福建师范大学21春《常微分方程》在线作业二满分答案_19

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1、福建师范大学21春常微分方程在线作业二满分答案1. 已知向量a=(1，-11)，b=(2，0，1)c=(0，1，3)，则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。已知向量a=(1，-11)，b=(2，0，1)c=(0，1，3)，则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。72. 下列集合中为空集的是( )A.x|ex=1B.0C.(x，y)|x2+y2=0D.x|x2+1=0，xR参考答案：D3. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数在x=0处连续，求a、b的值。因为 f(0)=1 又由题设f(x)在x=0处连续，知 即a=lnb=1 则a=1，b=e 4. 某单人裁缝店做西服，每

2、套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从参数4u的负指数分布，平均需要2h。又设顾客前来定制西装的过程为泊松过程，平均每周来到5.5人(每人定制一套西服，且设每周工作6天，每天工作8h)。试问一位顾客从定货到做好一套西服平均需要多少时间?5. 顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)2(3x+4y+z-1

3、0)2=13(x-2)2+(y-1)2+z26. 自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=0.05下，检验下列假设：自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=0.05下，检验下列假设：是2未知，单总体均值的双侧检验，=0.05，待检假设H0：=3 由n=100，s2=2.2727，=2.7，计算T检验统计量，得 查表得t0.025(99)z0.025=1.96，经比较知，|t|=1.9894t0.025(99)=1.96，故拒绝H0，认为3$由于已知，可用检验统计量，待检假设 H0：0=2.5 这是双侧检验，查表得，而 ，故接受H0，认

4、为2=2.5 7. 设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1因为AA*=|A|E， (1) 若|A|=0，则|A*|=0(反证) 若|A*|0，则A*-1可逆，用(A*)-1右乘式的两边，得A=|A|(A*)-1=0，从而A的n-1阶代数余子式都为0，故A*=0，与|A*|0矛盾，所以当|A|=0时，|A*|=0 则|A*|=|A|n-1显然成立 (2) 当|A|0时，在式的两边取行列式，得 |A|A*|=|A|E|=|A|n 则|A*|=|A|n-1 8. 导数又可视为因变量的微分和自变量微分的商。( )A.正确

5、B.错误参考答案：A9. y=1/(x-2)有渐近线( )。A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A10. 设曲线y=e-x(x0)， (1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋设曲线y=e-x(x0)，(1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V()；求满足的a(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积这是微分学与积分学的综合题，按步骤逐个求解便可 (1)如下图所示， 易知 ，故从 解出 (2)如下图所示，设A为曲线

6、y=e-x上的切点，则因y(a)=-e-a，可以求出切线方程为 y-e-a=-e-a(x-a) 令x=0，得切线与y轴交点为(0，(1+a)e-a)；令y=0，得切线与x轴交点为(1+a，0)，从而切线与坐标轴所围图形面积为 令，得驻点a=1(a=-1舍去)分析S(a)的符号可知，S(a)在0a1时单调增，在a1时单调减，故是所求的最大面积 11. 根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为( )。 A比例关系模型 B时间关系模型 C相关关系模型 D结构根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为()。A比例关系模型B时间关系模型C相关关系模型D结构关系模型E发展关系模型BC12. f(x)=m|x

7、+1|+n|x-1|，在(-，+)上( )A.连续B.仅有两个间断点x=1，它们都是可去间断点C.仅有两个间断点x=1，它们都是跳跃间断点D.以上都不对，其连续性与常数m，n有关参考答案：A13. 设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解AX=014. 设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集证明令h(x)=g(x)-f(x)由于f，g可测，故h可测又因为 x：f(x)g(

8、x)=x：h(x)0=h-1(0，)， x：f(x)=g(x)=x：h(x)=0=h-1(0)，(0，是-，中的开集，0是-，中的闭集故由可测函数的定义，h-1(0，)与h-1(0)都是可测的，结论成立 15. ( )是函数f(x)=1/2x的原函数。A.F(x)=ln2xB.F(x)=-1/x2C.F(x)=ln(2+x)D.F(x)=lnx/2参考答案：D16. 试证明： 设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)试证明：设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)证明 因为我们有

9、 ，所以在0，a上几乎处处绝对收敛，由于以x+a代替x，上述级数不变，故它在R1上也就几乎处处绝对收敛又有 17. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等；问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等； (4)对角线互相平分； (5)对角线互相垂直； (6)对角线是角的平分线； (7)对角线相等； (8)面积等于一边的平方正确答案：(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质18. 设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程 (x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解

10、，则方程的通解为_设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程 (x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为_正确答案：y=C1ex+C2e2+3y=C1ex+C2e2+319. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0

