逆矩阵的求法及逆矩阵的应用

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1、.逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进展总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。关键词：矩阵 逆矩阵 逆矩阵的求法 逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matri* and application of inverse matri*Abstract: In modern mathematics，

2、matri* is an effective tool with e*tensive application，and inverse matri* is a significant concept in matri* theory. The disduss about the way to evaluating inverse matri* and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and

3、properties of inverse matri* and disscuss the methods evaluating inverse matri*.We will also talk about the application of inverse matri*, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matri* Inverse matri* The way to evaluating inverse matri* Application of inverse matri*一：引言 在现代数学

4、中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进展探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。二：矩阵的逆的定义 对于n矩阵A，如果存在一个n矩阵B，使得AB=BA=EE为单位矩阵，则说矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵。记A的逆矩阵为A.三：可逆矩阵的性质 1、如果矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆，其逆矩阵为BA.推广：如果矩阵A1 ，A2 , An 均可逆,则矩阵A1A2An可逆，其逆阵为AnA2A1 2、如果A可逆，则可逆，且=

5、A； 3、如果A可逆，则可逆，且. 4、. 5、如果A可逆，数，则可逆，且； 6、如果矩阵A的逆存在，则该逆矩阵唯一。以上结论见文献1四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵A为n阶方阵，则A可逆的充要条件有：1、存在n阶方阵B，使得AB=I；2、对PAQ=，其中P为s矩阵，Q为nm矩阵，rA=n；3、；4、是非退化矩阵.5、A的行向量列向量组线性无关；6、A可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、A可经过一系列初等行变换列变换化成单位矩阵I；8、齐次线性方程组A*=0只有零解.以上结论见文献1 8五：逆矩阵的几种求法一定义法定义：矩阵A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=E,则称A可逆，称B为A的逆

6、矩阵，记为.求矩阵的逆矩阵.解 ： 因为0,所以存在.设,由定义知A=E,所以=.由矩阵乘法得=.由矩阵相等可解得;.故二伴随矩阵法定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且，其中，Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，即有A-1 = A*.该定理见文献1注 此方法适用于计算阶数较低矩阵一般不超过3阶的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意A* = Ajinn的元素位置以及各元素的符号。特别地，对于2阶方阵，其伴随矩阵为.对于分块矩阵，上述求伴随矩阵的规律不适用.例2：，求A-1.解: = -1 0A可逆.由得A-1 = A* = 三行(

7、列)初等变化法 设n阶矩阵A，作n2n矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A变为，则子块变为，即由A,E作初等行变换得E,A-1，所得的即为A的逆矩阵.注 对于阶数较高的矩阵n3，用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换.也可以利用求得A的逆矩阵.假设矩阵A可逆，可利用得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进展矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行变换求矩阵的逆矩阵.解：所以四用Cramer法则求矩阵的逆假设线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式.定理1

8、假设以 = (1 , 0 , 0 , , 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 0 , 1) 表示Fn(Fn表示数域F上的n维行向量空间)上的一组标准基,则Fn中任一向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示为:=a1 + a2 + an的形式,这里aiF(i = 1 , 2 , , n).定理2假设称矩阵A与矩阵B相乘所得的矩阵为AB，以A的第i行右乘以B，其乘积即为矩阵AB的第i行.求矩阵的逆可用以下方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为, 其中=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得:=aij(i = 1 ,

9、2 , , n) ，解方程组, ,为未知量,由于系数行列式D=|A| 0 (因为A 可逆),所以, 由Cramer法则可得唯一解:= bj1+ bj2+ + bjn(j = 1 , 2 , n) .其中Dj是用方程组的常数项1 ,2,n替换行列式D的第j列的元素得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A-1= B.其中B=(bij).以上定理见文献1、 7 、8下面举例说明这种方法.例4：求矩阵的逆矩阵.解：矩阵A的行向量为，由标准基表示为：解以为未知量的方程组得：所以五解方程组求逆矩阵由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(

