换元法在数学中的应用

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1、.换元法在数学中的应用案例教学重难点：教学目标：高考地位：一.根底训练：1.函数y2*的值域是_。2.，则=3.假设满足，则的最大值为二知识讲解1.定义：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把*个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。2.运用围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。3.换元的方法主要有：.整体换元、均值换元、三角换元、局部换元1.整体换元例1 分解因式：解：设

2、，则原式评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的*一局部巧用一个字母进展代换,从而使原多项式的构造简化,进而便于分解因式.2.均值换元，如遇到*yS形式时，设*t，yt等等。结合三角形角的关系与三角公式进展运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。例题：解方程组解：由可设，即，代入，得.原方程组的解为说明：此题假设按常规设法，可设，此时，由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，此时，没有出现分类，使运算变得简捷.换元的作用：降次、化分式方程为

3、整式方程、化繁为简。 注明：此方法略难，重点生可以研究普通生有兴趣的研究3三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有*点联系进展换元。如求函数y的值域时，易发现*0,1，设*sin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量*、y适合条件*yrr0时，则可作三角代换*rcos、yrsin化为三角问题。例题：求函数y34的值域解：由解得2*2，所以函数的定义域为2,2因为()2()24，故可设(0，)则y32sin 42cos 6sin 8cos 10sin ()(因为，所以.所以当0时

4、，函数取得最小值10sin()108；当时，函数取得最大值10sin()10cos 106.综上，函数的值域为8,6例题：设点P(*,y)在椭圆上，求的最值 4局部换元 。局部换元又称整体换元，是在或者未知中，*个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例题：函数f(*)4*2*tt1在区间(0，)上的图像恒在*轴上方，则实数t的取值围是()A(22，)B(，22)C(0,22) D(22，8)选B令m2*(m1)，则问题转化为函数f(m)m2mtt1在区间(1，)上的图象恒在*轴的上方，即t24(t1)0或解得t0恒成立，求k的围。【解】 设cos，s

5、in，即： 代入不等式得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0平面区域【另解】 数形结合法：在平面直角坐标系，不等式a*byc0 (a0)所表示的区域为直线a*byc0所分平面成两局部中含*轴正方向的一局部。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上*yk0的区域。即当直线*yk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k0，求f(*)2a(sin*cos*)sin*cos*2a的最大值和最小值。【解】 设sin*cos*t，则t-,，sin*cos* y , , * f(*)g(t)(

6、t2a) a0， t-,t-时，取最小值：2a2a当2a时，t，取最大值：2a2a ；当02a时，t2a，取最大值： 。【注】 局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况。6. 实数*、y满足4*5*y4y5 式 ，设S*y，求的值。93年全国高中数学联赛题【分析】 由S*y联想到cossin1,于是进展三角换元，设代入式求S和S的值。【解】设代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界

7、法。【另解】 由S*y，设*t，yt，t， 则*y代入式得：4S5=5， 移项平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S【注】 此题第一种解法属于“三角换元法，主要是利用条件S*y与三角公式cossin1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法，主要是由等式S*y而按照均值换元的思路，设*t、yt，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、别离参数法。和“均值换元法类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量*、y时，可以设*ab，yab，这称为“和差换元法，换

8、元后有可能简化代数式。此题设*ab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。1.*4y4*，则*y的围是_2.ysin*cos*-sin*-cos*的最大值是_。3.数列满足：求证：数列为等差数列；4.实数m在什么围取值，对任意实数*，不等式sin*2mcos*4m11，即a2时，函数y2(a2a2)在1,1上单调递增，所以由yma*1aa2，得a.(3)当1，即a2时，函数y2(a2a2)在1,1上单调递减，所以由yma*1aa2，得a2(舍去)综上，可得a2或a.6.分解因式：解：原式取“均值，设原式7.ABC的三个角A、B、C满足：

9、AC2B，求cos的值。96年全国理【分析】 由“AC2B和“三角形角和等于180的性质，可得 ；由“AC120进展均值换元，则设 ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中AC2B，可得 ,由AC120，设，代入等式得：2,解得：cos， 即：cos。【另解】由AC2B，得AC120，B60。所以2，设m，m ，所以cosA，cosC，两式分别相加、相减得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。【注】 此题两种解法由“AC120、“2分别进展均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进展运算，除由想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假设未想到进展均值换元，也可由三角运算直接解出：由AC2B，得AC120，B60。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和积互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos1