基本流动方程

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1、基本流动方程本项目研究需要计算进气道内外流耦合的复杂三维粘性流动，采用的流场控制方程为三维的Navier-Stokes方程组，它是连续方程、动量方程、能量方程的联立方程组。本章给出了积分形式和微分形式的N-S方程组，以及在有限体积法离散中需使用的坐标转换后N-S方程组，另外还给出了湍流计算使用的平均化后的湍流N-S方程。1 积分形式N-S方程组在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的积分形式N-S方程组可写为如下的矢量形式：质量守恒方程 （2-1）动量守恒方程 （2-2）能量守恒方程 （2-3）这是一个关于时间的双曲型方程组，其中E代表总比能（内能和动能之和）；为能量流矢量（energy fl

2、ux vector），这里假定能量流矢量仅仅表达分子能量的运输，它可以用Fourier定律来描述，即 （2-4）K为热传导系数，根据Prandtl数：为常数，及Sutherland公式：来确定，其中和 是与流体有关的常数，详见表2-1。 对于理想气体，总比能可表述为下述张量缩并的形式：并且总焓为：这里代表内能，为总焓，为比热比。方程（2-2）中是粘性应力张量（viscous stress tensor），对于牛顿流体，假定应力张量随着变形率张量连续变化（Stokes假设） （2-5）变形率张量表为 为粘性系数，层流的粘性系数与压力的关系可以忽略不计，于是可采用Sutherland公式 ，其中和

3、 是与流体有关的常数，详见表2-1。表2-1 气体的粘性系数和热传导系数气体种类 （NS/） （K） （W/mK） （K）R （J/K）空气1.45870010-6110.5552.501083010-3194.4287.07氮气N21.39931210-6106.6672.361105410-3166.7296.80氧气O21.75172010-6138.8892.695479510-3222.2259.902 微分形式N-S方程组在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的微分形式N-S方程组可以按守恒型变量写为如下的矢量形式： （2-6）其中，u是守恒变量，f、g、h 是对流通量，a、b、c

4、 粘性通量，它们的表达式为： （2-7）粘性通量中，应力和热流量的表达式为： （2-8）上述公式中，t是时间，x， y， z是空间坐标，是密度，是三个坐标方向的速度分量，E 是单位质量气体的总能，p是压强，T是温度，为粘性系数，K为热传导系数。对于量热完全气体，可给出下述形式的气体状态方程： （2-9）3 方程坐标变换N-S方程组可以从笛卡尔坐标系转换到任意曲线坐标系下，其中 （2-10）这里介绍的坐标变换是由Viviand1和Vinokur2发展的，变换的选取是如此进行，以便使曲线空间网格间隔是均匀的，且为单位长度。这将导致计算域、 和为矩形域且为均匀的规则网格。所以在数值计算式中标准的非加

5、权差分格式可以应用。原笛卡尔空间将被称为物理域，在物理域的点与计算域中的点将形成一一对应的关系（奇异点例外）。在奇异点区域，通常是一个物理点对应许多个计算点（这通常出现在计算边界上）。按式（2-10）进行变换，对于某变量，有： 令上式的变换矩阵为J，则其行列式称为雅可比行列式，记作： 则有 变换后得守恒型N-S方程： （2-11）其中： 记 其中： 取： 上述方程中矩阵系数含有，及J等参数。在采用有限体积法离散时，变换后的各个等、面将计算区域划分为许多六面体（ 或四边形 ）的单元，即计算网格。变换行列式J 就是坐标变换后网格单元的体积伸缩比，即：如设=1、=1、=1，则1/J 就是网格单元的体

6、积。令， 并将，等换为网格分界面面积矢量（方向沿界面正法向，大小为面积值）各个分量来表示：， ， ， ， ， ， 则方程（2-11）可重新记为下述形式： （2-12）其中， 其中， 其中： 可取： 4 几种形式的Euler方程众所周知在N-S方程的求解中，困难最大的是对流项的差分解法，很多研究者努力寻求的高精度高分辨率格式也是为解决对流项模拟的问题。对此所开展的研究首先都是针对只还有非定常项和对流项的Euler方程。在本文的算法研究中需要用到当地线性化的守恒型、原始变量型、特征变量型的Euler方程，因此这一节给出了这几种形式的Euler方程。4.1守恒形式的Euler方程将N-S方程（2-1

7、2）中的粘性项A、B、C去掉，就得到了无粘流动的Euler方程。通量F、G、H是守恒变量u的非线性函数，假设F、G、H在空间某点（0，0，0）的某个邻域近似线性分布，则方程（2-12）可当地线性化为： （2-13）式中，矩阵Ac、Bc、Cc是方程的雅可比系数矩阵， ， 以k表示某个坐标方向（、中的任意一个），令：， 则可以用一个形式统一的系数矩阵Kc来表示上述三个矩阵：（2-14）其中，4.2原始变量型Euler方程在算法研究中，将会用到以求解原始变量Up的方程，称为原始变量型方程。 （2-15）设有：，则方程（ 2-13 ）可写为 （2-16）将式（ 2-16 ）左乘以M即可得： （2-17

