中考针对性训练-几何探究压轴题(有答案详解)

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1、针对性训练-几何探究题1.如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD.ABDCP图1（1）求证:APBDPC；（2）求证:PAC=BAP；（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),ADBC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由. PCDAB图22如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形（1）如果，当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 _ ，线段的数量关系为 ；当点在线段的延长线上时，如图3，中的结

2、论是否仍然成立，并说明理由；FD图3ABDCE图1ABDFEC图2ABDECF（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由 (3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。3.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE（1）求证：CECF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识， 完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一点，且DC

3、E45，BE4，求DE的长4如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDERPHQABCDERPHQABCDERPHQ5如图17，点A是ABC和ADE的公共顶点，BACDAE180，ABkAE，ACkAD，点M是DE的中点，直线AM交直线

4、BC于点N探究ANB与BAE的关系，并加以证明说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取比选原题少得2分，选取比选原题少得5分 如图18，k1；如图19，ABAC若ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后ANB与BAE的关系6.已知，是经过顶点的一条直线，分别是直线上两点，且（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：如图9-1，若，则 ； （填“”，“”或“”）；如图9-2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使

5、中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图9-3，若直线经过的外部，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）ABCEFDDABCEFADFCEB图9-1图9-2图9-37在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

6、 （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）参考答案1. (1)略（2）略（3）设， 得即2（1）垂直，相等；1分当点D在BC的延长线上时的结论仍成立2分由正方形ADEF得 ADAF ，DAF90BAC90，DAFBAC ， DABFAC，又ABAC ，DABFAC ， CFBD ， ACFABDBAC90， ABAC ，ABC45，ACF45，BCFACB+ACF90 即 CFBD.5分（2）当ACB45时，CFBD（如图） 6分 理由：过点A作AGAC交CB或CB的延长线于点G，则GAC90， ACB45,AGC90ACB45，ACBAGC

7、，ACAG，点D在线段BC上，点D在线段GC上，由（1）可知CFBD. 7分（3）如图：作AQBC于Q ACB=45 AC=4 CQ=AQ=4PCD=ADP=90ADQ+CDP=CDP+CPD=90ADQDPC =设CD为x（0x3）则DQ=CQCD=4x 则= PC=(x2+4x)=(x2)2+11 当x=2时，PC最长，此时PC=1 3.（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF， CBECDF CECF.3分（2）GEBEGD成立理由是：CBECDF， BCEDCFBCEECDDCFECD即ECFBCD90，B CA D E G 又GCE45，GCFGCE45C

8、ECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG .4分GEGF GEDFGDBEGD.5分（3）解：过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC AB90又CGA90，ABBC， 四边形ABCG 为正方形 6分AGBC12 已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG.7分设DEx，则DGx4， ADAGDG=12（x4）=16x 在RtAED中， ，即解这个方程，得：x10 DE10 4.（1）， 点为中点， ，-2分（2）， ，即关于的函数关系式为： -5分ABCDERPHQM21（3）存在，分三种情况：当时，过点作于，则，ABCDERPHQ， -8分ABCDERPH

9、Q当时， -10分当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点， -13分综上所述，当为或6或时，为等腰三角形 -14分5（1）ANB+BAE=1801分证明：（法一）如图1，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF. 2分MADNEBCF图1点M是DE 的中点，DM=ME， 四边形ADFE是平行四边形 ，3分ADEF，AD=EF， DAE+AEF =180， BAC+DAE=180，BAC=AEF ，4分 AB=kAE，AC=kAD， 6分ABCEAF B=EAF 8分ANB+B+BAF =180 ANB+EAF+BAF =180即ANB+BAE=180，10分MADNEBCFKH图2（法二）如

10、图2，延长DA到F，使AF=AD，连接EF.2分BAC+DAE=180，DAE +EAF =180，BAC=EAF，3分 AB=kAE，AC=kAD， ，4分ABCAEF，5分B=AEF，6分 点M是DE 的中点，DM=ME，图3ABCDEMN又AF=AD， AM是DEF的中位线，AMEF，7分 NAE=AEF， B=NAE，8分 ANB+B+BAN=180，ANB+NAE+BAN =180，即ANB+BAE=18010分ABCDEMNF图4(2)变化如图3（仅供参考），ANB=BAE12分选取（），如图4.证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF. 点M是DE的中点，DM=ME四边形

11、ADFE是平行四边形，4分ADFE，AD=EF， DAE+AEF =180，BAC+DAE=180， BAC=DAE， 6分AB=kAE，AC=kAD， AB=AE ，AC=AD，AC=EF，7分 ABCEAF， B=EAF， 8分ANB+B+BAF=180， ANB+EAF+BAF=180，即ANB+BAE=18010分选取（），如图5.ABCDMN图5E证明：AB=AC，B=（180-BAC），3分BAC+DAE=180， DAE=180-BAC，B=DAE， AB=kAE，AC=kAD，AE=AD， AM是ADE的中线，AB=AC，EAM=DAE， B=EAM，4分ANB+B+BAM=1

12、80， ANB+EAM +BAM=180，即ANB+BAE=1805分6.（1）； 2分 所填的条件是： 4分证明：在中，又，又， ， 又， 7分（2） 7.（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 （II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE ,且又是等边三角形，在与中：(SAS) DM=DE, 在与中： (SAS) MN=NE=NC+BM 的周长Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB而等边的周长L=3AB . （III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=2+（用、L表示）8.如图241，正方形ABC

