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1、“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 宁夏师范学院宁夏师范学院孙霆孙霆1.11.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 (1)(1)取一条一定长的细绳取一条一定长的细绳 (2)(2)把它的把它的两端两端用图钉用图钉固定固定在纸板在纸板F1F1和和F2F2上上 (3)(3)当当绳长大于两图钉之间的距离绳长大于两图钉之间的距离时，用铅时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上在纸板上慢慢移动，慢慢移动，画出一个图形画出一个图形F1F2椭圆的定义到两定点F1和 F2的距离之和为常数(大于F1 F2距离）的点的轨迹是椭圆.平面内与两定点的距离的和
2、等于常数平面内与两定点的距离的和等于常数 的点的的点的集合集合叫做椭圆。叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做焦距焦距一、椭圆定义一、椭圆定义：1F2FM（大于（大于|F|F1 1F F2 2| |）思考交流：思考交流：问题问题1：当常数等于：当常数等于|F1F2|时，点时，点M的轨的轨迹迹 是什么？是什么？问题问题2：当常数小于：当常数小于|F1F2|时，点时，点M的轨的轨迹迹 是什么？是什么？线段线段F1F2轨迹不存轨迹不存在在回忆圆标准方程推导步骤 提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点
3、轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;2、写出适合条件、写出适合条件 P（M） ;3、用坐标表示条件、用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴一般利用对称轴或已
4、有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简简洁洁”)xF1F2( (x , y) )0y设P (x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 两边除以两边除以 得得).0(12222babyax由椭圆定义可知由椭圆
5、定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在
6、)0(12222babxayOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。2F1FoyM4椭圆标准方程分析椭圆标准方程分析M2F1Foxy只须将只须将(1)方程的方程的x、y互换即可得到互换即可得到 0 0) )b b1 1( (a ab by
7、 ya ax x2 22 22 22 20 0) )b b1 1( (a ab bx xa ay y2 22 22 22 2这个也是椭圆的标准的方程这个也是椭圆的标准的方程 x0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)在轴上在轴上F(0(0，c) )在轴上在轴上a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：注注: :哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标
8、轴上！11625)(22yxB156)(2222yxC11616)(22yxA623)(22yxD例例 1.下列方程哪个表示椭圆？下列方程哪个表示椭圆？)(D 牛刀小试牛刀小试例2：已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4米，外轮廓线上的一点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程？解：以两焦点所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为)0( 12222babyax根据题意得，2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.281.02 .15 .122222cab因此这个椭圆的标准方程为181. 025. 222yx例3将圆 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。422 yx21,FF|21FF|21MFMFMOxyF1 1F2 2MO2222+=1 0 xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上在哪个轴上12- , 0 , 0，FcF c120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的焦点位置的判断判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标a、b、c 的关系的关系焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上222bac) 0( 12222babxayxyF1 1F2 2
孙霆椭圆及其标准方程