8、）若令：， ， 则得到了当地线性化的任意曲线坐标系下原始变量型Euler方程： （2-18）与Ac、Bc、Cc类似，系数Ap、Bp、Cp矩阵也可以用统一的形式Kp来表示。M、M 1及Kp的表达式为： （2-19）式中a是音速，。可以看出矩阵Kp与矩阵Kc相似，所以它们有相同的特征值。而矩阵Kp具有较多的零元素，求解它的特征值要容易得多。由式（2-19）很容易求得矩阵Kp的特征值： （2-20）这些特征值的量纲都是速度乘以，但并不影响依据特征波进行的分析，所以有时又把这些特征值都叫做特征波速。4.3特征变量型Euler方程在求得特征值之后，可以将矩阵Kp进行对角化： （2-21）导出矩阵Pk并不

9、困难，本文在推导中注意到：Kp有三个特征值是相同的，所以矩阵Pk的形式不唯一。如果采用了不恰当的形式，则在网格界面在某些特殊位置时，矩阵Pk是不可逆的，式（2-21）将不再成立，因此推导建立算法时需要特别小心，本研究给出了在任意三维情况下均适用的特征矢量矩阵Pk及其逆矩阵Pk-1（详见第三章，节）。由特征矢量矩阵可以导出特征变量形式的Euler方程。在方程（2-18）中应用式（2-21），并且对方程左乘以Pk-1，得：（2-22）在这里，k指的是、三个坐标方向中任意一个，m、n是其余两个坐标方向。合并上式中的第三、四两项，令：则，方程（2-22）可改写为：定义矢量Uch，使得：可以在网格k向，

10、得到特征变量Uch的特征变量型Euler方程： （2-23）对于一维流动，方程中第三项不存在，此时方程成为对角化形式，组成上式的各分量方程互相解耦，这对于各种数值处理来说都是非常方便的。当流动是多维时，方程第三项一般不为零，只有在满足当地一维流动条件：方程（2-23）才能成为对角化形式。守恒型方程（2-13）也能转化为特征变量型方程。因：代入式（2-21）得： （2-24）令：， 可得：。 （2-25）与原始变量方程类似，在方程（2-13）上左乘以矩阵Tk-1，并结合式（2-25）进行化简，同样能得到特征变量方程（2-23）。5 湍流平均N-S方程组在湍流的数值模拟中目前出现的方法有三类，分别

11、是：1）使用湍流模型（Turbulence Model）的平均N-S方程组；2）大尺度涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）加小涡模型；3）湍流直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS）。使用DNS计算在理论上说是最直接的算法，它求解湍流中所有时刻和空间尺度参数的变化分布，这样一个问题所需的努力将与雷诺数的三次方成正比增加。既使借助于当代的或未来的超级计算机，直接数值模拟方法仅仅可以用来求解雷诺数在104量级的流动。而工程实际中，流动的雷诺数远远大于这个量级，因此对于工程设计问题的流场分析不适合采用DNS方法。LES方法也由于同样的原因

12、，在目前还离工程应用有较大的距离。本项目研究对湍流的模拟采用的是第一类方法，即使用湍流模型的平均N-S方程组。为了导出适用于高雷诺数湍流的守恒型方程，比较通行的做法是将N-S方程中的瞬时量分解成时均量和脉动量两部分，然后进行平均。这个概念称为雷诺平均技术。湍流变量的平均还可以有几种方法来定义，即体积平均、相位平均或采样平均（参见Launder3）。对不可压缩流，一般常采用雷诺的时均值方法，但在用于可压缩湍流时，直接按时均值运算的平均湍流运动不能满足通常所用流线概念下的质量守恒原理。因为，在平均湍流运动的连续方程中，任一空间点的流体质量局部时间变化率与质量通量的散度之和不为零，多出了脉动密度与脉

13、动速度的相关项。为此，对于可压缩流和各态历经流比较适用的平均概念是质量加权的Favre平均4。Favre定义的质量加权平均量为：式中可以是方程中出现的各分速度、温度、总能、总焓等，对密度与压力仍采用原来的时均值。将这样的瞬时量的表达式代入不考虑重力和热辐射的N-S方程，并对方程取平均，就可以得到形式较为简单的平均运动基本方程。对方程（2-6）进行Favre平均后，可以用约定求和的形式简要地给出如下形式方程： （2-26）其中， ， 比较式（2-6）和（2-26）可以看出，式（2-26）所示时均化N-S方程在形式上多出了人们称为雷诺应力的项和能量方程中项。因此要对上述方程进行计算，还须补充相关方