10、下)三角矩阵的逆矩阵，其主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A = E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵. 例5：求的逆矩阵.解：设,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素,，.设E为4阶单位矩阵, 比较的两端对应元素,得： 解得，解得，解得，解得，及所求的逆矩阵为六求三角矩阵的逆的一种方法定理：假设如果n阶矩阵 可逆，则它的逆矩阵为 其中例6： 求上三角阵 的逆矩阵.解：由定理知 七用分块矩阵求逆矩阵设矩阵A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则：例7：，求A-

11、1.解：将A分块如下：可求得八用恒等变形法求矩阵的逆有些计算题看似与求逆矩阵无关,但实际上却能发现，这些题是计算需要求出逆矩阵的，需将给定矩阵等式作恒等变形，且通常化为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。 例8：，试求并证明,其中.解: 由，得 ，故 ,而 A为正交矩阵,，所以九拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 则原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.例9：求矩阵的逆矩阵A-1.解:因为 ，所以 存在构造矩阵有：将

12、第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得：将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得：再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：故：十. 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 为A的特征多项式，则 所以 由此，可知 例10：，求 A-1.解：A 的特征多项式 由Hamilton-Caley定理可知，所以 十一.和化积法 对于有些涉及矩阵和的问题，要先判断方阵之和A+B的非退化性，并求出它的逆矩阵。则此时A+B可直接转化为A+BC=E的形式,从而得出结论，A+B非退化，且

13、=C.或将A+B表示为几个的非退化阵之积，并得出它的逆矩阵.例11.证明:如果=0,则E-A是非退化的，并求.证明：因为，所以是非退化的，且=.六：逆矩阵在编码解码方面的应用矩阵密码学是信息编码和解码的技术，其中一种利用了可逆矩阵的方法。首先，在26个英文字母和数字之间建立对应关系，例如，可以是A B Y Z1 2 25 26使用上面的代码，则该信息的编码是19,5,14,4,13，15,14,5,25，其中5代表字母E。遗憾的是，这个编码表示的对应关系较为简易，人们很轻易就能破译。如果一个信息编码比较长，则人们会找出那个出现频率最高的数值，并且猜出它代表哪个字母。比方，以上编码中，出现次数最

14、频繁的编码值是5，所以人们很自然地会认为，5代表字母E，因由统计规律我们可以知道，在英文单词中，字母E出现的频率最高。利用矩阵的乘法，我们可以对英文信息“SEND MONEY进展加密，让其由明文转换成密文，然后再进展传递发送。这样，信息一经处理，就能有效地对非法用户破译编码增加一定的难度，而又为合法用户找到一条轻松解密的途径。假设存在一个矩阵A，它的元素均为整数，而且它的行列式 =1.则由伴随矩阵求逆公式 可知，的元素也都是整数。我们可以通过这样的方法，利用矩阵A 来对明文进展加密，从而增加加密之后的密文的破译难度。现在取A=用三列将明文“SEND MONEY所对应的9 个数值按以下方法排列，

15、可得矩阵B=矩阵乘积AB=对应上数矩阵，发出去的密文编码为43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用户可用A-1左乘上述矩阵，即可得到明文从而解密。为了构造“密钥矩阵A，我们可以进展有限次的初等行变换，从单位阵I开场对矩阵作变换，为了方便，通常我们只用*行的整数倍加到另一行。这样，我们可以得到一个元素均为整数的矩阵A。并且由于=1，我们可以知道的元素也必然都是整数。参考文献1王萼芳，石生明.高等代数第三版M.：高等教育，2003.2闫晓红.高等代数全程导学及习题全解 M.：中国时代经济，2006.3同济大学数学系.线性代数第五版.：高等教育，2007.4同济大学.高等代数与解析几何M.:高等教育，2005.5郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解第三版M.:科学技术，2005.6丽，林谦，本三等.高等代数学习指导与习题解析M.:西南财经大学，2021. 7白述伟.高等代数选讲M.教育.1996.8禾瑞，郝炳新.高等代数M.:高等教育.1999.1