福建师范大学21春《近世代数》在线作业二满分答案67

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1、福建师范大学21春近世代数在线作业二满分答案1. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%写出X的分布，并求X2500.12(即X30)的概率设各客户是否提出索赔相互独立按题意知Xb(250，0.10)现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 2. 某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a=00

2、1的显著性水平下，抽取样本10个，测得样本标准差为s=0246，检验假设： H0：2=003，H1：2003正确答案：设总体X为润滑油容器的容量则XN(2)02=003n=10a=001s=0246用2的检验法检验H0=2=02=003H1：202拒绝域为W=2a222(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=235890.9952(9)=1735计算2值由于1735181523589故接受H0即2=003设总体X为润滑油容器的容量,则XN(,2),02=003,n=10,a=001,s=0246用2的检验法,检验H0=2=02=003,H1：202,拒绝域为W=2a22,

3、2(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=23589,0.9952(9)=1735计算2值由于1735181523589,故接受H0,即2=0033. 热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一定是确定的。正确答案：状态函数、状态函数、状态状态函数、状态函数、状态4. 某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下： A 97 102某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下：A9710210

4、396100101100B10010110398979910210198101在=0.05下，能否认为B种仪器的精度比A种仪器的精度高?一般地，物体的长度服从正态分布，但1，2未知，可以认为方差小的精度高，故待检假设为H0：，H1：，是单侧检验，计算得 F统计量 查表知F0.05(6，9)=3.37，经比较知F=1.7148F0.05(6，9)=3.37，故接受H0认为仪器B的精度不比仪器A高 5. 求直线l1：与直线l2：的公垂线方程求直线l1：与直线l2：的公垂线方程根据题意知公垂线的方向向量可取 ， l1与公垂线所确定平面1的法向量为 , 点(9，-2，0)在平面1上，故1的方程为 -1

5、6(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, 即 16x+27y+17z-90=0. 同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为 , 点(0，-7，7)在平面2上，故2的方程为 58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, 即 58x+6y+31z-175=0. 1与2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为 6. 在Re(p)在Re(p)A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0正确答案： A7. 已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元计算该项目中甲的收已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出15

6、00000元，在第2年底又投入900000元计算该项目中甲的收益率对投资一方来说，有 B0=1000000元0元，B1=1000000(1+i)-1500000元， B2=1000000(1+i)2-1500000(1+i)+900000元 =10000100i2+50i+40元0元 也就是说，对于任何利率i，投资者甲的最终结果(在第2年底)都是亏损例如：当i=0.1时，甲在第1年底提出1500000元，提款之后的余额为1000000(1+0.1)-1500000元=-400000元，那么，在第2年底，以利率i=0.1计算得投资者最多可以借出400000(1+0.1)元=440000元9000

7、00元换个角度看，在这个项目中，无论考虑什么样的年利率，都不能刻画该项目的亏损情况 8. 设随机变量X()当m为何值时，概率PXm取得最大值?设随机变量X()当m为何值时，概率PXm取得最大值?9. 对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根法D、反证法正确答案： C10. 设z=x2y，在点(1，2)处，当x=0.1，y=0.2时，求z和dz设z=x2y，在点(1，2)处，当x=0.1，y=0.2时，求z和dzz=0.662，d

8、z=0.611. 求下列函数的，及 (3)z=cos2(2x+3y)； (4)z=arcsin(xy)求下列函数的，及(3)z=cos2(2x+3y)；(4)z=arcsin(xy)(3) =-4sin(2x+3y)cos(2x+3y)=-2sin(4x+6y) ， (4)， ， 事实上，根据函数表达式中自变量x，y的对称地位(即x，y互换，表达式不变)，只要在，的表达式中将x，y互换就可以分别得到，的表达式 12. 函数设f(x1)x22x5，则f(x)_设f(x1)x22x5，则f(x)_正确答案：f(x)x26f(x)x2613. 证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算证明：同余类的乘法

