线性回归与方差分析学习教案

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1、会计学1线性回归线性回归(hugu)与方差分析与方差分析第一页，共111页。对于具有相关关系的变量，虽然不能找到他们之间的确定表达式，但是通过大量的观测数据，可以(ky)发现他们之间存在一定的统计规律，数理统计中研究变量之间相关关系的一种有效方法就是回归分析。第2页/共111页第二页，共111页。 其中yi是x=xi时随机变量Y的观测结果.将n对观测结果（xi，yi）（i=1,n）在直角坐标系中进行(jnxng)描点，这种描点图称为散点图.散点图可以帮助我们精略地看出Y与x之间的某种关系. 假定我们要考虑(kol)自变量x与因变量Y之间的相关关系假设x为可以控制或可以精确观察的变量，即x为普通

2、的变量。由于自变量x给定后，因变量Y并不能确定，从而Y是一个与x有关的随机变量我们对于可控制变量x取定一组不完全相同的值x1，xn，作n次独立试验，得到n对观测结果：（x1,y1） ，（x2,y2），（xn, yn）第3页/共111页第三页，共111页。厂 家123456789广告费6102140626290100120销售额3158124220299190320406380 广告费与销售额之间不可能存在一个明确的函数关系，事实上，即使不同的厂家投入了相同的广告费，其销售额也不会是完全相同的。影响销售额的因素是多种多样的，除了(ch le)广告投入的影响，还与厂家产品的特色、定价、销售渠道、售

3、后服务以及其他一些偶然因素有关。第4页/共111页第四页，共111页。这样，Y可以看成是由两部分叠加而成，一部分是x的线性函数a+bx，另一部分是随机因素引起的误差 ，即Y=a+bx+oxy10020030040050020406080100120L*这就是所谓的这就是所谓的一元线性回归模型一元线性回归模型 图9-1第5页/共111页第五页，共111页。 相互独立niiiiNnibxay,), 0(, 112一般地，假设(jish)x与Y之间的相关关系可表示为bxaY(1)其中(qzhng)：a, b为未知常数2),0(2N为随机误差且未知，x与Y的这种关系称为一元(y yun)线性回归模型y

4、=a+bx称为回归直线 b称为回归系数),(2bxaNY此时对于（x, Y）的样本（x1，y1），（xn，yn）有：第6页/共111页第六页，共111页。一元线性回归主要解决下列一些问题： （1）利用样本对未知参数a、b、 进行估计； （2）对回归模型作显著性检验； （3）当x=x0时对Y的取值作预测，即对Y作区间估计. 2ba, xbay如果由样本得到式（1）中，a, b的估计值 ，则称 为拟合直线或经验回归直线，它可作为回归直线的估计第7页/共111页第七页，共111页。最小二乘法就是选择a，b的估计 ，使得Q(a, b)为最小（图9-2） ba, 2现在我们用最小二乘法来估计模型(mxn

5、g)（1）中的未知参数a,b.niniiiibxaybaQQ1122)(),(记称Q(a, b)为偏差(pinch)平方和第8页/共111页第八页，共111页。图9-2第9页/共111页第九页，共111页。0)2( )(),(0)2( )(),(11iniiiniiixbxaybaQbbxaybaQa为了求Q（a, b）的最小值，分别(fnbi)求Q关于a，b的偏导数，并令它们等于零：经整理(zhngl)后得到式（2）称为(chn wi)正规方程组. niiiniiniiniiniiyxbxaxbbxna112111（2）第10页/共111页第十页，共111页。niiiniixxyyxxb12

6、1)()()(xbyaniniiiynyxnx111,1由正 规方程组解得其中(qzhng)第11页/共111页第十一页，共111页。用最小二乘法求出的估计 、 分别称为a、b的最小二乘估计a byabx此时，拟合直线为()yyb xx或拟合直线也称为y关于x的经验(jngyn)回归方程、有时也称为y关于x的一元线性回归方程第12页/共111页第十二页，共111页。22211111112221111()1()().1()nnnxxiiiiiinnnnxyiiiiiiiiiinnnyyiiiiiiSxxxxnSxxyyx yxynSyyyyn 第13页/共111页第十三页，共111页。1111x