14、程。所谓湍流模式理论就是以平均运动方程和脉动运动方程为基础，依靠理论和经验的结合，引进一系列模型假设，建立一组描写湍流平均量的封闭方程组的计算方法。而湍流模型则是这些描写湍流平均量的封闭方程组。到目前为止，已有的湍流模型仅仅能预测小部分的湍流流动。而且任何一个湍流模型不是包罗万象，它只能用于一些特定的流动。因此使用CFD软件计算湍流流动时，应根据计算流动情况选取可能应用的湍流模型。现有的湍流模型可分为两大类：1）雷诺应力模型（Reynolds Stress Model，RSM）；2）涡粘模型（Eddy Viscosity Model，EVM）。雷诺应力模型又可以分为微分雷诺应力模型和代数雷诺应

15、力模型。微分雷诺应力模型由描述各雷诺应力分量的偏微分方程构成，这些方程可以被准确地推导出来，但会有高阶关联项。为了获得封闭的方程组，必须对这些高阶关联项进行近似简化处理。在这些模型中，含有湍能耗散率。因此也必须对进行求解。雷诺应力模型的一个最大优点就是模型自动反映浮力、旋转和其他作用。Launder 5 ，Lumley6， Gibson/Rodi7和其他科学家们分别提出了有关的微分雷诺应力模型。微分雷诺应力模型中，对应各个雷诺应力项就有一个偏微分传输方程。外加湍能耗散方程。因而计算量很大（和两方程模型相比），一般工程计算中不选用微分雷诺应力模型，也正是基于这方面的考虑。本项目研究中没有也使用雷

16、诺应力模型。为了减少雷诺应力模型的计算量，Rodi89首先对雷诺应力传输方程进行了简化，提出了一个计算雷诺应力的代数关系式，即代数雷诺应力模型，该模型虽然计算量小，对一般的湍流也能获得较好的结果，但它基本上像涡粘性模式9不能用于梯度传输比较大的流动。Boussinesq10是第一个用涡粘性概念来寻求解决雷诺应力的人，他假定湍流应力象粘性应力一样作用，这就意味着湍流应力正比于速度梯度，相关比例系数称为“涡粘性”，且定义为 （2-27） 可以注意到，这个粘性是流体的运动持性，而不是流体本身的物理特性。从量纲上考虑和通过与湍能类比，涡粘性正比于长度和速度尺度的乘积。过去，提出了许多类型的涡粘模型，如

17、代数模型（又称零方程模型）、一方程模型、两方程模型等。众多实际使用效果表明，优秀的代数模型计算方便，对特殊流动模拟准确；两方程模型可以模拟种类更多、流场更复杂的湍流，但计算量大；而一方程模型计算量比代数模型大，但在附面层、自由剪切流等类问题上还不如代数模型准确，在复杂湍流的模拟中，准确性又不如两方程模型，因此应用远不如其他两者广泛。本项研究中的湍流模拟工作，采用并发展了代数模型和两方程模型的算法。为了使涡粘模型能计算均匀湍流，众多的学者将式（2-27）修改为： （2-28）式中湍能为。将式（2-28）代入式（2-26）得方程： （2-29）其中： 考虑到， ，上述能量方程可以写成：参考文献1

18、H. Viviand, Conservation Forms of Gas Dynamics Equations, La Recherche Aerospatiale, No. 1, 19742 M. Vinokur, On One Dimensional Stretching Functions for Finite Difference Calculations, NASA CR 3313, Oct. 19803 B. E. Launder, W. C. Reynolds, W. Rodi, J. Mathieu, D. Jeandel, Turbulence Models and The

19、ir Applications, Vol. 2, Editions Eyrolles, 19844 A. Favre, Statistical Equations of Turbulent Gases, SIAM Problems of Hydrodynamics and Continuum Mechanics, 19695 B. E. Launder, G. J. Reece and W. Rodi, Progress in the Development of a Reynolds Stress Turbulence Closure, J. of Fluid Mechanics,1975,

20、 68( ):537-5866 J. L. Lumley, Computational Modeling of Turbulent Flows, Adv. Appl. Mechanics, 1978,18( ):123-1767 M. M. Gibson and W. Rodi, A Reynolds Stress Closure Model of Turbulence Applied to the Calculation of Highly Curved Mixing Layers, J. of Fluid Mechanics, 1981, 103( ):161-1828 W. Rodi, A New Algebraic Relation for Calculating the Reynolds Stresses, ZAMM 1976, 56( ):T219-T2219 W. Rodi, Examples of Turbulence Models for Incompressible Flows, AIAA Journal, 1982, 20( ):872-87910 D. Boussinesq, Theorie de Lecoulement Tourbillant, Mem. Pres. Acad. Sci. 46, Paris,1977