d，求证：（三）换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有： 10已知，可设 ， ；20已知，可设 ， ()；30已知，可设 ， . 例5、 设实数满足，当时，的取值范围是（ ） 六、达标检测1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角2、求证是无理数. （提示：有理数可表示为）3、若x, y 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于24已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 5、已知a,b,c,求证不能同时大于。6、求证 7、已知 ，求证：8、设为大于1的自然数，求证七、小结八、课后反思 8