9、是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算14. 直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和 (1) (2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和(1)(2)(3)(4),m1(5)，a,bR+(1)因为，所以 于是因此级数收敛，且其和为 (2)因为 所以 于是 因此级数收敛

10、，且其和为 (3)因为 ，所以 因为不存在，所以不存在，故级数发散 (4)因为 而m1，所以，于是因此级数收敛，且其和为m (5)因为，所以和均收敛，且 ， 根据收敛级数的性质得知收敛，且其和为 15. 方程y-4y&39;+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y&39;=_；方程y-4y+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y=_；xe2x(Ccosx+Dsinx)16. 设设方程x=yy确定y是x的函数，则dy=_设方程x=yy确定y是x的函数，则dy=_正确答案：方程x=yy两边取对数得lnx=lny，由此两边再求微分，即得不难解出17. 已知下列非齐次线性方程组

11、()、()： () ()已知下列非齐次线性方程组()、()：()()对方程组()的增广矩阵施行初等行变换： 由r(A)=r()=34知，方程组()有无穷多解，且原方程组()等价于方程组 (*) 令x4=1，代入方程组(*)对应的齐次方程组中，求得基础解系为=(1，1，2，1)T. 求特解：令x4=0，得 x1=-2，x2=-4，x3=-5. 故所求通解为 x=k(1,1,2,1)T+(-2,-4, 5,0)T$由1的结论可知，方程组()的通解为 x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k， 分别将上述解代入方程组()，得 整理可得 由于方程组()的通解中的k可取任意常数，故 m

12、-2=0, n-4=0, t=6, 即 m=2, n=4, t=6 18. 试对九章算术思想方法的一个特点算法化的内容加以说明。试对九章算术思想方法的一个特点算法化的内容加以说明。参考答案九章算术在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出术，作为一类问题的共同解法;以后遇到同类问题，只要按术给出的程序去做就一定能求出问题的答案;书中的术其实就是算法。19. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A

13、)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 20. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证

14、明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而 N=BT=(cost，sint，0)。故N与z轴垂直 即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为=()=r(t)+N(t)=(acost，asint，bt)+(cost，sint，0)。显然z轴上的点(0，0，bt)=(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为(-a)。 21. 如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一个元如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一

15、个元素的逆元素是唯一的，并给予证明“*”运算要是可结合的设aA，有左逆元a-1和右逆元a-1，则 al-1=al-1*e=al-1*(a*(ar-1)=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1 即有左、右逆元相等：al-1=ar-1 假设a有两个逆元al-1，ar-1，则： a1-1=a1-1*e=a1-1*(a*a2-1)=(a1-1*a)*2-1=e*a2-1=a2-1， 即a的逆元唯一 22. 某纺织厂生产的细纱支数的均方差为1.2，现从当日生产的一批产品中，随机抽了16缕进行支数测量，求得样本均方差某纺织厂生产的细纱支数的均方差为1.2，现从当日生产的一批产品中，随机抽了16

16、缕进行支数测量，求得样本均方差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否变劣(=0.05)?23. 一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘上恰有一个黑方格禁止放子，那么该棋盘有一个用多米诺牌的完美覆盖。设禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分别就i与j的不同奇偶性情况进行讨论。 (1)i与j同为偶数或同为奇数。此时，将棋盘划分为如图7.14所示的区域A1(为i(j-1)的区域)、区域A2(为(m-i)j的区域)、区

17、域A3(为(i-1)(n-j+1)的区域)、区域A4(为(m-i+1)(n-j)的区域)以及禁止放子的黑方格(图中阴影部分)。由于A1，A2，A3与A4无论i与j同为偶数还是同为奇数，总有偶数边长，故可知，它们都有完美覆盖。 (2)i与j为一奇一偶。此时，如果不要求白格与黑格的位置，则不一定存在完美覆盖，如在图7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要求棋盘行和列之间都是黑白格相间，则i与j的一奇一偶情况不会出现。事实上，不妨设i为奇，j为偶。由于黑格比白格多一个，故第1行上第1个格是黑格。则第i行第1个格是黑格，从而第i行上只有偶数列上方格是白格。 24. 设随机变量X的分布函数为，