7、yxxnniiiiSbSayxbnn 第14页/共111页第十四页，共111页。由矩估计法，可用 估计2Eniin1212下面再用矩法求 的估计 22DE由于，a、b分别由 、 代入iiiya bx a b而2niiixbayn122)(1故 可用作估计第15页/共111页第十五页，共111页。2为了计算，引入下述残差平方和,iix xiiiiyyabxyyx记则称为处的残差2211nneiiiiiiQyyyabx平方和称为残差平方和第16页/共111页第十六页，共111页。22112112221()()()2()()( )()2( )22.nneiiiiiinniiiiiniyyxyxxix

8、yyyxyxxyyxyxyxxeyyxyQyyyyb xxyybxxyybxxSbSbSSSbSbSSbSbSSQSbS最后得第17页/共111页第十七页，共111页。222(2),2,eQnQEn于是21.22eyyxyQSbSnn第18页/共111页第十八页，共111页。对于估计量 、 、 的分布，有：a b2定理定理(dngl)1niinixxnxaNa121212)(,（1）niixxbNb122)(,（2）) 2(222nn（3）2a b（4）分别与 、 独立。第19页/共111页第十九页，共111页。323. 0b37. 4 a064. 422 在例1中可分别求出a、b、 的估计值

9、为：故经验(jngyn)回归直线为：Y=4.37+0.323x例2 就例1试求出y关于x的一元线性回归方程及 的估计2第20页/共111页第二十页，共111页。xyx2y2xy631369611861058100336458021124441153762604402201600484008800622993844894011853862190384436100117809032081001024002880010040610000164836406001203801440014440045600511202842365605238157488第21页/共111页第二十一页，共111页。2142

10、36551113351.5691157488511 202842342.6793.1714112028511 3.171445.25899xxxyxyxxSSbSSa故故得得45.2583.1714 .225.333.1714(56.78).yxyx或或第22页/共111页第二十二页，共111页。2122eyyxyQSbSnn221122116052382028148262942342.67,3.1714,13976.46(2)13976.46/ 71996.64nnyyiiiixyeyyxyeSyynSbQSbSQn 又又已已知知即即得得第23页/共111页第二十三页，共111页。温度x(C

11、)100110120130140150160170180190得率Y(%)45515461667074788589406080100100120140160180200第24页/共111页第二十四页，共111页。xyx2y2xy10045100002025450011051121002601561012054144002916648013061169003721793014066196004356924015070225004900105001607425600547611840170782890060841326018085324007225153001908936100792116910

12、145067321850047225101570第25页/共111页第二十五页，共111页。2121850014508250,1011015701450 6733985,100.48303,116731450 0.483032.73935,1010 xxxyxyxxSSbSSa 故得故得2.739350.48303 .67.30.48303(145).yxyx 或或第26页/共111页第二十六页，共111页。2231121147225673101932.0.3985,0.48303,7.23,(2)7.23/80.90.nnyyiiiixyeyyxyeSyynSbQSbSQn 又已知即得又已知

13、即得第27页/共111页第二十七页，共111页。在实际问题中，事先我们并不能断定Y与x确有线性关系，Y=a+bx+ 只是一种假设.下面说明(shumng)这一检验的方法.当然，这个假设不是没有根据的，我们可以通过专业知识和散点图来作出粗略(cl)判断.但在求出经验回归方程后，还需对这种线性回归方程同实际观测数据拟合的效果进行检验.第28页/共111页第二十八页，共111页。若假设Y=a+bx+ 符合实际，则b不应为零因为如果b=0，则Y=a+意味着Y与x无关所以Y=a+bx是否(sh fu)合理，归结为对假设：0:1bHH0: b=0进行(jnxng)检验下面介绍检验假设H0的二种常用(chn

14、 yn)方法.第29页/共111页第二十九页，共111页。)1 ,0()(12Nxxbnii)2(222nn且 与 独立b21t检验法检验法若H0成立(chngl)，即b=0，由定理7.1知，第30页/共111页第三十页，共111页。)2(|2ntT)2(2/)(2212ntnnxxbTnii因而)2(|2ntTP故为显著性水平即得H0的拒绝域为第31页/共111页第三十一页，共111页。niiniiniiiYYxxYYxxR12121)()()(2 2相关系数检验法相关系数检验法取检验(jinyn)统计量通常(tngchng)称R为样本相关系数.类似(li s)于随机变量间的相关系数，R的取

15、值r反映了自变量x与因变量Y之间的线性相关关系.可以推出:在显著性水平 下,当|rr时拒绝H0r其中临界值 在附表8中给出相关系数检验法相关系数检验法是工程技术中广是工程技术中广泛应用的一种检泛应用的一种检验方法验方法第32页/共111页第三十二页，共111页。当假设 被拒绝时，就认为Y与x存在线性关系，从而认为回归效果显著；0:0bH若接受H0，则认为Y与x的关系(gun x)不能用一元线性回归模型来描述，即回归效果不显著.此时，可能有如下几种(j zhn)情形：因此，在接受H0的同时，需要进一步查明原因分别处理，此时，专业知识往往起着重要作用. 第33页/共111页第三十三页，共111页。

16、000bxay), 0(20N00 xbay当经过检验发现回归效果显著时，通过回归模型可对Y的取值进行(jnxng)预测.即当x=x0时，对Y作区间(q jin)估计.设当x=x0时Y的取值为y0，有可以取经验回归值第34页/共111页第三十四页，共111页。) 2()()(112122000ntxxxxnnnyyTnii1)2(|2ntTP作为(zuwi)y0的预测值.可以证明从而(cng r)可得第35页/共111页第三十五页，共111页。)(),(0000 xyxyniixxxxnnnntx122020)()(112) 2()(1所以，给定置信概率 ，Y0的置信区间为其中(qzhng)(

17、20 x可以看出在x0处y的置信区间的长度为xx 0当 时置信区间的长度最短，估计最精确，置信区间愈长，估计的精度愈差。第36页/共111页第三十六页，共111页。22) 2(untxx 012nn) , (2020uyuyx当n很大且x0位于 附近时，有1于是y0的置信概率为 的预测区间近似为第37页/共111页第三十七页，共111页。)05. 0(例3 检验例2中的回归效果是否显著，当x0=80时，求出Y0的预测区间。解解 经计算经计算(j sun) T=16.9 r=0.98查表，得t0.025（9）=2.26 r0.05=0.602易见，t检验法、相关系数检验法都拒绝(jju)H0，即

18、回归效果显著。21.310y于是，当x0=80时，y0的预测值为y0的95%的预测(yc)区间为（24.73，35.69）第38页/共111页第三十八页，共111页。 或者，用线性回归方程描述(mio sh)变量间的关系计算的结果与样本值误差较大，这表明变量之间不存在线性相关关系，而是一种非线性的相关关系.下面举例说明对这类问题用线性化处理的方法。第39页/共111页第三十九页，共111页。xi0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47yi0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29解解 根据这根据这11

19、个样本个样本(yngbn)数数据点据点（xi,yi）作出散点图（图）作出散点图（图9-3）.图9-3从散点图上看出(kn ch)，这些数据点在一条曲线L周围.第40页/共111页第四十页，共111页。xy1lnln根据有关(yugun)的专业知识，结合散点图，可以认为曲线L大致为：xey)0,(对上式两边(lingbin)取对数：yylnxx1lnab令xbay即有：第41页/共111页第四十一页，共111页。0.250.220.170.110.00-0.24-0.53-0.99-1.47-1.97-2.302.132.332.633.234.005.007.1410.0014.2916.67

20、20.00 xx1yyln于是数据（ ）相应地变换成（ ）iiyx ,iiyx,将变换后的数据点（ ）画出散点图（图9-4）iiyx,从散点图可以看出 与 具有线性相关关系，因此用一元线性回归分析.xy利用一元线性回归的方法可以计算出 与 的经验回归方程为xy15. 058. 0 xy图9-4第42页/共111页第四十二页，共111页。可求得x与y之间相关(xinggun)关系的一个经验公式：79. 158. 0eea15. 0bxey15.079.1这里(zhl)a=0.58，b= -0.15所以(suy)第43页/共111页第四十三页，共111页。332.1213.9142.443.861

