2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理

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1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷 （选择题共 50 分）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案）1、 i 是虚数单位，i（）i1A 11B 1111112i2iCiDi2222222、如果双曲线的两个焦点分别为F1 (3,0) 、 F2 (3,0) ，一条渐近线方程为y2x ，那么它的两条准线间的距离是（）A6 3B 4C 2D 1yx3、设变量 x 、 y 满足约束条件xy2 ，则目标函数z 2 xy 的最小值为（）y3x6A 2B 3C 4D 94、设集合 M x | 0x3 ，N x

2、 | 0 x 2 ，那么“ a M ”是“ aN ”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件5、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10 种B20 种C36 种D52 种6、设 m 、 n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A m, n, m nB / , m, n /m nC, m, n /m nD,m, n mn7、已知数列 an 、 bn 都是公差为1 的等差数列，其首项分别为a1 、 b1 ，且 a1b1

3、5 ，a1 ,b1N * 设 cnab（ nN * ），则数列 cn 的前 10 项和等于（）nA55B 70C 85D100、已知函数f ( x)a sin x b cos x （a、 b 为常数， a0 ， xR ）在 x处取得最84小值，则函数yf (3x) 是（）4(3A 偶函数且它的图象关于点(,0) 对称B偶函数且它的图象关于点,0) 对称( 3 ,0)对称2C奇函数且它的图象关于点D 奇函数且它的图象关于点(,0) 对称29、函数 f ( x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数f (x) 在 (a,b) 内的图象如图所示，则函数f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小

4、值点（）yyf ( x)A1 个B2 个ObC3 个axD 4个10yf ( x)的图象与函数yax（ a0 且 a 1 ）的图象关于直线yx 对称，、已知函数记 g (x) f ( x) f ( x)2 f (2)1 若 yg ( x) 在区间 1,2 上是增函数，则实数a 的取2值范围是（）A 2,)B (0,1)(1,2)1D (0,1C ,1)22第卷（ 非选择题共 100 分）二、填空题（本大题共6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11、(2 x1 )7 的二项展开式中x 的系数是_（用数学作答） x12、设向量a 与 b的夹角为，且a(3,3) ， 2ba( 1,1) ，则c

5、os_ 13、如图，在正三棱柱ABCA1 B1C1 中，AB1若二面角CABC1 的大小为60，则点C到平面 ABC1 的距离为 _14、设直线axy30 与圆 (x1)2( y2)24 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为 23 ，则 a_15、某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，运费为4 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨16 、 设 函 数f x1x1， 点A0表示坐标原点，点Ann, f nnN *，若向量anA0 A1A1 A2An 1 An，n是an与 i的夹角，（其中i1,0）， 设Sntan1tan2tan

6、n ，则 lim Sn =n三、解答题（本题共6 道大题，满分 76 分）17、（本题满分12 分）如图，在ABC 中， AC2，BC1， cosC34（ 1）求 AB 的值；（ 2）求 sin 2 A C 的值 .18、（本题满分12 分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为3 ，且各次射击的结果互不影响。5（1）求射手在（2）求射手第3 次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）3 次击中目标时，恰好射击了4 次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3 次击中目标时已射击的次数，求的分布列19、（本题满分12 分）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形AB

7、CD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF/1BC2（ 1）证明 FO /平面 CDE ；（ 2）设 BC3CD，证明 EO 平面CDF 20、（本题满分12 分）已知函数 f x4x33x2 cos3 cos，其中 xR,为参数，且02 16（ 1）当时 cos0，判断函数f x 是否有极值；（ 2）要使函数f x 的极小值大于零，求参数的取值范围；（ 3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 fx在区间 2a1, a 内都是增函数，求实数 a 的取值范围21、（本题满分14 分）已知数列xn , yn满足 x1x21, y1y22 ，并且xn 1xn , yn1yn（为非零

8、参数， n2,3,4,）xnxn 1ynyn 1（ 1）若 x1 , x3 , x5 成等比数列，求参数的值；（ 2）当0 时，证明 xn 1xnnN *；yn 1yn当1 时，证明x1y1x2y2xnynn N*.x2y2x3y3xn 1yn 1122、（本题满分14 分）如图，以椭圆 x 2y21 ab0 的中心 O为圆a 2b2心，分别以a 和 b 为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F c,0 cb 作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点 A 连结 OA 交小圆于点 B 设直线 BF 是小圆的切线（1）证明 c2ab ，并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐标；（2）设直线 BF

