广义积分的判别法学习教案

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1、会计学1广义广义(gungy)积分的判别法积分的判别法第一页，共28页。二、无界函数二、无界函数(hnsh)反常积分的审反常积分的审敛法敛法反常反常(fnchng)积分积分无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数 第1页/共27页第二页，共28页。, ),)(aCxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在(cnzi) ,则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限广义的无穷限广义(gungy)积分积分, 记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分这时称广义积分xxf

2、ad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分xxfad)(发散发散 .一、无穷限广义积分一、无穷限广义积分注：注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积第2页/共27页第三页，共28页。,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号(j ho);)(lim)(xFFx )(lim)(xFFx 则有类似则有类似(li s)N L公式的计算表达式公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF2. 无穷无穷(wqing)限广义积

3、限广义积分的计算分的计算xxfxxfbabad)(limd)(第3页/共27页第四页，共28页。定理定理(dngl)1.,0)(, ),)(xfaCxf且设若函数若函数(hnsh)xattfxFd)()(.d)(收敛则反常积分axxf,),上有上界在a证证:,0)(xf,),)(上单调递增有上界在axF根据极限收敛准则知根据极限收敛准则知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在存在 ,.d)(收敛即反常积分axxf第4页/共27页第五页，共28页。, ),)(aCxf设有分大的x且对充且对充)()(0 xgxf, 则则收敛xxgad)(收敛xxfad)(发散xxfad)(发散xxgad)

4、(证证: 不失不失(b sh)一般性一般性 ,),时设 ax)()(0 xgxf,d)(收敛若xxga有则对at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此因此(ync) 单调递增有上界函数单调递增有上界函数 , 第5页/共27页第六页，共28页。xxfxxfatatd)(d)(lim.d)(收敛即反常积分xxfa,d)(发散若xxfa时有因为at xxgxxftatad)(d)(0,t令.)(必发散可见反常积分xdxga说明说明(shumng): 已知已知xxapd11,p收敛1,p发散)0( a,)0()(作比较函数故常取AxAxgp得下列得下列(xili)

5、比较审敛法比较审敛法.极限极限(jxin)存存在在 ,第6页/共27页第七页，共28页。),)(aCxf设非负函数,0) 1M若存在常数有使对充分大的 xpxMxf)(;d)(收敛则xxfa,0)2N若存在常数有使对充分大的xpxNxf)(.d)(发散则xxfa, 1p, 1p. )0( a第7页/共27页第八页，共28页。xxxd1sin1342解解:的敛散性的敛散性 .机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3421sin0 xx341x341x由比较由比较(bjio)审敛法审敛法 1 可知原积分收敛可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分讨论反

6、常积分xxd11133的敛散性的敛散性 .提示提示: 当当 x1 时时, 利用利用 11) 1(1113333xxx可知原积分发散可知原积分发散 .第8页/共27页第九页，共28页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 ,0)(, ),)(xfaCxf且若;d)(收敛时xxfa.d)(发散时xxfalp0, 1lp0, 1lxfxpx)(lim则有则有: 1) 当当2) 当当证证:,1时当p根据根据(gnj)极限定义极限定义 , 对取定的对取定的,0当当 x 充充分大时分大时, 必有必有 lxfxp)(, 即即pxMxf)(0)( lM;d)(收

7、敛可见xxfa满足满足第9页/共27页第十页，共28页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 .d)(发散可见xxfa,1时p可取可取(kq),0必有必有 lxfxp)(即即pxlxf)()(lNxN,0l使时用任意正l (, )lN 代替数pxxpxxfxfx1)(lim)(lim注意注意(zh y): 此极限的大小刻画了此极限的大小刻画了.0)(的快慢程度趋于时xfx第10页/共27页第十一页，共28页。121dxxx的敛散性的敛散性 . 解解:2211limxxxx机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

8、 11lim21xx1根据根据(gnj)极限审敛法极限审敛法 1 , 该积分收敛该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分判别反常积分xxxd11223的敛散性的敛散性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分发散该积分发散 . 第11页/共27页第十二页，共28页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 ,d, ),)(收敛）（且若axxfaCxf.d)(收敛则反常积分axxf证：证：, )()()(21xfxfx令则则)()(0 xfx ,d 收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2