11、216.0115.9615.9816.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?20. 下列结论正确的是( )A.若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续B.若f(x)2在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续C.若f(x)3在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续D.若f(x)在x=a点处连续，则1/f(x)在x=a点也必处连续参考答案：C21. x=0是函数f(x)=xarctan(1/x)的( )A.连续点B

12、.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点参考答案：B22. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f(0)=( )A.0B.1C.3D.2参考答案：C23. 已知函数y=|x|/x，则下列结论正确的是( )。A.在x=0处有极限B.在x=0处连续C.在定义域内连续不可导D.在定义域内连续可导参考答案：D24. 设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得证明令F(x)=lnf(x)，则 因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得 F(b)-F(a)=F(

13、)(b-a)，即 分析将要证的等式变形为 可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在a，b上应用拉格朗日定理 25. 某环节的传遇函数为2s，则它的幅频特性的数字表达式是_，相频特性的数学表达式是_。某环节的传遇函数为2s，则它的幅频特性的数字表达式是_，相频特性的数学表达式是_。参考答案：. A()=2 () =9026. 设A，B是两个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求条件概率设A，B是两个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.7,求条件概率P(A+B)=?设AB是两个随机事件,P(A|B)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A|B)=0.7,P(AB

14、)=0.3P(B)P(AB)=0.4P(A)P(AB)=0.7P(B)=0.7-0.7P(B)P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=1+P(AB)-P(A)-P(B)P(AB)-P(A)-0.3P(B)+0.3=0解方程组得：P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.12P(AB)=0.42P(A+B)=1-P(AB)=0.58或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5827. 若函数f(x)在(a，b)内存在原函数，则原函数有( )。A.一个B.两个C.无穷多个D.其他选项都选参考答案：C28. 在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向

15、椭圆中心在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心$029. 设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关30. 集合A=2，3，4，5，6表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B31. 在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点

16、之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面的解法是否正确?如不正确，错在哪里?解法：因试验可能结果只有两个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而此解法是错误的，这种解法是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的两部分不是等可能的，因而不能据此进行计算 正确的解法如下：掷两枚骰子的样本空间可形象地表为=(i，j):i，j=1，2，6，数对(i，j)表示两枚骰子分别出现的点数，因而一个数对即对应着一个样本点，一共含有62=36个这样的数对，每个数对出现的可能性都等于，而事件A只含有(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)这样四个数对，因而

17、在几何概型的概率计算中，关键在于正确地刻画出事件A所对应的子区域SA在下例中找出SA是什么 例甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 我们记该事件为A，甲、乙到达时间分别为x，y(单位：h)，则=(x，y)：0x24，0y24.为求SA，注意到，A发生当且仅当甲、乙到达时间之差不超过6h，即|x-y|6，因而 SA=(x，y)：0x24,0y24,|x-y|6,即图2.1中阴影部分区域，所以 32. 已知1，2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_已知1，

18、2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_-2 其中，|C|=-30 所以B=AC-1， 从而|B|=|A|C|-1=-2 方法点击 也可用行列式性质来解：|A|=|21+2，1-2|-|31，1-2|=3|1，1-2|=3|1，-2|=-3|1，2|=-3|B|，故|B|=2 33. 当x0时，下列函数是无穷大量的是( )。A.1/exB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D34. 设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少

19、存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0证法1 若在a，b上f(x)0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且 则F(a)=F(b)=0，又F(x)在a，b上连续，可导，可知F(x)=f(x),因此 (*) 由于F(x)为a，b上的连续函数，且，可知必定存在一点(a，b)，使F()=0,否则，与(*)式矛盾， 在a，b上对F(x)利用罗尔定理，可知必定存在x1(a，)，x2(，b)，使得 F(x1)=f(x1)=0， F(x2)=f(x2)=0 证法2 由题设，f(x)为a，b上的连续函数，可知必定存在点x1(a，b)，使f(x1)=0,否则不妨设在(a，b)内f(x)0，则与题设矛盾

20、 设f(x)在(a，b)内不存在第二个零点，则不妨设 设g(x)=(x1-x)f(x)， 则 可知 又得出矛盾，表明f(x)在(a，b)内至少存在两个零点x1，x2 35. 下列函数中，奇函数是( )。A.y=x5+sinxB.y=sinx+2cosxC.y=x2sinxD.y=x(x-1)(x+1)参考答案：ACD36. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)

21、2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯

22、性指数为n，故f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 37. 曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_(0，-2)38. 运输问题有可行解的充要条件是运输问题有可行解的充要条件是必要性，设xij(0)是问题的可行解，则有 从而有 充分性记,令 (i=1，2，m；j=1，2，n)，则易验证(xij)满足问题，即xij)是运输问题的一个可行解 39. 设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|

