精算学-趸缴纯保费(2)

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1、第四章第四章人寿保险趸缴纯保费的厘定人寿保险趸缴纯保费的厘定 第三节第三节死亡即刻赔付死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定死亡即刻赔付死亡即刻赔付n死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付的含义n死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生内发生保险责任范围内的死亡保险责任范围内的死亡 ，保险公司将，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。理赔方式。n由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意

2、时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。于被保险人签约时的剩余寿命。利息强度利息强度回顾回顾: 利息力与利率的关系利息力与利率的关系回顾回顾: 死亡效力死亡效力n定义：定义： 的瞬时死亡率，简记的瞬时死亡率，简记n死亡效力与生存函数的关系死亡效力与生存函数的关系( )xx( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x 0( )expexpxsx ttxsxs xdspds回顾回顾: 死亡效力与剩余寿命死亡效力与剩余寿命n死亡效力与密度函

3、数的关系死亡效力与密度函数的关系n死亡效力表示死亡效力表示剩余寿命的密度函数剩余寿命的密度函数0( )( )expxxxsf xs xds( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx ts xs xtG tps xs xtdds xs xtg tG tpdtdts xs x ( )g t即即剩余寿剩余寿命的分布命的分布函数函数tqx基本符号基本符号n 投保年龄投保年龄 的人。的人。n 人的极限年龄人的极限年龄n 保险金给付函数。保险金给付函数。n 贴现函数。贴现函数。n 保险给付金在保单生效时的现保险给付金在保单生效时的现时值时值)(xxtbtvtztttvb

4、z1、n年定期寿险年定期寿险n定义定义n保险人只对被保险人在投保后的保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年年死亡保险。死亡保险。n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元元n年定期寿险年定期寿险n基本函数关系基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n厘定：厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(现值随机变量的方差现值随机变

5、量的方差n方差公式方差公式n记记（相当于利息力翻倍以后求（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）年期寿险的趸缴保费）n所以方差等价为所以方差等价为 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例4.3.1n设n计算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）例4.3.1答案055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1

6、001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、终身寿险、终身寿险n定义定义n保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元终身寿险元终身寿险n基本函数关系基本函数关系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n厘定：厘定：xA000( )(

7、)xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt现值随机变量的方差现值随机变量的方差 n方差公式方差公式n记记n所以方差等价为所以方差等价为 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例例4.3.2n设设(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险，保险金额为1元元n保险金在死亡即刻赔付保险金在死亡即刻赔付n签单时，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为n计算计算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr(

8、)0.9.xtAVar zz（）的例例4.3.2答案答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例例4.3.2答案答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve3、延期终身寿险、延期终身寿险n定义定义n保险人对被保险人在投保保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金

9、的险种。任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元，延期元，延期m年的终身寿险年的终身寿险n基本函数关系基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzb vtmbtmtm死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n厘定：厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA现值随机变量的方差现值随机变量的方差 n方差公式方差公式n记记n所以方差等价于所以方差等价于2222( )()( )( )( )ttttTtm

10、Var zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例例4.3.3n假设（假设（x）投保延期投保延期10年的终身寿险，年的终身寿险，保额保额1元。元。n保险金在死亡即刻赔付。保险金在死亡即刻赔付。n已知已知n求：求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA例例4.3.3答案答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxm

11、txxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 4、n 年定期生存保险年定期生存保险n定义定义n被保险人投保后生存至被保险人投保后生存至n年期满时，保险人年期满时，保险人在第在第n年末支付保险金的保险。年末支付保险金的保险。n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元，元，n年定期生存保险年定期生存保险n基本函数关系基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n趸缴纯保费厘定趸缴纯保费厘定n现值随机变量的方差：现值随机变量的方差：1: x nA1:( )nnx nt

12、nxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA5、n年定期两全保险年定期两全保险n定义定义n被保险人投保后如果在被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保年期满，保险人在第险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险年生存保险加上加上n年定期寿险的组合。年定期寿险的组合。n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元，元，n年定期两全保险年定期两全保险n基本函数关系基本函