13、D和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E（1）猜想：ME 与MF的数量关系（2）如图242，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M =B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明（3）如图243，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由（4）如图244，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）8.（1）ME=MF 1分 （2）ME=MF 2分 证明：过点M作MHAD于H，MGA

14、B于G，连结AM M是菱形ABCD的对称中心，O是菱形ABCD对角线的交点，AM平分BAD，MH=MGM=B，M+BAD=180，又MHA=MGF=90，HMG+BAD=180EMF=HMG，EMH=FMGMHE=MGF， MHEMGF，ME=MF4分（3）ME:MF=1:25分 证明：过点M作MHAD于H，MGAB于G， M=B，A=EMF=90，又MHA=MGA=90，HMG=90EMF=HMG，EMH=FMG MHE=MGF，MHEMGF， -6分又M是矩形ABCD的对称中心，O是矩形ABCD对角线的中点， 又MGAB，MGBC，同理可得，ME:MF=1:2 7分(4) ME:MF=m

15、8分9.在ABC中,AC=BC=2,C=90o，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点,如图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3 种情况，研究：三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图2加以证明。三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3，和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明。P图1ABCDEP图2ABCDE

16、P图3ABCDEM图4ABCDE9、（1）PD=PE （提示：连结PC，证PDCPEB可得）（2）能，CE的长： （3）MD：ME=1：310图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）。（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；请问：经过多少时间，PQR与ABC重叠部分的面积恰好等于？（3）操作：图1中CDE

17、固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（3090，图4）；探究：在图4中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值，如果有变化，请你说明理由。10.（1）BE=AD 证明：ABC与DCE是等边三角形 ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CDBCE=ACD BCEACD BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）TS（2）设经过x秒重叠部分的面积是，如图在CQT中 TCQ=30 RQP=60QTC=30 QTC=TCQ QT=QC=x RT=3x RTSR=90 RST=90由已知得32 （3x）2=x1

18、，x5，因为0x3，所以x=1（3）CNEM的值不变 证明：ACB=60MCENCC=120CNCNCC=120 MCE=CNCE=C EMCCCN CNEM=CCEC=11请阅读下列材料：已知：如图（1）在RtABC中，BAC=90，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE=45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； 图（1）（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB

19、延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 图（2）（3）已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； 11.（1） DE2=BD2+EC2 1分 图（3） （2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立 5分证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE AFDABD 6分 AF=AB，FD=DBFAD=BAD，AFD=ABD又AB=AC，AF=ACFAE=FADDAE=FAD45 EAC=BACBAE=90(DAED

20、AB)= 45DAB FAE=EAC 又 AE=AE AFEACE FE=EC , AFE=ACE=45 AFD=ABD=180ABC=135 DFE=AFDAFE=13545=907分在RtDFE中 DF2FE2=DE2 即DE2=BD2+EC2 8分（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.如图，与（1）类似，以CE为一边，作ECF=ECB，在CF上截取CF=CB，可得CFECBE，DCFDCA.AD=DF，EF=BE. 图DFE12AB120. 5分若使DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. 6分

21、且顶角DFE为120.京模12.如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 12（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE2分（2）（1）中的

22、结论仍然成立如图2，连结CF，延长EF交CB于点G DEBC EDF=GBF又，DF=BF， EDFGBF EF=GF，BGDEAE AC=BC， CE=CG EFC=90，CF=EF CEF为等腰直角三角形CEF=45CE=FE 5分（3）（1）中的结论仍然成立如图3，取AD的中点M,连结EM，MF,取AB的中点N,连结FN，CN，CFDF=BF， AE=DE，AED=90, AM=EM，AME=90.CA=CB,ACB=90,，ANC=90.，FM=AN =CN.四边形MFNA为平行四边形.FN=AM=EM，AMF=FNA.EMF=FNC. EMFFNC.FE = CF，EFM=FCN.由

23、，ANC=90，可得CPF=90.FCNPFC=90. EFMPFC=90.EFC=90. CEF为等腰直角三角形CEF=45. CE=FE8分图1图2另法:延长CF至G, 使FG=CF, 连结EG与DG. 证DFGFBC. 从而DG=CB=AC, 再证ACEDEG13.如图，已知ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PNAC于点N，PMAB于点M，CGAB于点G，则CG=PM+PN(1)如图，若点在的延长线上， 则、三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)如图，AC是正方形ABCD的对角线,AE=AB, 点P是BE上任一点, PN

24、AB于点N，PMAC于点M，猜想、有什么关系；（直接写出结论）(3)观察图、的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、这样的线段，并满足图或图的结论，写出相关题设的条件和结论.13（1）猜想=证明：过C点作CEPM于E. PNAB，CGAB，四边形CGME是矩形.ME=CG，CEAB B=ECP. AB=AC，B=ACB=PCN.ECP=PCN.PNC=PEC=90，PC=PC，PNCPEC. PN=PE . CG= ME=PMPE=PMPN . 4分（2）PM+PN=AC . 证明：连接BD，交AC于O，过点P作PFBD于F.四边形ABCD是正方形，COB=90，OB=OC=AC.PMAC，四边形PFOM为矩形.MP=OF，PFAC.OEP=FPB.AE=AB，OEP=ABP. ABP=FPB.PB=PB，PFB=PNB=90，PFBBNP.BF=PN.OB=OF+FB= PM+PN=AC. 8分（3）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高.如图，都有BG=PM+PN.如图=. 10分