平面的基本性质(三)

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1、课 题：平面的基本性质(三)教学目的：1.理解公理三的三个推论.2.进一步掌握“点线共面”的证明方法 3将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平4通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被

2、另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，

3、通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件

4、的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、讲解新课：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线，点是直线外一点.求证：过点和直线有且只有一个平面 证明：（存在性）：在直线上任取两点、，不共线由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，点在平面内，根据公理1，即平面是经过直线和点的平面.（

5、唯一性）：，点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过和点的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，不共线由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，点在平面内，根据公理1，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：，点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）： 由平行线的定义，

6、直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：取， 点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线两两相交，交点分别为求证：直线共面证法一：直线，直线和可确定平面，即 即直线共面证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面（推论1）因为A， BBC，所以B故AB ，同理AC ，所以AB，AC，BC共面证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面 因为A，B，所以AB 同理BC

7、，AC ，所以AB，BC，CA三直线共面问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例2 在正方体中，与是否在同一平面内？点是否在同一平面内？画出平面与平面的交线，平面与平面的交线解：在正方体中，由推论3可知，与可确定平面，与在同一平面内点不共线，由公理3可知，点可确定平面，点在同一平面内，点平面，平面，又平面，平面，平面平面，同理平面平面例3 若，试画出平面与平面的交线解：（1）若时，如图（1）；（2）若时，如图（2） 四、课堂练习：1选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（ ） （A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最

8、多可以确定平面的个数是（ ） （A）一个（B）四个（C）六个（D）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要（4）若a a，b b，ab=c，ab=M，则（ ） （A）Mc（B）Mc（C）Ma（D）Mb答案： D C D A2已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. 证明：因为a/b，由推论3，存在平面，使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，下面用反证法证明直线：假设，则,在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾.故直线.综上述，a、b、c、d四线共面. 3求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述 六、课后作业：