球的切接问题专题

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1、 专题：球的切接问题 一知识点 1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图1，截面图为正方形的内切圆，得；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。图1图2图3图44.正四面体的外接球和内切球 如图4所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为正四面体的表面积小结:正四面体内切球半径是高的，外接球

2、半径是高的5.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。 设长方体的棱长分别为a，b，c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？2R 联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图 a （4） 结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径二、题型与方法归类例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_本题主要考查简单的组合体和球的表面积画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R，则该球的表面积为S4R227.故填27 (2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积R，V球R3()3.变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个

3、球的表面积()A16B20 C24 D322已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于()A2 B. C. D.3. 半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_，体积为_例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点，OA、OB、OC两两垂直，且OA1,OB2,OC3，求球的体积与表面积。球 的表面积S=变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AC=，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为A. B. C. D. 例3.已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 球体积为. 高考题演练1.一个四面

4、体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3 B4 C D62.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（ ）A4a2 B 5a2 C8a2 D10a23.长方体三条棱长分别是AA=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C的最短矩离是（ ）A5 B7 C D 4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P

5、DCE三棱锥的外接球的体积为（）A B C D 6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥OABCD的体积为 7.一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3，则正方体的棱长 8.一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为 9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 答案：1.解答： 由于正

6、四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：所以球的表面积为：4R2=32.解答： 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，底面对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的半径为：=所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4r2=5a23.解答：从A点出发，沿长方体的表面到C有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是 ，5，比较三条路径的长度，得到最短的距离是54. D5. 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为6

7、.解答： 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥OABCD的体积为：=8故答案为：87.解答： 球的表面积为3，球的半径为正方体的顶点都在一个球面上，正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则 a=18.解答： 设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，来源:学+科+网依题意知 R2=a2，即R2=a2，S球=4R2=4a2=故答案为：9.解答： 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=5010.解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，圆的半径为：4，球面恰好接触水面时测得水深为6cm，d=86=2，球的半径为：R=，R=5球的体积为 （5）3=cm3故答案为