9、 交椭圆于 P、Q两点，证明OP OQ1 b2 2参考答案：一、选择题题号12345678910答案ACBBABCDAD二、填空题11、 28012、 31013、 314、 015、 2016、 11041、 i是虚数单位，ii(1i ) 1i，选 A.i22212、如果双曲线的两个焦点分别为F1 ( 3,0) 、 F2 (3,0) ，一条渐近线方程为y2x ，a2b29a23a2b2，解得2，所以它的两条准线间的距离是22 ，选b6acyC.Cyx3、设变量 x 、 y 满足约束条件 xy2, 在坐标系中画出可行域 ABC ，y3x6A(2 ， 0)， B(1 ， 1)， C(3 ，3)，

10、则目标函数z2x y 的最小值为 3，选 B.BOxA4、设集合 M x | 0x3， N x | 0x2，MN ，所以若 “a M ”推不出“aN ”；若 “aN ”，则 “aM ”，所以 “aM ”是 “aN ”的必要而不充分条件，选B.5、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1 号盒子中放1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 C414 种方法； 1 号盒子中放2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 C426 种方法；则不同的放球方法有10 种，选 A6、设 m 、 n 是两条不同的直线，、

11、是两个不同的平面。下列命题中正确的命题是/, m, n /mn ，选 B.7、已知数列 an 、 bn 都是公差为1 的等差数列，其首项分别为a1 、 b1 ，且 a1b1 5 ，a1 ,b1 N* 设 cnab（ nN * ）， 则 数 列 cn 的 前 10 项 和 等 于nab1ab2ab10=ab1ab1 1ab1 9，ab1a1(b1 1) 4，abab 1ab 9 = 4 5 613 85 ，选 C.1118、 已知函 数f (x)a sin xb cos x (a、 b 为常 数 , a0, xR)， f ( x)a2b2 sin( x) 的周期为2， 若 函 数 在 x处取得最

12、小值，不妨设f ( x) si n x( 34)，则函数4yy f (x)yf (3x) = sin( 3x3 )sin x ，所以 yf ( 3x)4444是奇函数且它的图象关于点(,0) 对称，选 D.bO9、函数 f ( x) 的定义域为开区间(a,b) ，导函数 fax(x) 在 (a,b) 内的图象如图所示，函数f ( x) 在开区间 (a,b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A.10yf ( x)的图象与函数yax（a0 且 a1 ）的图象关于直线yx 对称,、已知函数则 f (x)log a x ，记 g(x)f (x) f

13、(x)f (2)1= (log a x)2(log a 21)log a x 当 a1时，若 yg( x) 在区间 1 ,2 上是增函数， ylog a x 为增函数， 令 t loga x ，t log a1,22log a 2 ，要求对称轴log a 211，矛盾；当 0 a1 时，若 y1,22 log ag ( x) 在区间 22上是增函数，ylog a x 为减函数，令tloga x ， t log a 2 , log a1 ，要求对称轴2log a 21 log a1，解得 a 1,所以实数 a 的取值范围是 (0, 1 ,选 D.2222二、填空题11、 28012、3 1013

14、、 314、 015、 2016、110411、 (2x1)7 的二项展开式中 x 的项是 C73 (2 x)3(1)4280x ，所以 x 的系数是 280xx12 、 设 向 量 a与 b的夹角为,且 a(3,3),2 b a(1,1), b(1,2) ， 则c o sa b93 1 0b| 32510。| a |13、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1 中， AB1. 若二面角 CAB C1 的大小为 60o ，过 C 作 CD AB ，D 为垂足，连接 C111D，则 C D AB ， C DC=60，CD=3 ，则 C1D=3 ，CC1=3 ，在 CC1D 中，过 C 作 CE C1

15、D，则 CE 为点 C 到平面 ABC122333，所以点 C 到平面 AB C1 的距离为 3的距离， CM= 22.43414ax y30与圆(x 1)( y2)4相交于A 、 B 两点，且弦AB 的长为、设直线222 3 ，则圆心 (1， 2)到直线的距离等于| a23|a01，a211，15、某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，则需要购买400 次，运费为 4 万x元/ 次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为400 44x 万元，x4004 4x 160，当16004 x 即 x20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。x1x16、设函数 f x，点 A0 表示坐标原点，点An n, fnn N *x1