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1、第四章 随机变量的数字特征1. 设随机变量XN(1，4)，YN(0，16)，X，Y相互独立，则UX-Y+7服从（ D ）分布. A N(8，23)B N(8，65) C N(1，20)D N(8，20)2.设有两个随机变量和相互独立且同分布：则下列各式成立的是 （ A ）（A） (B) (C) (D) 3. 若X服从-1,1上的均匀分布，则期望EX= 0 DX=.若X服从B(12,0.3)，则期望EX= 3.6 DX= 2.52 .若X服从，则期望EX=DX=. 若X服从，则期望EX=DX=.已知XB(n，p）,则EX= np .4. 已知XB(n，p）,且EX=5，DX=2.5，则p= 0.
2、5 . 5. (2012cczu)5分设随机变量的数学期望分别是-2,1,方差分别是1,4,两者相关系数是,则由切比雪夫不等式估计.6.盒中有3只黑球,2只红球,从中任取2只,若所取的2只中没有黑球,那么在剩下的球中再取1个球.以X表示所取得的黑球数,以Y表示所取得的红球数.求(X,Y)的联合分布列 与边缘分布列,并判断X与Y的独立性，为什么？解：01210200因,所以不独立.7. 将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求(1)X与Y的联合概率分布。(2)求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率. (3)求其边缘分布解：(1)(3)012 0 10200(2)
3、P=5/9.8袋中装有标有1，1，2，3的四个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以分别记为第一，第二次取到的球上的号码数，求（1）的联合分布律（2）的分布律（3）的分布律解：12312030(2)2345(3)-2-10129.设二维随机变量的联合密度函数为 ，求(1) 常数，(2)，(3).解：(1)因，即，解得（2）.（3）. 10. 设；.求常数求与是否相互独立？解：（1）见课本p60（2）联合密度函数求解过程见课本边缘分布函数为边缘密度函数为（3）因为（或），所以相互独立.11. 设(X,Y)的联合概率密度是，求 (1) c的值；（2）两个边缘密度 (3) 并判断X，
4、Y的独立性 (4) (1) 因，即，解得(2) ，当或时，.当时，所以，当或时，.当时，所以（3）因,所以不独立.(4)12.求在3次独立试验中事件A至少发生一次的概率.解: 设A发生的概率为p, 则. 由得,.所以, .13.从只含有3黑,4白两种颜色球的球袋中逐次取一球,令.试在不放回模式下求的联合分布律,并考虑其独立性(要说明原因). 0102/72/712/71/7因为,所以不独立.14.设相互独立,且,令求的分布律.解：01P15.设随机变量服从参数为的泊松分布且,求的值并写出随机变量的分布列. 解: ; 的分布列为.16. 设二维随机变量的联合分布列为 Y X0 1 2 31 0
5、3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8求、和. 解: .因为X13P3/41/4所以. 因为XY012369P1/83/83/8001/8所以.又因为 所以17表示第一次所取卡片上的数字，以的联合分布列和边缘分布列及,.解: 联合分布列为XY23411/121/121/12201/81/831/801/841/81/80边缘分布列为X1234P1/41/41/41/4Y234P1/31/31/3.18. 设随机变量X服从区间a,b上的均匀分布,EX=1且DX=1.求a,b的值并写出随机变量的密度函数f(x).解: 因为，解得.所以19. 设， 且X，Y独立，试求E(XY)，D(XY).解
6、：因为，相互独立，所以.因为所以, 又因为相互独立，所以20.设随机变量X密度函数为，求EX, E(5X-1), , DX和D(2X）.解: ，,.21.设随机变量X的密度函数为,求(1)Y=2X+1的密度函数 (2)求EY及DY.解: (1)因为，所以.(2) 因为,.所以.22. 设（X，Y）的联合密度函数为，问X，Y是否独立？求EX，DX.解: 的边缘密度函数为当或时，当时，.所以.当或时，当时，.所以.因为，所以相互独立.,.23. 设(X,Y)的联合密度函数为=，试求，的数学期望.解: .第五章 中心极限定理(10分)24.计算机在每次进行数字计算时遵从四舍五入原则.为使我们此题简单
7、考虑,我们假定对小数点后面的第一位进行四舍五入运算,则可以认为误差. 现若在一项计算中一共进行了100次数字计算，求平均误差落在区间上的概率.解: 设表示第次计算的误差，则. .由中心极限定理得 ，所以25.生产灯泡的合格率为0.9,求10000个灯泡中合格数在89009100的概率.解: 设合格灯泡数为, 则, 由中心极限定理得，所以.26. 将一枚质地均匀的硬币抛10000次,求出现正面的次数不超过5200的概率.(用表示)解: 设出现正面的次数为, 则,由中心极限定理得.因此, .27.某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多