23、C)设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)依次证明P(ABC)=0，P(AB|C)=0再用例1.1740. 如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？不一定复合函数求导法则中关于函数g，f的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，因此，函数g或f的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的 例如：(1)g(x)=|x|在x

24、=0处不可导，f (u)=u2在u=g(0)=0处可导，而f(g(x)=(|x|)2=x2在x=0处可导 (2)g(x)=x2在x=0处可导，f(u)=|u|在u=g(0)=0处不可导，而f(g(x)=|x2|=x2在x=0处可导. (3)g(x)=x+|x|在x=0处不可导，f(u)=u-|u|在u=g(0)=0处也不可导，而f(g(x)=x+|x|-|x+|x|在x=0处可导 41. 设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式因为f(x)=2x+1，g(x)=x

25、2-2， 所以=g(f(x)=g(2x+1)=(2x+1)2-2 =4x2+4x+1-2=4x2+4x-1 42. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：证明 必要性 依题设知，对任给0，/2，存在N，使得 m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2 (kN). 从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得

26、所证 充分性 记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得 m(xE：|fk(x)-f(x)|) (kN) 这说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 43. 设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问 (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论. (2) 4设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问(1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论.(2) 4能否由1，2，3线性表出?证明你的结论.(1) 解法

27、1 1能由2，3线性表出.因为已知2，3，4线性无关，所以2，3线性无关，又因为1，2，3线性相关，由定理3.7即知1能由2，3线性表出. 解法2 1能由2，3线性表出.因为已知1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使 k11+k22+k33=0 其中k10.因为若k1=0，则k2，k3不全为零，使k22+k33=0，即2，3线性相关，从而2，3，4线性相关，这和已知矛盾，故k10，于是得 (2) 4不能由1，2，3线性表出.用反证法：设4可由1，2，3线性表出，即有数1，2，3，使得4=11+22+33.由(1) 知，有1=l22+l33，代入上式，得 4=(2+1l2)2

28、+(3+1l3)3 即4可由2，3线性表出，从而2，3，4线性相关，这与已知矛盾.因此，4不能由1，2，3线性表出.本题主要利用了部分组与整体组的线性相关性之间的关系.注意，由本题(1) 的结论已说明2，3是向量组1，2，3的一个极大无关组，由于在线性表出问题中，极大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，则本题(2) 的结论是显然的. 44. 糖果厂生产的奶油糖每袋售价54元，如果每周销售量(单位：千袋)为Q时，每周总成本为C(Q)2 400+4000糖果厂生产的奶油糖每袋售价54元，如果每周销售量(单位：千袋)为Q时，每周总成本为C(Q)2 400+4000Q100Q2(元)，设价格不变，

29、求(1)可以获得利润的销售量范围；(2)每周销售量为多少袋时，可以获得最大利润?正确答案：总收益R(Q)5 400Qrn 总利润L(Q)R(Q)C(Q)rn 100Q21 400Q2 400rn 100(Q214Q24)rn 100(Q2)(Q12)rn 当2Q12时L(Q)O即当销售量在2 000袋至12 000袋之间可以获得利润rn 令L(Q)200Q1 4000得Q7L(Q)2000rn故Q7时L(Q)取得极大值因极值唯一即为最大值所以当销售量为7 000袋时可获得最大利润总收益R(Q)5400Q总利润L(Q)R(Q)C(Q)100Q21400Q2400100(Q214Q24)100(Q

30、2)(Q12)当2Q12时,L(Q)O,即当销售量在2000袋至12000袋之间可以获得利润令L(Q)200Q14000,得Q7,L(Q)2000故Q7时,L(Q)取得极大值,因极值唯一,即为最大值所以当销售量为7000袋时,可获得最大利润45. 直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为( )A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A46. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算 (1)

31、积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单 47. 设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设X的分布律为PX=ak=pk，k=1，2， 因为f(x)(x0)单调非减，故当t|ak|时，f(t)f(|ak|)于是，对任意的t0， 48. a是a与0的一个最大公因数。( )a是a与0的一个最大公因数。( )正确答案：49. 甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_甲、乙两人同时向一

32、敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_0.850. 计算下列函数的导数：y=x3lnxy=x3lnx正确答案：y=(x3lnx)一(x3)lnx+x3.(lnx)=3x2lnx+x3.265=x2(3lnx+1)y=(x3lnx)一(x3)lnx+x3.(lnx)=3x2lnx+x3.265=x2(3lnx+1)51. 设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：证明必要性 设YM则x，yH有PM

