人教A版数学必修四教案：1.5函数y=asin（wx+）的图象

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1、1.5函数y=Asin(x+)的图象一、教学分析本节通过图象变换,揭示参数、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(x+)的图象与正弦曲线的关系,以及A、的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点. 如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(x+)的图象呢?通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x+)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学

2、会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数ysinx到yAsin(x+)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数yAsin(x+) 的图象，观察参数，A对函数图象变化的影响；引导学生认识yAsin(x+) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数yAsin(x+)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程. 2、过程与方法通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x+

3、)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观经历对函数ysin x到 yAsin(x+)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数、对函数y=Asin(x+)图象的影响的问题进行分解，找出函数ysin x到yAsin(x+)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数yAsin(x+)的简图.难点：学生对周期变换、相

4、位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解四、教学设想：函数y=Asin(x+)的图象（一）（一）、导入新课 思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(x+)的函数(其中A、是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(x+)的图象. 思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(x+)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(x+)存在着

5、怎样的关系?接下来,我们就分别探索、A对y=Asin(x+)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数、A对y=Asin(x+)的图象的影响？分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,对图象有怎样的影响？对任取不同的值,作出y=sin(x+)的图象,看看与ysinx的图象是否有类似的关系？你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+)的图象.你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数对y=sin(x+)的图象的

6、影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为=,从而使y=sin(x+)在变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令=2,=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？ 活动:问题,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得对y=sin(x+)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作

7、动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数、A对y=Asin(x+)的图象的影响,然后再整合.图1 问题,由学生作出取不同值时,函数y=sin(x+)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于对y=sin(x+)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=s

8、in(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合. 如果再变换的值,类似的情况将不断出现,这时对y=sin(x+)的图象的影响的

9、铺垫已经完成,学生关于对y=sin(x+)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题,引导学生通过自己的研究认识对y=sin(x+)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+)(其中0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当0时)或向右(当1时)或伸长(当00,0)的图象,可以看作是把y=sin(x+)上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A0,0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数ysinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象；然后使曲线上各点的横坐

10、标变为原来的倍,得到函数y=sin(x+)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(x+)的图象. 引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节. 由此我们完成了参数、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(x+)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asi

11、n(x+)的整体考察.略略.图象左右平移,影响的是图象与x轴交点的位置关系.纵坐标不变,横坐标伸缩,影响了图象的形状.横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象得y=sin(x+)的图象得y=sin(x+)的图象得y=Asin(x+)的图象.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的图象得y=Asinx的图象得y=Asin(x)的图象得y=Asin(x+)的图象.（五）、应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图. 活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换

12、的角度来探究,这里的,A2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把ysinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再

13、进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)y=2sin(x-).方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五点法”作图作一个周期内的图象)令X=x-,则x=3(X+).列表:X02X25Y020-20描点画图,如图5所示.图5 点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但

14、教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=x+,再用方程思想由X取0,2来确定对应的x值.（六）、课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(x+)的图象,并分别观察参数、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、

15、作业函数y=Asin(x+)的图象（二）（一）、导入新课 思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数、A对函数y=Asin(x+)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(x+)(其中A0,0,0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.（二）、推进新课、新知探究、提出问题在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(x+)的图象时,列表中最关键的步骤是

16、什么？(1)把函数ysin2x的图象向_平移_个单位长度得到函数ysin(2x)的图象；(2)把函数ysin3x的图象向_平移_个单位长度得到函数ysin(3x)的图象；(3)如何由函数ysinx的图象通过变换得到函数ysin(2x+)的图象？将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.甲：所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin

17、(2x-),即y=cos2x的图象,f(x)=cos2x. 乙：设f(x)=Asin(x+),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x+)=sinx,A=,=1,+=0, 即A=,=2,=-.f(x)=sin(2x-)=cos2x. 丙：设f(x)=Asin(x+),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x+)+=Asin(x+)= sinx,A=,=1,+=0.解得A=,=2,=-,f(x)=sin(2x-)=cos2

18、x. 活动:问题,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、对函数y=Asin(x+)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力. 问题,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(x+),然后按题设中的变换得到两次变换后

19、图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+)的图象向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin(x+)+,而不是变换成y=Asin(x+),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的. 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:将x+看作一个整体,令其分别为0, , ,2.(1)右, ；(2)左,

20、；(3)先ysinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).略.提出问题回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、有何关系. 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(x+),x0,+),其中A0,0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动

21、的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;x+称为相位;x=0时的相位称为初相.讨论结果:y=Asin(x+),x0,+),其中A0,0.略.（三）、应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回

22、忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(x+)中的参数、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(x+)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运

23、动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(x+),x0,+),那么A=2;由=0.8,得=;由图象知初相=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x0,+). 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练 函数y=6sin(x-)的振幅是,周期是_,频率是_,初相是_,图象最高点的坐标是_.解:6 8 (8k+,6)(kZ)例2 若函数y=Asin(x+)+B(其中A0,0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的

24、条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(x+)+B(其中A0,0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(x+)的图象的关系,它只是把y=Asin(x+)(其中A0,0)的图象向上(B0)或向下(B0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知ymax=3,ymin=-5,则A=(ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1

25、,=-=.T=,得=2.故有y=4sin(2x+)-1.由于点(,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2+)-1,即sin(+)=1.一般要求|0,0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程xi+=0,2(i=1,2,3,4,5),得出的值.方法一:由图知A=2,T=3, 由=3,得=,y=2sin(x+).由“五点法”知,第一个零点为(,0),+=0=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+)同方法一. 由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.+=

26、.y=2sin(x-). 点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用x1+=0或x2+=求出.2.2007海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间,上的简图是( )图9答案:A（四）、课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(x+)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.（五）、作业