8、少电才能以不小于0.999的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解: 设开工的机器数为,则,由中心极限定理，设至少供应千瓦的电，由题意，即,查表解得.所以至少供应142千瓦的电能.28.某单位有200部 分机,每部 约有5%的时间要使用外线通话.设每部 是否使用外线通话是相互独立的. 求该单位总机至少需要安装多少条外线才能以0.90以上的概率保证每部 需要使用外线时可以打通?解:设同时要使用外线的 数为,则,由中心极限定理，设至少需要安装条外线，由题意，即查表解得所以至少安装14条外线.29.某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内发生重大人身事故,其本
9、人或家属可获2万元赔金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险.求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.解:设发生重大人身事故的人数为,则,由中心极限定理, 所以.第六章 抽样和抽样分布1设总体服从正态分布，其中是已知的，而未知的， 是从总体中抽取的一个简单随机样本.(1)求的密度函数;(2) 指出，之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？解：(1) ;(2) ，是统计量.2. 若是总体X的简单随机样本，是的函数, 则 ( D ) (A) 统计量一定不含未知参数 (B) 一定是一个统计量 (C)统计量的分布一定不含
10、未知参数 (D) A、C都对3. (2011cczu)10分设是来自具有分布-11的总体的随机样本,试用中心极限定理计算.(已知.)解: 由题知,故.由中心极限定理知,.所以, .4. 从某班级的期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.(1)试写出总体，样本，样本值，样本容量;(2)求样本均值，样本方差及样本二阶中心矩的观察值.解：设表示全班同学的期末考试成绩，则总体为，样本为,样本值为（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）,样本容量为，样本均值的观察值为，样本方差的观察值为.样本二阶中心矩的观察值
11、为.5设随机变量,则（ B ）.（A）T服从分布 （B）T服从分布 C）T服从正态分布 （D）T服从分布6设为正态总体的一个样本,则样本均值.数学期望.(2011cczu)数学期望.X服从正态分布,为未知参数，是来自X的样本，则服从分布.8.(2011cczu)设为正态总体的一个样本,则,其中为样本方差.9.为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）.A B C D 10，相互独立，且都服从标准正态分布，则服从的分布为.11.(2012cczu) 5分设为总体的一个样本，为样本均方差，则服从的分布是.12.2012cczu) 5分设.要检验假设,则当为真时,用于检验的统计量服
12、从的分布是.13.一个样本，是样本均值，试问样本容量至少应取多大才能使成立.解：因为，所以,即,得.14.分布为下述情形(1)X；(2)；(3)，为取自总体的样本，与分别为样本均值与样本方差，试分别求.解：（1）;（2）;（3）.第七章 参数估计(10分)1. (2011cczu) 10分设总体X的密度函数为.设0.97,0.06,0.18,0.24,0.88,0.11,0.70,0.51,0.62,0.73为来自该总体的样本值.求参数的矩估计值.解: 依题意,得参数的矩估计量为.而样本均值,所以估计值为.2. (2012cczu) 10分设总体X的密度函数为求的矩估计并计算.解: ,得参数的
13、矩估计量为.而,故.第八章 假设检验(10分)1. (2011cczu) 10分,其中.每天随机地抽取9袋秤得净重为(单位:g)397,406,418,424,388,411,410,415,412.问包装机工作是否正常?(取). 查表.解: (1)假设;(2)取统计量;(3)由, 确定临界值, 使得;(4)由样本值, 得统计量的观察值.(5)因为,所以拒绝原假设,认为包装机不正常工作.2. (2012cczu) 10分,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取).解: 设为零件的平均电阻, 则.(1)假设;(2)取统计量;(3)由, 确定临界值, , 使得;(4)由样本值, 得统计量的观察值.(5)因为,所以拒绝原假设,认为新工艺对零件电阻有显著影响.
概率论与数理统计王琼阮宏顺主编习题集答案第三章第八章复习题含答案
