数学传统与数学问题

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1、一数学发展的内部力量1知识成分 知识成分包括问题、方法、符号、命题及现有理论。数学向前发展离不开数学理论现有的发展水平。对现有的数学概念、命题认识的深化、对现有的数学方法的改进、符号的调整及理论体系的建立等问题的研究是推动数学向前发展的重要动力源泉。2数学传统 所谓数学传统，是指关于如何去从事数学研究的总的观念或思想。数学家总是作为数学共同体的一员去从事自己的研究活动的，而数学共同体拥有共同的数学传统。数学家个体从事数学研究从选择课题到研究方法与表达方式及最终对其研究结果的评价均与其信奉的数学传统有关，可以说，数学传统是推动数学发展的重要力量。数学传统包括核心思想、规范性成分、启发性成分。（1

2、）核心思想。是指关于数学本质的总的认识，即总的数学观。如关于“什么是数学？”的问题，以及“数学是演绎得科学”的回答都涉及的数学本质的认识。又如关于数学与真实世界的关系数学家对数学的本质所持的看法、信念对开展数学基础问题及其它有关问题的研究是有着决定性的影响的。有些数学家持有“柏拉图主义数学观”，有的持有“数学模式观”、“数学工具观”、“经验主义数学观”等。（2）规范性成分。是指关于如何去从事数学研究的各种规范或准则。数学家的工作目标是要获得这样的命题，它们是借助于数学共同体一致接受的语言得到表达的，是对于为数学共同体一致接受的问题的解答，并建立在为数学共同体一致接受的论证之上，理论成果的评价符

3、合数学共同体共有的价值标准。现代数学传统中的规范性成分，从整体上分析可以认为：现代数学研究是在形式的水平上进行的，即理论体系建立在公理化基础之上，避免使用自然语言，完全在符号水平上推演；理论基础建立在集合论之上；所研究的问题的重要性不仅取决于它们的实际意义，而且也取决于它们的数学意义。（3）启发性成分。对从事数学研究活动具有启发作用的观念、思想。具体包括数学问题的概括与提出，如何选择问题解决合适有效的方法，如何下定义、表述定理，如何构建理论体系，如何构建理论的基础及数学知识应用的方法、策略等。现有的数学知识与数学传统的关系特别是矛盾关系是推动数学发展的重要的动力因素。这即是指，数学家们并不是盲

4、目地去从事一般化、严格化、系统化等方面的研究工作的，而是由数学发展的现状所决定的。二数学问题1数学内部问题的表现形式（1）常规问题：在一定的知识背景下，顺应数学内在逻辑的发展和推演所产生并能用原有知识解决的数学问题。 （2）反常问题：此类问题产生于一定的理论框架下，但不能在原框架下得到解决，需要另辟蹊径，开拓新的领域，寻求新的方法。 （3）悖论问题：表现为数学发展中的一些矛盾。这类问题的出现是阶段性的，它是数学前进中各种障碍积淀的产物，尽管它的出现总是伴随着危机，但一但危机解决，就会极大的促进数学的发展。（4）数学猜想：所谓数学猜想是数学研究者根据某些已知的事实材料和数学理论知识，通过或然性的

5、推理，对未知的对象所作出的一种似真推断。数学猜想有两个明显的特征：其一，结论或然性，即所得结论可能被肯定，也可能被否定，还可以是不可判定的。其二，结论的创新性。数学猜想作为问题形式的一种，首先表现为对结论的发现，而在数学中发现结论往往比论证结论更重要，通过对猜想的证明或否证往往带来众多的理论上的副产品，甚至形成新的理论与方法。2讨论数学问题在数学研究中的作用（1）数学问题是数学发展动力的外显形式。数学问题的不断提出和解决，使得人们对某一部分的研究作为一种认识成果被确定下来，这些成果的汇集就会不断丰富数学理论宝库。没有数学问题，特定领域的数学理论就不可能形成。（2）重要数学问题的提出与解决标志着