21、9.729.95时间时间t（分（分秒秒）15001000800400200100距离距离x（米）（米）例例2 赛跑是大家熟知的一种体育活动。下表给出了截至1997年底在6个不同的距离上中短跑成绩的世界记录：试根据这些记录数据分析出运动员的赛跑成绩与所跑距离间的相关关系。第44页/共111页第四十四页，共111页。解解 根据根据(gnj)记录数据点（记录数据点（xi，ti）作出散点图）作出散点图 (图图9-5)图9-5从散点图上看出，全部点（xi，ti）分布在一条曲线附近，因而(yn r)x与t之间可以存在一种线性关系。我们用一无线性回归(hugu)分析，可计算出x与t间的线性回归(hugu)模

22、型为 t=-99.9+0.1455x第45页/共111页第四十五页，共111页。由此模型(mxng)，当x=100,200,400,800,1000,1500(米)时，t的理论值分别(fnbi)为:4.56, 19.10,48.20,146.4,215.5,328.2可以看出t的理论值与实际(shj)记录数据多数都比较接近。仔细分析，可发现线性回归模型的一些不合理之处。如：当赛跑距离小于68米时，所需时间为负值；当赛跑距离为100米时所需时间只须4.56.再仔细分析，发现：短距离100米、200米及长距离1500米需要的时间实际值均高于线性模型的理论值，而中间的400米、800米、1000米需

23、要的时间实际值均低于线性模型的理论值.它告诉我们x与t的关系可能为一曲线，且曲线是下凸的。具有这种性质的最简单曲线当属幂函数：t=axb 第46页/共111页第四十六页，共111页。它告诉我们x与t的关系可能(knng)为一曲线，且曲线是下凸的。对上式二边取对数(du sh)lnt=lna+blnx令t=lnt a=lna x=lnx得t= a+bx为一线性关系具有这种性质的最简单(jindn)曲线当属幂函数：t=axb第47页/共111页第四十七页，共111页。aea用一元线性回归分析估计a、b，从而算出最后(zuhu)可得t与x间的幂函数模型： t=0.48x1.145当x=100，200

24、，400，800，1000，1500（米）时，利用幂函数模型(mxng)算出t的理论值分别为：9.39,20.78,45.96,141.68, 211.29,328.88比较计算结果可知(k zh)：幂函数模型比线性回归模型更能确切地反映t与x间的关系。第48页/共111页第四十八页，共111页。其中b0，b1，bp， 为与x1，xp无关的未知参数。2假定(jidng)要考察p个自变量x1，x2，xp与因变量Y之间的相关关系。 ppxbxbbY110), 0(2N设这就是(jish)p元线性回归模型第49页/共111页第四十九页，共111页。iippiixbxbby 110), 0(2Ni对变

25、量x1，xp,Y作n次观测(gunc)得到样本值：iipyxx;,1 （ ） i=1,，n这里y1，yn独立(dl)、同分布，且有nyyyY21npnnppxnxxxxxxxX212222111211111pbbbb10n21为了简化数学处理(chl)，引进矩阵表示，记第50页/共111页第五十页，共111页。 XbY则等式(dngsh)iippiixbxbby110i=1，,n可表示(biosh)为pbbb,10用最小二乘法求未知参数的估计，即参数 niTippiiXbYXbYxbxbbyQ12110)()()(应使为最小第51页/共111页第五十一页，共111页。YXXXbbbbTTp11

26、0)(ppxbxbbY110根据(gnj)高等数学中求最小值的方法，可求得b0，b1，bp的估计：从而得到(d do)Y与x1，xp的经验回归方程：第52页/共111页第五十二页，共111页。 类似于一元(y yun)线性回归，多元线性回归模型的假设是否符合实际，同时需要进行假设检验。 另外，在实际问题中，影响因变量Y的因素往往很多.如果将它们都取作自变量，必然(brn)会导致所得到的回归方程很复杂。 因而，我们应剔除那些对Y影响较小的自变量(binling)，保留对Y有显著影响的自变量(binling)，以便我们对变量(binling)间的相关变化有更明确的认识。 在此我们对多元性回归分析作