18、求X的概率密度f(x)的最大值设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值当x0时，f(x)=xe-x，最大值f(1)=e-125. 设f(x)=|x(1x)|，则( ) Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点 Bx=0不是f(x)的极值点，但(设f(x)=|x(1-x)|，则()Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点Bx=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点Cx=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点Dx=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点C26. 设函

19、数f(x)在-2，2上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0试证曲线弧C：y=f(x)(-2x2)上至少有一点处的切线平行设函数f(x)在-2，2上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0试证曲线弧C：y=f(x)(-2x2)上至少有一点处的切线平行于直线x-2y+1=0证 直线x-2y+1=0的斜率为，要证至少存在一点(-2,2)，使. 设 ，(x)在0，2上连续，(0)=2，(2)=-1，由介值定理知至少存在一点(0，2)使()=1，又(-2)=1，(x)在-2，上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使()=0，即 27. 判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序

20、选择审敛法？判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？一般而言，经过一定的训练以后，往往根据所给正项级数的特点，大致可以确定使用何种审敛法来判定级数的收敛性，但这对初学者来说，有时可能感到困难，这时可按下面的程序进行考虑： (1)检查一般项，若，可判定级数发散否则进入(2). (2)用比值审敛法(或根值审敛法)判定倘若或极限不存在，则进入(3). (3)用比较审敛法或极限形式的比较审敛法若无法找到适用的参照级数，则进入(4). (4)检查正项级数的部分Sn和是否有界或判别Sn是否有极限 28. 写出下列线性规划问题的对偶问题： max f=-17x2+83x4-8x5， s.t

21、.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6107, 3x3-18x4+30写出下列线性规划问题的对偶问题：max f=-17x2+83x4-8x5，s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6107,3x3-18x4+30x781，4x1-5x3+x6=-13,-10x1-2,-3x217,x316,x40,x5无符号限制，x60，x70按规则写出对偶问题后稍加简化可得 max st (i=2,4,5,6,7,8) 29. 设f(x)的导数在x=a处连续，且，则_ (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (C)(a，f(a)是设f(x)的导数在x=a处连

22、续，且，则_(A)x=a是f(x)的极小值点(B)x=a是f(x)的极大值点(C)(a，f(a)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点B由知， 又因为f(x)在x=a处连续，则有 f(a)=f(x)=0，x=a为驻点 又 由极值的第二充分条件知，f(x)在x=a处取得极大值 故应选(B) 30. 从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?正确答案：矩阵和行列式是两个完全不同的概念。矩阵是由mn个元素排成的一张表,它的行数和列数不一定相等；而行列式是

23、一个特定的算式,其结果为一个数,它的行数和列数必须相等。对于方阵,相应的有与之对应的行列式。方阵行列式的引入,在矩阵与行列式之间建立起了一定的联系,从而可以利用行列式来研究矩阵,如利用|A|0可以判断方阵A的可逆等。31. 有效数字越多，相对误差越_有效数字越多，相对误差越_小32. 求一个等边三角形的边置换群和顶点置换群。求一个等边三角形的边置换群和顶点置换群。如图8.3所示，将等边三角形的边与顶点分别标记。则三角形分别有绕中心旋转0，120，240的三个对称0，1，2，以及每个顶点与对边中心连线为轴的翻转对称：1与c中点连线的翻转1；2与a中点连线的翻转2；3与b中点连线的翻转3，关于顶点

24、的置换为 关于顶点置换群Gc=0，1，2，1，2，3，关于边的置换为 关于边置换群为 33. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是_。两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是_。参考答案：一条二次曲线34. 给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解给定微分方程组，其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解不稳定取定正，有V=-(x2+y2)f(x，y)当f0时V定负，零解渐近稳定，而f0时V定正，零解不稳定35. 总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x