13、数关系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzb vvtnvtnbt趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n厘定厘定记：记：n年定期寿险现值随机变量为年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为年定期两全险现值随机变量为 已知已知则则: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnx nE zE zE zAAA现值随机变量方差现值随机变量方差因为因为所以所以31212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z z

14、Var zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA2222例例4.3.4（例（例4.3.1续）续）n设设n计算计算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）例例4.3.4答案答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zv

15、pAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：26、延期延期m年年n年定期两全保险年定期两全保险n定义定义n被保险人在投保后的前被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期年开始为期n年的定期两全保险年的定期两全保险n假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1元，延期元，延期m年的年的n年定期两全保险年定期两全保险n基本函数关系基本函数关系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttmnttttmntvtmntmvvtmnzb vvtmntmvtmnbtm趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定n符号：符号：n厘定厘定:mx nA1:11:mx

16、nx mxm nmx nmx nAAAAA现值随机变量的方差现值随机变量的方差n记：记： m年延期年延期n年定期寿险现值随机变量为年定期寿险现值随机变量为 m年延期年延期n年定期生存险现值随机变量为年定期生存险现值随机变量为 m年延期年延期n年定期两全险现值随机变量为年定期两全险现值随机变量为 已知已知则则1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA27、递增终身寿险、递增终身寿险n定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性

17、递增函数函数n特别：特别：n一年递增一次一年递增一次n一年递增一年递增m次次n一年递增无穷次（连续递增）一年递增无穷次（连续递增）n保险利益：保险利益：n如被保险人在第一保单年度内死亡，如被保险人在第一保单年度内死亡，则在死亡时立即给付保险金则在死亡时立即给付保险金1元，元， n如被保险人在第二保单年度内死亡，如被保险人在第二保单年度内死亡，则在死亡时立即给付保险金则在死亡时立即给付保险金2元，元，n。 一年递增一次一年递增一次一年递增一次一年递增一次n现值随机变量现值随机变量n趸缴保费厘定趸缴保费厘定1ttztv011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpd

18、t n将每一个保单年度分为均等的将每一个保单年度分为均等的m个时间段，个时间段，n如被保险人在第一保单年度的第一个如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死年内死亡，则在死亡时立即给付保险金亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元，元， n如被保险人在第一保单年度的第二个如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死年内死亡，则在死亡时立即给付保险金亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元，元， n。 n如被保险人在第二保单年度的第一个如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死年内死亡，则在死亡时立即给付保险金亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元，元，n如被保险人在第二保单年度的第二个如被保险人

19、在第二保单年度的第二个1/m年内死年内死亡，则在死亡时立即给付保险金亡，则在死亡时立即给付保险金1+2/m元，元，n。 一年递增一年递增m次次一年递增一年递增m次次n现值随机变量现值随机变量n趸缴保费厘定趸缴保费厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm一年递增无穷次（连续递增）一年递增无穷次（连续递增）n现值随机变量现值随机变量n趸缴保费厘定趸缴保费厘定ttztv0()( )txttxx tIAE ztvpdtn如被保险人在时刻如被保险人在时刻T时死亡，则在死亡时立时死亡，则在死亡时立即给付保

20、险金即给付保险金T元元8、递减定期寿险、递减定期寿险n定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数减函数n特别：特别：n一年递减一次一年递减一次n一年递减一年递减m次次n一年递减无穷次（连续递减）一年递减无穷次（连续递减）一年递减一次一年递减一次n现值随机变量现值随机变量n趸缴保费厘定趸缴保费厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt一年递减一年递减m次次n现值随机变量现值随机变量n

21、趸缴保费厘定趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年递减无穷次（连续递减）一年递减无穷次（连续递减）n现值随机变量现值随机变量n趸缴保费厘定趸缴保费厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定）（剩余寿命在分数时期均匀分布假定） n以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿

22、命加死亡之年分数生存寿命：剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：n则有则有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系之间的关系(UDD)n在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。倍。条件条件1：条件条件2： 只依赖于剩余寿命的整数部分，即只依赖于剩余寿命的整数部分，即 i,lnttv

23、vv tb*1tKbb例例4.3.6n（x）岁的人投保岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为年期的两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡即刻给付，按附录万元，保险金死亡即刻给付，按附录2示例生命示例生命表计算表计算n（1）20岁的人按实质利率为岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。计算的趸缴纯保费。n（2）60岁的人按实质利率为岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。计算的趸缴纯保费。n（3）20岁的人按实质利率为岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。计算的趸缴纯保费。n（4）60岁的人按实质利率为岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。计算的趸缴纯保费。例4.3.6答案9404.