33、xM，PY(PMx)Y注意到正交投影算子是自共轭幂等的，故有 PYPMx2=PYPMx，PYPMx=PMx，PMx =PMx，PYPMx=0，因此PYPM= 充分性 设PYPM=由于PM是H到M的正交投影，xM，有x=PMx，于是=PYPMx=PYx由于PY是H到Y的正交投影，此式表明xY因此MY$必要性 设PY+PM是正交投影算子由 PY+PM=(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+ =PY+PYPM+PMPY+PM得到PYPM+PMPY=将此式分别左乘PY与右乘PY，有 PYPM=-PYPMPY，PMPY=-PYPMPY 因此PYPM=PMPY= 充分性 设PYPM=，则PYPMPY=于

34、是xH有 PMPYx2=PMPYx，PMPYx=PYx，PYx =x，PYPMPYx=0 这表明PMPY=由此得(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+=PY+PM，即PY+PM是幂等的，且x，yH有 (PY+PM)x，y=PYx，y+PMx，y=x，PYy+x，PMy =x，(PY+PM)y， 即PY+PM是自共轭的因此PY+PM是正交投影算子$必要性 设PY-PM是正交投影算子，xM，则PMx=z，且 x2PYx2=PYx，x=(PY-PM)x，x+PMx，x =(PY-PM)x2+PMx2 =PYx-x2+x2 因此PYx-x=，即PYx=x，xY因此 充分性 设对任意xH有PMx故PY

35、PMx=PMx，即PYPM=PM另一方面，设x=PYx+y，yY；且x=PMx+m，mM则由yM可知(y-m)M，即(PY-PM)x=m-y与M正交注意到PYx=PMx+(PY-PM)x为PYx关于M的正交分解，从而有PMPYx=PMx，即PMPY=PM于是 (PY-PM)2=-PYPM-PMPY+ =PY-PM-PM+PM=PY-PM， 即PY-PM是幂等的又对任意x，yH有 (PY-PM)x，y=PYx，y-PMx，y=x，PYy-x，PMy =x，(PY-PM)y， 即PY-PM是自共轭的因此PY-PM是正交投影算子$必要性 设PYPM是正交投影算子，则PYPM是自共轭的，于是有 PYP

36、M=(PYPM)*=PMPY 充分性 设PYPM=PMPY，则(PYPM)*=PMPY=PYPM，PYPM是自共轭的又有(PYPM)2=PYPMPYPM=PYPM，即PYPM是幂等的因此PYPM是正交投影算子$记Qn=Pi，则由(2)利用数学归纳法可知Qn是正交投影算子由于对任意xH有(Pix，Pjx)=PjPix，x=0(ij)，故 = 令n可知又因(m，n)，故Pix是Cauchy列由H的完备性，可令Px=则由此式定义的算子P是线性的由于Qn是逐点有界的利用共鸣定理可知Qn一致有界于是P是有界的由于x，yH有 故P是自共轭的；又有 (P2-P)x=(P2-QnP+QnP-+Qn-P)x (

37、P-Qn)(Px)+Qn(P-Qn)x +(Qn-P)x0(n)，故P2=P，即P是幂等的因此P是正交投影算子 52. 已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正确的是( ) AP(A+B)=1 B C D已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正确的是()AP(A+B)=1 BCDD53. 下列各微分式不正确的是( )。A.xdx=d(x2)B.cos2xdx=d(sin2x)C.dx=-d(5-x)D.d(x2)=(dx)2参考答案：ABD54. 参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是( ) A没有任何相似之处 B参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推

38、断的重要内容，它们之间的关系是()A没有任何相似之处B假设检验法隐含了区间估计法C区间估计法隐含了假设检验法D两种方法虽然提法不同，但解决问题的途径是相同的D55. 设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zexyey=zez所确定，求du设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zex-yey=zez所确定，求du56. Z2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak3=ak1akB、ak2=ak1akC、ak2=ak1aZ2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak+3=ak+1-akB、ak+2=ak+1-

39、akC、ak+2=ak+1+akD、ak+3=ak+1+ak正确答案： D57. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任

40、何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理

41、解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 58. 求下列二元函数的二阶偏导数：求下列二元函数的二阶偏导数：计算一阶偏导数 zx=y4-2xy zy=4xy3-x2 所以二阶偏导数 zxx=-2y zxy=zyx=4y3-2x zyy=12xy2$计算一阶偏导数 zx=exy(xy)x=yexy zy=exy(xy)y=xexy 所以二阶偏导数 zxx=yexy(xy)x=y2exy zxy=zyx=exy+yexy(xy)y=exy+xyexy=(1+xy)exy zyy=xexy(xy)y=x2exy 59. y+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y+4y+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式()正确60. 函数的极大值就是它的最大值。( )A.错误B.正确参考答案：A