6、数学真正的进步 由数学问题所形成的逻辑链既在纵向上反映着数学的连续性，传统性，又在横向上反映着数学的广泛性、整体性。数学问题的这种关联也是数学得以发展的基础和条件。数学的进步离不开重大数学问题的提出与解决。（3）数学问题是数学研究的逻辑起点数学问题在数学家个人的工作中占有十分重要的地位，提出问题本身就是一种创造性的工作，提出一个问题比解决一个问题更为重要。因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步，问题构造了科学研究的实际出发点。（4）问题的提出和解决，可看成是数学发展的基本形式数学家对源于数

7、学外部和数学内部的大量问题的解决，获得了理论形态的概念、命题及相应的方法。在问题解决过程中又产生了新的问题，而对这些新问题的研究，又使人们获得了新的理论知识和方法以及更新的问题，从而推动着数学向前发展。数学问题的提出与解决是数学发展的基本形式。3数学问题在数学教学中的作用 “问题解决”是当今国际数学教育现代化潮流中的热门话题，强调“问题解决”是一切数学教学活动的组成部分，是中学数学教学的核心。（1）以数学问题为中心线索，在数学教学中带动知识的呈现，有利于提高学生的理解及思维水平，促进学生对数学的领悟。具体而言，学生容易理解，为什么要讨论这个问题？为什么要引进这个概念、命题？如何获得？在寻求问题

8、解决过程中学生可以看到数学知识间的了解，知道知识的形成及知识运用的情境，同时获得了解决问题的思维方式方法。传统数学教学关注事实性的知识逻辑关系结构，学生的思维方式主要是理解和带有强烈收敛式思维方式的运用，在某种意义下，学生的数学学习活动方式非常单一，从思维方式讲缺少观察、尝试、归纳猜想、直观直觉、审美等非逻辑的思维方式的成份，另外，缺少问题的提出及问题解决后所带来的相关知识方法的进一步深化、探讨、整理的学习过程。特别是缺少对现有问题、方法、理论成果的评价，即对其进行数学意义下价值、功能方面的揭示，未能从方法论的层次去理解数学知识。（2）以数学问题为中心线索组织教学有助于培养学生的创造性思维。一

9、般数学材料的编写均由问题及相关问题作为教学的主要线索，一般先举一例子，由此引入，再开始做知识上的铺垫,教学过程当中，数学活动的中心线索即解方程这一问题被弱化，数学活动的意义被弱化。学生只会机械地被动地理解接受教师的权威地讲解，并相应进行大量的技能训练，长期如此教学会导致学生的创造性思维受到抑制，如以问题解为中心教学过程中着眼于问题解决本身在相关知识并不完整的情况下会给学生创造性地解决当前问题提供思维和空间。“问题解决教学”、“研究性学习”、“数学建模”成为数学教学流行的模式，即反映了上述问题。第二节 化归的策略二通过语义转化实现化归（4课时）1数学概念、命题的语义与形式任何数学概念命题都具有一

10、定的内容及其形式，更为广泛的意义上说，任何数学问题都可看成命题，即由一定的外在形式如文字、图形特别是符号所表示的特定内容的包括有前提和结论两部分组成的命题。形式化是数学的一个显著特点。代数学起始于以字母形式地表示数，随后，代数关系、运算律、运算法则等都被形式地表示。数学概念命题及数学问题都被形式地给出。数学概念命题的产生形成源于对特定非数学问题与数学内部问题的研究，进而将研究所获得的认识运用确定的语言及符号表示出来。而所说的认识可能是问题的结构特征、内部了解与外部关联关系的概括等等。如考虑三角形有关角的关系，可获得内角和为180、外角等于不相邻内角和、外角和为360等；若考虑三角形边角关系，可

11、得大边对大角等结果；若定量考虑三角形边角关系，可有正余弦定理。这些结果可用相应的数学符号进行表达，而数学符号是形式化的。（1）什么是数学概念、命题的语义和形式一个数学对象，通常指一个数学概念、命题、一个模式（具体的方程、不等式、函数及一般的表达式，也指具体的问题），从哲学角度讲包括内容和形式，而内容在此可以指语义或称之为本真意义，是指其所反映的数学对象的内在结构关系，具有特定的数学意义，形式是指由符号组织起来的表达式，形式蕴含操作意义。更为广泛的意义上说，任何数学问题（例题、习题、试题）都可看成命题，也可看成模式，即由一定的外在形式如文字、图形特别是符号所表示的特定内容（语义）的包括有前提和结