24、591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例4.3.7n对（对（50）岁的男性第一年死亡即

25、刻给付）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付元，第二年死亡即刻给付4000元，元，以此按年递减以此按年递减5年期人寿保险，根据附录年期人寿保险，根据附录2生命表，以及死亡均匀分布假定，按年生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率实质利率6%计算趸缴纯保费。计算趸缴纯保费。例4.3.7答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第四节第四节递归方程式递归方程式离散型终身寿险的趸缴保费的递推公式离散型终身

26、寿险的趸缴保费的递推公式11110111011101|011xxxxxxxkxxkkkxxkxxkkxkxkxxkkkxkxxkkkxkkkxAvpvqASoAvpvqqpvvpvqqppvvvqqpvvqqpvqvA趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式n公式一：公式一：n( (x)x)以趸缴纯保费以趸缴纯保费A Ax x元购买离散型单位金额终身寿元购买离散型单位金额终身寿险险, ,所得到保险利益是所得到保险利益是, ,如被保险人在第一个保单年如被保险人在第一个保单年度内死亡度内死亡, ,则在该保单年度末时给付保险金则在该保单年度末时给付保险金1 1元元. .n如在第一年末仍生存如在第一年末仍

27、生存, ,则保险人在此时以金额则保险人在此时以金额A Ax+1x+1元元为被保险人购买一张为被保险人购买一张1元的终身寿险保单元的终身寿险保单, ,作为对该作为对该保险人在保险人在x+1x+1岁时的岁时的”生存给付生存给付”. . 1xxxxAvpvqA趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式n公式一：公式一：n理解理解:(x)(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于值等于( (x)x)在第一年死亡的情况下在第一年死亡的情况下1单位的赔付单位的赔付额额, ,或生存满一年的情况下净趸缴保费或生存满一年的情况下净趸缴保费 。 1xxxxAvpvqA1xAn若在公式一

28、中用若在公式一中用(1-qx)代替代替px, 并两边乘并两边乘以以(1+i)lx, 则可得如下公式二则可得如下公式二.趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式n公式二：公式二：n解释：解释：n 个个x x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的险人提供额外的 。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xAn若公式二两边除以若公式二两边除以lx, 则可得如下公式

29、三则可得如下公式三:趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式n公式三：公式三：n解释：解释：n年龄为年龄为x x的被保险人在活到的被保险人在活到x+1x+1岁时的净趸缴岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。的一年利息减去提供一年的保险成本。 1(1)xxxxxAAiAqAn若公式二两边乘以若公式二两边乘以vx+1/lx, 然后两边求然后两边求和和, 则可得如下公式四则可得如下公式四:趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式n公式四：公式四：n解释解释n( (y)y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保的趸缴纯保费等于其未

30、来所有年份的保险成本的现时值之和。险成本的现时值之和。 )1 (11xyxxyxyAqvA第五节第五节: 常用转换函数常用转换函数n转换函数引进的目的：简化计算转换函数引进的目的：简化计算n常用转换函数：常用转换函数：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC用转换函数表示常见险种的趸缴纯保费用转换函数表示常见险种的趸缴纯保费1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nx

31、RRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 例例4.8n考虑第考虑第1年死亡即刻赔付年死亡即刻赔付10000，第，第2年年死亡即刻赔付死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人元并以此类推递减人寿保险。按附录寿保险。按附录2生命表及生命表及i=0.06计算计算（30）的人趸缴纯保费。）的人趸缴纯保费。n（1）保障期至第）保障期至第10年底年底n（2）保障期至第）保障期至第5年底年底例例4.8答案答案49.80)(1006.1ln06.01000)(1ln1000)(1000130413130110:30110:30DRRMDAiiAD）（69.58)(51006. 1ln06. 01000)(51ln1000)(510002303631353015 :3015 :3015 :3015 :30DRRMMDAAiiADA）（