25、11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为( )总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为()或36. 函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足( ) AA0，B任意 BA0，B0 CA0，B任意 DA0，B=0函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足()AA0，B任意BA0，B0CA0，B任意DA0，B=0C37. 设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处( )。A、必须取得极大值B、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，

26、F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处( )。A、必须取得极大值B、必须取得极小值C、不取极值D、不能确定正确答案： D38. 求方程(x2y2y)dx(2x3yx)dy=0的通解求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解 故得解 x2y2+y=cx 39. 如果一个n(n1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?如果一个n(n1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?正确答案：一定。根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下

27、的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数。一定。根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定为偶数。40. 求曲面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角求曲面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角正确答案：解设曲面M的参数表示为x(xy)=(xyaxy)则xx=(10ay) xy=(01ax)E=xx.xx=1+a2y2 G=xy.xy=1+

28、a2x2F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xy dxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为(01)y=y0的方向(10)则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为rn故rn解设曲面M的参数表示为x(x,y)=(x,y,axy),则xx=(1,0,ay),xy=(0,1,ax),E=xx.xx=1+a2y2,G=xy.xy=1+a2x2,F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xydxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为

29、(0,1),y=y0的方向(1,0),则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为故41. 某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半)，并设每年每单位的药品库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多。问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小(不考虑生产能力)?设药厂分x批进行生产该药品，则批量为，生产准备费与库存费之和为 令y=0，得 当时，y达到最小。 即当批量为时，准备

30、费与库存费之和为最小。 42. 设y=exlnx，求y&39;。设y=exlnx，求y。y=(ex)lnx+ex(lnx) 43. 设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则( )为某随机变量的概率密 度 (a) f(x)g(x) (b) (c) 3f(x)+2g设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则()为某随机变量的概率密 度(a) f(x)g(x)(b)(c) 3f(x)+2g(x)(d) 2f(x)+g(x)-2B44. 甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为： 甲：15.0，1甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产

31、生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高(=0.05)?45. 设ak0(k=2，3，n)，计算n阶行列式设ak0(k=2，3，n)，计算n阶行列式解法1 把Dn的第1行分别乘以(-2)，(-3)，(-n)加到第2行，第3行，第n行，得 因为ak0(k=2,3，n)，第2行乘以，第3行乘以，第n行乘以，都加到第1行，得 解法2 由Dn的第1列把原

32、行列式拆成两个行列式之和，得 在第1个行列式中，用(-1)乘第1列分别加到第2，3，n列；在第2个行列式中，用(-1)乘第n列分别加到第2，3，n-1列，得 因为 an0(k=2，3，n)，用；，分别去乘第2，3，n-1行加到第n行得 分析 这个行列式的主对角线上的元素分别是1+a1，2+a2，n+an，而其余的元素第1行的元素都是1，第2行的元素都是2，第n行的元素都是n根据这个特点可以把Dn化成多元素为零的行列式，或把Dn按第1列拆成两个行列式的和以后再简化计算. 46. 设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试说明关系R不是传递关系。设A=a1，a2，a3，

33、a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵试说明关系R不是传递关系。由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)R和(a2，a4)R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此说明R不是传递关系。47. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足()A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升A48. 在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0

34、?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?y=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2； 曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率 直线y-12x-1=0的斜率k1=12 今3x2=12x2=4x=2 在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于 直线y-12x-1=0 直线y+12x-1=0的斜率k2=-12 令 在曲线y=x3上点和点处的法线平行于 直线y+12x-1=0 49. 设函数f(x)在点xa处可导，则函数f(x)在点xa处不可导的允分条件是Af(a)0且f(a)0Bf(a)0设函数f(x)在点xa处可导，则函数f(x)在点xa处不可导的允分条件是Af(