27、一简单介绍.在实际问题中多元线性回归的应用非常广泛，有兴趣的读者可以查阅有关的专门书籍。第53页/共111页第五十三页，共111页。 bxY), 0(2N第54页/共111页第五十四页，共111页。01. 00:0bHxi0.100.300.400.550.700.800.95yi1518192122.623.826第55页/共111页第五十五页，共111页。01. 005. 0 xi289298316327329329331250yi43.542.942.139.138.538.038.037.0第56页/共111页第五十六页，共111页。vi1.6210.750.620.520.46pi0

28、.511.522.53第57页/共111页第五十七页，共111页。x1X2x3x4x5111120.21-11-18.011-1-19.21-1-111.4第58页/共111页第五十八页，共111页。一、单因素(yn s)方差分析第59页/共111页第五十九页，共111页。在试验中，将要考察的指标称为试验指标，影响(yngxing)试验指标的条件称为因素因素所处的状态称为(chn wi)该因素的水平如果试验仅考虑一个因素，则称为(chn wi)单因素试验，否则称为(chn wi)多因素试验.我们先讨论单因素试验第60页/共111页第六十页，共111页。报警器型号报警器型号反反 应应 时时 间间

29、A1（甲型）（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）（丁型）12.39.47.810.88.5这里，试验的指标(zhbio)是报警器的反应时间，报警器为因素。第61页/共111页第六十一页，共111页。4种不同(b tn)型号的报警器是因素的4个不同(b tn)水平。这是一个单因素试验.我们(w men)要考察：各种型号的报警器的反应时间有无(yu w)显著性差异？如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，那么何种型号的报警器最优？ 第62页/共111页第六十二页，共111页。432

30、1,43210:H43211,:H上表中数据可看作来自4个不同总体（每个水平对应(duyng)一个总体）的样本值，将各个总体均值依记为则各型号报警器的反应时间有无显著性差异的问题相当于需检验(jinyn)假设不全相等(xingdng)。第63页/共111页第六十三页，共111页。若再假定各总体均值为正态总体，且各总体方差(fn ch)相等，那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等(xingdng)的问题。显然(xinrn)，检验假设H0可以用前面所讲的t检验法，只要检验任何二个总体均值相等就可以了。下面所要讨论的方差分析法就是解决这类问题的一种检验方法。但是这样做要检验3次，比较繁琐.

31、第64页/共111页第六十四页，共111页。总体均值总体均值样本均值样本均值Xs2X22X12Xs1X21X11AsA2A1 水平水平观测值观测值 .SX1S2.2X22nX.1XssnX11nX设影响(yngxing)指标值的因素A有s个水平A1，A2，As)2(iinn在水平Ai（i=1,s）下，进行 次独立试验，得样本Xij，j=1，ni：第65页/共111页第六十五页，共111页。injijiiXnX11si, 1sinjijiXnX111siinn1假定水平Ai下的样本来自正态总体 ， 未知，且不同水平Ai下的样本独立),(2iN2,i记),(2iijNX有j=1,，ni i=1，s

32、Xij相互(xingh)独立第66页/共111页第六十六页，共111页。), 0 (2Nij于是(ysh)ijiijXij为随机误差由假设(jish)在方差分析中，为了便于(biny)推广到多因素试验的情形，习惯上又有下列表示式：ijiijXj=1,，ni i=1，s iisiiin10siiinn11其中称 为总平均is,1称 为水平Ai的效应效应，满足第67页/共111页第六十七页，共111页。0:210sHs21现在，要检验等价(dngji)于检验sH,:211不全为零下面(xi mian)从平方和的分解着手,导出上述假设H0的检验方案sinjijTiXXS112)(记ST能反映全部(q