9、)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而而.d)(收敛可见反常积分xxfa第12页/共27页第十三页，共28页。,d)(收敛xxfaxxfad)(,d)(收敛若axxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 则称则称绝对绝对(judu)收敛收敛 ; xxfad)(,d)(发散若axxf则称则称条件收敛条件收敛 . 例例4. 判断反常积分判断反常积分)0,(dsin0abaxbxexa为常数的敛散性的敛散性 .解解:,sinxaxaexbe因,d0收敛而xexa根据比根据比较审敛原理知较审敛原理知,dsin收敛axaxbxe故由定理

10、故由定理5知所知所给积分收敛给积分收敛 (绝对收敛绝对收敛) .第13页/共27页第十四页，共28页。(2013)第14页/共27页第十五页，共28页。无界函数的反常积分无界函数的反常积分(jfn)可转化为无穷限的反常积分可转化为无穷限的反常积分(jfn).,)(, ,()(的瑕点为设xfabaCxf机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义 babaxxfxxfd)(limd)(0则有令,1tax例如例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数因此无穷限反常积分

11、的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来的反常积分中来 .第15页/共27页第十六页，共28页。定理定理3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 为设非负函数abaCxf, ,)(,0) 1M若存在常数qaxMxf)()(;d)(收敛则xxfba,0)2N若存在常数qaxNxf)()(.d)(发散则xxfba, 1q瑕点瑕点(xi din) ,有有有有利用利用xaxbaqd)(11,q收敛1,q发散有类似定理有类似定理 3 与定理与定理 4 的如下审敛法的如下审敛法. 使对一切充分接近使对一切充分接近 a 的的 x ( x a) .1q第16页/共2

12、7页第十七页，共28页。定理定理4 4 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收敛时xxfba.d)(,发散时xxfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqax)()(lim则有则有: 1) 当当2) 当当例例5. 判别判别(pnbi)反常积分反常积分.lnd31的敛散性xx解解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得利用洛必达法则得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根据极限审敛法根据极限审敛法2 , 所给积分发散所给积分发散 .第17页/共27页第十八页，共28页。定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下

13、页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于由于(yuy) 1limx的敛的敛21)1 (x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根据极限审敛法根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛椭圆积分收敛 . 第18页/共27页第十九页，共28页。,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,d)(baxxf收敛称为绝对称为绝对(judu)收敛收敛 . 则反常积分则反常积分 第19页/共2

14、7页第二十页，共28页。1. 定义定义(dngy):函数机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明这个特殊函数在下面证明这个特殊函数在0s内收敛内收敛 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.) 11I讨论)0(d)(01sxexsxs令令;,11是定积分时当Is ,10时当 sxsxsexex1111sx11, 11 s而.21收敛知根据比较审敛法I)(的反常积分含参变量s第20页/共27页第二十一页，共28页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 )(1xsexxsxex1lim.

15、)22I讨论2lim xx0112d xexIxs.12收敛知根据极限审敛法I综上所述综上所述 , 21)(IIs.0上收敛在s第21页/共27页第二十二页，共28页。(1) 递推公式递推公式(gngsh)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 证证: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部积分分部积分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n第22页/共27页第二十三页，共28页。得令,2ux 的其他形式)(s)0(

16、d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu,12ts再令,21ts即得应用得应用(yngyng)中常见的积分中常见的积分) 1(2121d02ttueuut这表明左端的积分这表明左端的积分(jfn)可用可用 函数来计算函数来计算.例如例如(lr),0d2ueu21212第23页/共27页第二十四页，共28页。 0411)1(dxxI 0421)2(dxxxI 022202221112111121dxxxxdxxxx(2014)第24页/共27页第二十五页，共28页。第25页/共27页第二十六页，共28页。第26页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结会计学。则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分,。则有类似N L公式的计算表达式 :。定理2 . (比较审敛原理)。证: 不失一般性 ,。例1. 判别反常积分。由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .。思考题: 讨论反常积分。提示: 当 x1 时, 利用(lyng)。当 x 充。定理6. (比较审敛法 2)。有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.。使对一切充分接近 a 的 x ( x a) .。(1) 递推公式第二十八页，共28页。