35、a)0且f(a)0Bf(a)0且f(a)0Cf(a)0且f(a)0Df(a)0且f(a)0正确答案：B50. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记x1，xn与y1，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 51. 设G=(V，E)为无向简单图，|V|=n，(G)为图G中结点的最大次数，请指出下面4个中

36、哪个不等式是正确的 (1)(G)n；设G=(V，E)为无向简单图，|V|=n，(G)为图G中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的(1)(G)n；(2)(G)n；(3)(G)n；(4)(G)n(1)是正确的，即此时图中结点的最大次数小于结点的个数52. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数

37、b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 53. 设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值。设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值。由知，其中 则 f(x，y) =xy+(x2+y2)2+(x，y)(x2+y2)2， 在f(x，y)=xy+(x2+y2)2+(x，y)(x2+y2)2中令y=x得f(x，x)=x2+4x4+4x4(x，y)=x2+o(x2)， 令y=-x得f(x，-x)=-x2+4x4

38、+4x4(x，-x)=-x2+o(x2) 由以上两式可知f(x，y)在(0，0)点的任何去心邻域内始终可正可负，而f(0，0)=0，由极值的定义知(0，0)点不是f(x，y)的极值点。 54. 对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t(i=1,2，m), xj0(j=1，2，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：(1)maxs.t(i=1,2，m),xj0(j=1，2，n)；(2)maxst(i=1，2，m)，xj0(j=1,2，n)，xsi0(j=1,2，m)；(3)st(i=1，2，m)，xj0(j=1,2，n)，xsi,xai

39、0(i=1,2，m)，其中M表示充分大的正数它们的对偶问题都是 min s.t(j=1,2，n), u10(i=1，2，m) 注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的 55. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：5

40、6. 求下列微分方程边值问题的格林函数：求下列微分方程边值问题的格林函数：先求边值问题y=0，y(0)=1，y(1)=2的解方程有基解组y1=1，y2=x通解为y=c1+c2x代入边值条件有解y=1+2x设边值问题y=f(x)，y(0)=0，y(1)=0的格林函数为 由齐次方程边值条件得a1(t)=0，b2(t)=0 利用结果，有 解得b1(t)=-t，a2(t)=-1 即格林函数为 解为最后，原非齐次边值问题的解为 $齐次方程的两个线性无关解为，y2=1，令其格林函数为 利用p0(x)=x2有 由边值条件y(1)=y(1)得b1(t)+b2(t)=-b1(t)又由当x0时y(x)有界条件知，

41、应取a1(t)=0 于是有b1(t)=-1，b2(t)=1+，格林函数为 $齐次方程是欧拉方程，可令y=xK，代入得K(K-1)+2K=K(K+1)=0，有通解y=c1+c2x-1用常数变易法，令y=c1(x)+c2(x)x-1，则y=c1+c2x-1-c2x-2，设c1+c2x-1=0，于是y=-c2x-2，y=-c2x-2+2c2x-3将其代入方程得 x2y+2xy=-c2+2c2x-1-2c2x-1=-c2=f(x)， 而由c1+c2x-1=0又有c1=-c2x-1=x-1f(x)，最后得非齐次方程的特解其通解为利用边值条件有c2=-c1=于是有可定义格林函数 边值问题的解为 ，(1x3

42、) 57. 一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16，一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16， C22Q222Q24 而价格函数为 P746Q，QQ1Q2 厂商追求最大利润试确定每个工厂的产出正确答案：厂商的收益函数为 RPQ74Q6Q274(Q1Q2)6(Q1Q2)2rn 利润函数为 LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210rn 由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为Q12Q23时厂商的利润最大厂商的收益函数为RPQ74Q6Q274(Q1Q2

43、)6(Q1Q2)2利润函数为LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为Q12,Q23时,厂商的利润最大58. 若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；错误例如，可 见|f(x)|在点x=0处可导，而f(x)在点x=0处不可导 59. 在数域F上x23x2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0在数域F上x2-3x+2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： B60. 椭球面围成的几何体的体积是_。椭球面围成的几何体的体积是_。32