33、unb)试验数据之间的差异，因此称ST为总偏差平方和第68页/共111页第六十八页，共111页。sinjijTiXXS112)(sinjiiijiXXXX112)()(sinjiiijiXXXX112)()(sinjsinjiiijiijiiXXXXXX11112)(2)(sinjiiXX112)(sinjisiiiijiXXnXX11212)()(由于(yuy)第69页/共111页第六十九页，共111页。sinjiijEiXXS112)(siiiAXXnS12)(于是(ysh)有平方和分解式：ST=SE+SA其中(qzhng)称SE为误差(wch)平方和，SA为因素A的平方和SE反映了各水平

34、Ai内由于随机误差而引起的抽样误差SA反映了因素A的水平不同而引起的误差外加随机误差第70页/共111页第七十页，共111页。定理定理(dngl)1)(122snSE（1）（2）SE与ST相互(xingh)独立；01s) 1(122sSA（3）当 时， 。第71页/共111页第七十一页，共111页。0:10sH)() 1(snSsSFEA为了(wi le)检验取FF（s-1，n-s）当H0成立(chngl)时，由定理1，直观上，当H0成立(chngl)时，由因素水平的不同引起的偏差相对于随机误差而言可以忽略不计，即F的值应较小；反之，若F值较大，自然认为H0不成立(chngl)。第72页/共1

35、11页第七十二页，共111页。), 1(snsFF若检验结果认为假设H0不成立，则可用 作为 的点估计，或者对 进行区间估计。iXii), 1(snsFFP由得到：在显著性水平 下H0的拒绝域：计算(j sun)F的值可用表9-1所示的方差分析表第73页/共111页第七十三页，共111页。n-1ST总和总和n-sSE误差误差s-1SA因素因素AF值值均方和均方和自由度自由度平方和平方和偏差来源偏差来源1sSSAAsnSSEEEASSF 表表9-1 9-1 单因素单因素(yn s)(yn s)方差方析表方差方析表第74页/共111页第七十四页，共111页。11,2,iniijjTxis记11in

36、SijijTx22221111iinnssTijijijijTSxnxxn则22211ssiiAiiiiTTSn xnxnnETASSS在 实际中，我们可以按以下较简 的 公式 来计算,.TAESSS在实际中，我们可以按以下较简的公式来计算第75页/共111页第七十五页，共111页。0121121.:,SSHH 假设不全相等12.AESsFSns选取检验统计量3.1,11,AEFFsnsSsFFsnsSns在水平 下查 分布表求的值定出拒绝域为第76页/共111页第七十六页，共111页。 22211114.1,iinnSiiiijijjijiTTTxTxn列表求等数据 2,TAETASSSSS

37、根据表中数据求的值11,2,iniijjTxis记11inSijijTx22221111iinnssTijijijijTSxnxxn其中22211ssiiAjjiiTTSn xnxnnETASSS第77页/共111页第七十七页，共111页。5.将以上所求结果列成“方差分析表”方差来源平方和自由度均方F比因素误差总和AS1s1AASSsAESFSESTSn s1nEESSns方 差 分 析 表第78页/共111页第七十八页，共111页。006.11,AESsFFsnsSnsHH判断并作出结论：若则拒绝原假设否则就接受原假设第79页/共111页第七十九页，共111页。机器机器I机器机器II机器机器

38、III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262补充例题： 设有三台(sn ti)机器, 生产规格相同的铝合金薄板. 取样,测量薄板的厚度得结果如下表所示:试考察各台机器所生产的的薄板(bo bn)的厚度有无显著的差异？第80页/共111页第八十页，共111页。 012311231:,HH ：设解假不全相等 12AESsFSns选取检验统计量 0.051,2,123.89FFsnsF3在水平 下查 分布表0.0512,123.89AESsFFSns则拒绝域为 4列表计算所需各值如下：第8

39、1页/共111页第八十一页，共111页。 水平观察值机器机器机器0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.2621.211.281.3101.46411.63841.71610.2930.3280.3430.9640.2420.2560.2620.292920.327720.343274iT21iiTn2iTix21jnijix3.8T 2110.963912jnsijjix第82页/共111页第八十二页，共111页。222113.80.9639120.0012453315jnsTijjiTS

40、xn则22213.80.963720.0010533315sjAjjTTSnn0.001245330.001053330.000192ETASSS第83页/共111页第八十三页，共111页。方差来源平方和自由度均方F比因素0.0010533320.0005266732.92误差0.000192120.000015总和0.0012453314ASESTSASES=AESS第84页/共111页第八十四页，共111页。 00.050632.923.892,120.05.AESFFSH结论：因为落入拒绝域。所以在水平下，拒绝原假设即认为各台机器生产的薄板的厚度有显著的差异。第85页/共111页第八十五

41、页，共111页。来源来源平方和平方和自由度自由度均方和均方和F值值因素因素A56.29318.76F=6.15误差误差48.77163.05在实际应用中，一般在 下若仍不能拒绝H0时则接受原假设H010. 0例例2 在例在例1中，中，s=4,n1=n2=n3=n4=5,n=20，经计算，经计算(j sun)列方差分析表如下：列方差分析表如下：查表，得F0.10（3.16）=2.46，F0.05（3.16）=3.2410. 00.05从而在显著性水平下检验结果拒绝H0第86页/共111页第八十六页，共111页。28. 51X56. 62X30. 63X76. 94X28. 5156. 6230.

42、 6376. 94由方差分析可知(k zh)，4种型号的报警器的反应时间确有显著性差异计算(j sun)：故即反应时间较短的是甲，丙次之第87页/共111页第八十七页，共111页。假定要考察两个因素(yn s)A、B对某项指标值的影响因素(yn s)A取s个水平A1，A2，As因素B取r个水平B1，B2，Br在A、B的每对组合水平（Ai，Bj）上作一次试验，试验结果为Xij，i=1，s；j=1，r。所有Xij独立，数据列于下表：第88页/共111页第八十八页，共111页。XsrXs2Xs1AsX2rX22X21A2X1rX12X11A1BrB2B1 因素因素B因素因素ArX2 X1 XjX s

43、X 2X 1X iXsiXrXrjiji, 2 , 111rjXsXriijj, 2 , 111其中(qzhng)要考察因素A、B是否指标值产生(chnshng)显著性影响？第89页/共111页第八十九页，共111页。),(2ijijNX设ijijijX则有), 0 (2Nij为随机误差，且ij相互独立 i=1，s j=1，, r再假定在水平组合（Ai, Bj）下的效应可以用水平Ai下的效应（记为 ）与水平Bj下的效应（记为 ）之和来表示，ij即jiij其中sirjijrs111sii10rjj10第90页/共111页第九十页，共111页。0:2101sH0:2102rH作假设(jish)ij

44、如果H01成立，那么 与i无关这表明因素A对指标值无显著(xinzh)影响同样(tngyng)，作假设ij如果H02成立，则 与i无关这表明因素B对指标值无显著影响第91页/共111页第九十一页，共111页。sirjijXrsX111rsjiijTXXS12)(siiAXXrS12)(rjjBXXsS12)(sirjjiijEXXXXS112)(类似(li s)于单因素方差分析，通过下面的平方和分解式可以检验假设H01，H02记第92页/共111页第九十二页，共111页。EBATSSSS通过简单(jindn)推导可以证明下列平方和分解式：2SA是由因素A的不同效应和 引起的偏差2SB是由因素B

45、的不同效应和 引起的偏差而SE表示由 引起的偏差2因此，可用比较SA与SE的值来检验(jinyn)假设H01用比较SB与SE的值来检验(jinyn)假设H02第93页/共111页第九十三页，共111页。)1)(1(122rsSE 定理定理(dngl)2(dngl)2（1）ST，SA，SB相互(xingh)独立，且) 1(122sSA（2）当H01成立时，) 1(122rSB（3）当H01成立时，第94页/共111页第九十四页，共111页。) 1)(1(),1() 1)(1/(1/rssFrsSsSFEAA)1)(1( , 1(rssFFA由定理(dngl)2)1)(1( , 1(rssFFPA

