1996年考研数学二试题及答案

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1、超级狩猎者1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则.(2) .(3) 微分方程的通解为.(4) .(5) 由曲线及所围图形的面积.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当时,是比高阶的无穷小,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数在区间内有定义,若当时,恒有,则 必是的 ( )(A) 间断点 (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点,且 (D) 可导的点,且(3) 设处处可导,则

2、( )(A) 当,必有(B) 当,必有(C) 当,必有(D) 当,必有(4) 在区间内,方程 ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设在区间上连续,且(为常数),由曲线及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1) 计算.(2) 求.(3) 设其中具有二阶导数,且,求.(4) 求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.(5) 求微分方程的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为,用过此柱体底面的短轴与底面成角()的平面截此柱体,

3、得一锲形体(如图),求此锲形体的体积.四、(本题满分8分)计算不定积分.五、(本题满分8分)设函数(1) 写出的反函数的表达式；(2) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数由方程所确定,试求的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设在区间上具有二阶导数,且,试证明：存在和,使及.八、(本题满分8分)设为连续函数,(1) 求初值问题的解,其中为正的常数；(2) 若(为常数),证明：当时,有.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】.(2)【答案】【解析】注意到对称区间上奇

4、偶函数的积分性质,有原式.【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若在上连续且为奇函数,则；若在上连续且为偶函数,则.(3)【答案】【解析】因为是常系数的线性齐次方程,其特征方程有一对共轭复根故通解为.(4)【答案】【解析】因为时,(为常数),所以,原式.(5)【答案】212xyO【解析】曲线的交点是,当时(单调上升)在上方,于是二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由,可得 应选(A).方法2：用洛必达法则.由有 又由 .应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当时,.而按照可导定义我们考察,由夹逼

5、准则, ,故应选(C).方法二：显然,由,得,即有界,且.故应选(C).方法三：排除法.令故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如,则(A),(C)不对；又令,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由,对于,存在,使得当时,.由此,当时,由拉格朗日中值定理,从而有,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导,那么在内至少有一点(),使等式成立.(4)【答案】(C)【解析】令,则,故是偶函数,考察在内的实数个数：().首先注意到,

6、当时,由零值定理,函数必有零点,且由,在单调递增,故有唯一零点.当时,没有零点；因此,在有一个零点.又由于是偶函数,在有两个零点.故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使.(5)【答案】(B)【解析】见上图,作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元,于是 ,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】方法一：换元法.令,则,所以 .方法二：换元法.令,则, .方法三：分部积分法和换元法结合.原式令,则,原式.【相关知识点】1.,2. 时,.(2)【解析】方法一： .方法二： .方法三：换元法.令,则,原式

7、.(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为 ,所以 .(4)【解析】函数在处带拉格朗日余项的泰勒展开式为.对于函数,有所以 故 .(5)【解析】方法一：微分方程对应的齐次方程的特征方程为,两个根为,故齐次方程的通解为.设非齐次方程的特解,代入方程可以得到,因此方程通解为.方法二：方程可以写成,积分得,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为 .方法三：作为可降阶的二阶方程,令,则,方程化为,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为再积分得 .【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,

8、则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为(2) 两个相等的实数根,则通解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式

9、,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.4. 一阶线性非齐次方程的通解为, 其中为任意常数.(6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为.方法一：以垂直于轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为,另一条直角边长为,故截面面积为.楔形体的体积为.方法二：以垂直于轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为,另一条边长为,故截面面积为,楔形体的体积为.四、(本题满分8分)【解析】方法一：分部积分法. .方法二：换元法与分部积分法结合.令,则, .五、(本题满分8分)【分析】为了正确写出函数的反函数,并快捷地判断出函数的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的

10、有关性质.【相关知识点】反函数的性质： 若函数是单调且连续的,则反函数有相同的单调性且也是连续的； 函数的值域即为反函数的定义域； ,故函数的不可导点和使的点对应的值均为的不可导点.【解析】(1) 由题设,函数的反函数为(2) 方法一：考察的连续性与导函数.注意在区间上分别与初等函数相同,故连续.在处分别左、右连续,故连续.易求得由于函数在内单调上升且连续,故函数在上单调且连续,没有间断点.由于仅有时且,故是的不可导点；仅有是的不可导点(左、右导数,但不相等),因此在处不可导.方法二：直接考察的连续性与可导性.注意在区间上分别与初等函数相同,故连续.在处分别左、右连续,故连续,即在连续,没有间

11、断点.在内分别与初等函数相同,这些初等函数只有在不可导,其余均可导.在处,不.在处,. 因此,在内仅有与两个不可导点.六、(本题满分8分)【解析】方程两边对求导,得 令得,代入原方程得,解之得唯一驻点；对两边再求导又得. 以代入得是极小点.【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点).2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数在处具有二阶导数且,那么(1) 当时,函数在处取得极大值；(2) 当时,函数在处取得极小值.七、(本题满分8分)【解析】首先证明,使

12、：方法一：用零点定理.主要是要证明在有正值点与负值点.不妨设.由与极限局部保号性,知在的某右邻域,从而,因而；类似地,由可证.由零点定理,使.方法二：反证法.假设在内,则由的连续性可得,或,不妨设.由导数定义与极限局部保号性,从而,与矛盾.其次,证明,：由于,根据罗尔定理,使；又由罗尔定理, .注：由可得：在；在.注意由得不到在单调增的结果！【相关知识点】1.零点定理：设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使.2函数极限的局部保号性定理：如果,且(或),那么存在常数,使得当时,有(或).3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在的某去心邻域内(或),而且,那么(或).4.罗尔定理：如果函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即,那么在内至少有一点(),使得.八、(本题满分8分)【解析】(1) 为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为,其中是的任一原函数,由得,故.(2) 当时,.【相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为, 其中为任意常数.