46、于是有所以(suy)H01的拒绝域为为显著性水平类似(li s)地，可给出H02的拒绝域：)1)(1( , 1(rsrFFB其中) 1)(1(1rsSrSFEBB第95页/共111页第九十五页，共111页。总和总和误差误差因素因素B因素因素AF值值均方和均方和自由度自由度平平 方方 和和偏差偏差来源来源rsjiijTXXS.1.2)() 1)(1(rsESEE) 1)(1(rs1rSSBBAAASSF rsjijiijEXXXXS,1.2)(1sSSAArjjsBXXS12)(siiAXXrS12)(1rEBBSSF 1ssr表表9-2 9-2 双因素双因素(yn s)(yn s)方差分析表方

47、差分析表第96页/共111页第九十六页，共111页。4339.537.536A339.53836.533.5A238.535.53532A1B4B3B2B1氧化锌氧化锌B促进剂促进剂A例例3 在某种橡胶的配方中，考虑了3种不同的促进剂，4种不同的氧化锌.各种配方试验一次，测得300%定强如下：问不同促进剂、不同份量氧化锌分别对定强有无显著性影响？第97页/共111页第九十七页，共111页。来源来源平方和平方和自由度自由度均方和均方和F值值因素因素A28.3214.15FA=36.3因素因素B66.1322.03FB=56.5误差误差2.3560.39总和总和96.7511解解 由题意由题意(t

48、 y)，影响定强这一指标值的因素有二个，影响定强这一指标值的因素有二个：促进剂：促进剂A、氧化剂、氧化剂Bs=4,r=3，列出如下(rxi)的方差分析表：取05. 0查表，得F0.05(2,6)=5.14 F0.05(3,6)=4.76比较(bjio)可知 FA5.14 FB4.76所以不同促进剂和氧化锌的不同份量对橡胶定强都有显著影响第98页/共111页第九十八页，共111页。jiij在以上(yshng)的双因素方差分析中，我们作了假定：如果此式不能成立，则需考虑二个因素(yn s)A与B在不同水平组合下的交互作用。对有交互作用方差分析感兴趣的读者(dzh)可进一步阅读有关的书籍第99页/共

49、111页第九十九页，共111页。工厂工厂寿寿 命命A13840424548A22628303234A339454350501有A1，A2，A3 3个工厂生产同一(tngy)型号的电池，各个随机抽取5个电池，测得使用寿命（单位：小时）如下：问各厂生产的电池的使用寿命有无(yu w)显著性差异？第100页/共111页第一百页，共111页。05. 0鼠种鼠种雌激素剂量（毫克雌激素剂量（毫克/100克）克）0.20.40.8甲甲106116445乙乙4268115丙丙70111133丁丁426387第101页/共111页第一百零一页，共111页。A/B3.3%3.4%3.5%3.6%0.03%63.1

50、63.965.666.80.04%65.166.467.869.00.05%67.171.071.973.601. 0第102页/共111页第一百零二页，共111页。x168162160160156157159168159162158156165158166y10710310310210010010110711010210099105101105162150152156159156164168165162158157172147155105979810110399107108106103101101110959901. 0第103页/共111页第一百零三页，共111页。01. 0l816203

51、454U4552.55562.570第104页/共111页第一百零四页，共111页。axy 01. 0y/g0.53475122.5170192195x/mm2960124155170185190第105页/共111页第一百零五页，共111页。x-2.00.61.41.30.1-1.6-1.70.7-1.8-1.1y-6.1-0.57.26.9-0.2-2.1-3.93.8-7.5-2.1第106页/共111页第一百零六页，共111页。33221122ebayebayeay)3 , 2 , 1( iei2)(, 0)(iieDeE第107页/共111页第一百零七页，共111页。05. 0类型类

52、型1143141150146类型类型2152144137143类型类型3134136133129类型类型4129128134129第108页/共111页第一百零八页，共111页。05. 0第一组第一组3369115第二组第二组104111563第三组第三组2010161598第109页/共111页第一百零九页，共111页。05. 0机器机器加压加压B1B2B3B4A11577169018001642A21535164017831621A31592165218101663第110页/共111页第一百一十页，共111页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第111页/共111页第一百一十一页，共111页。