12、论两部分组成的命题。一个对象的具有一定的语义易于理解，而其形式具有操作意义需加以说明。一个数学对象在形成过程中就是由先前的一个或若干个数学对象从内容和形式两方面进行抽象的结果，可以说数学对象的形式是先前一系列操作结构的压缩形成的名词性数学对象。如函数概念。再如导数概念就有内容和可供操作的外在符号表达的形式。符号表达式的操作意义不仅指符号之间的运算、推理意义，也指可以进一步运算、推理的意义，如方程，等式两边的字母和数字之间存在运算，同时也含有作为方程的进一步求解的解方程步骤的操作意义一个数学对象都具有对象性和过程性，它的含义也具有对象性和过程性，符号形式也具有对象性意义和操作意义。我们研究一数学

13、对象，这一数学对象的本质，我们视之为数学对象（概念、命题、问题）的内涵，而对数学对象内涵的揭示与刻划是定义及命题，定义也是命题，而命题的内容是语义，对语义的文字、图形及符号的外在表示和表达，我们称之为语义表达的外在形式。如等差数列概念，其内涵借助定义、性质、通项等确切的语义及形式得以表达。等差数列概念文字表达与图形、图像表示及符号表示（2）一个形式对应多种语义解释 数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者每一个数学概念、关系（命题）等，一般都有一种确定的数学符号表示，也可能是彼此等价的多种数学命题的数学符号表示。 但是，数学符号的表示不是“一一对应”的，一种数学符号（式子）可能有多于一种的数

14、学语义解释，如在直角坐标平面内，点到原点的距离是由表示；点所对应向量的模是；复数域中，复数模的代数表示为；若a、b是正数，还表示以a、b为直角边的直角三角形的斜边。而的最基本的意义是表示以为直角三角形两直角边的斜边。再如表示加法交换律，这里的含义可有多种解释，即这一表达式的语义可以是表示数的交换性，也可表示多项式、函数和矩阵的运算等具有交换性等。 历史上，数学对象的内容与数学符号的形式化表达并不是完全对应的。（3）一个语义可以有多种表达式 就等差数列彼此等价的表达式而言，每一个表达式对应着一个语义，。我们也可以说，等差数列内涵可以有不同的符号表达式。 （4）对同一数学对象本质的不同角度刻画可获

15、得不同语义和形式的数学命题，具体包括等价与半等价命题 对一个对象进行多个角度的刻画可获得语义不同、形式不同但彼此等价的命题。三角形角的关系平行四边形判定和等差数列的等价命题和等差数列定义的等价表示， （1） 命题的数学概念命题组彼此也存在对同一数学对象的某一特征进行不同层次的刻画，即有命题间强弱之间的关系，如函数的可积性的刻画就有定义、闭区间上连续函数可积与有限间断点的有界函数即间断点零测度集可积就存在着对于可积函数性质在刻画上的差异。这样两个命题就存在着一个命题是另一个命题的充分条件。经常存在这样两个命题，其中一个命题是另一个命题的充分条件。这也是化归得以实现的数学客观基础。2化归活动中语义

16、与形式的转换（1）转换数学对象形式可以获得与问题情境相应的语义一般来说，语义着重指与一个概念、命题及一般表达式相应的含义，简单时指字符的运算关系，更指字符所形成的完整的对象化的关系。一个概念、命题及一般表达式具有多个语义，因此，在原初的问题情境中，在不断转换的问题情境中，寻找其中的已知条件和已知条件在变形中的表达式的与问题情境中与其它条件所形成的特定关联中所显现出的语义就显得尤为重要。因此，对问题的整体分析并由此带动下分析局部某一条件与其它条件的关联情况下所表现出的其同一本质的各种语义的各种形式中与此整体情形相应的特定语义和形式，即显现其问题情境中的意义。而解题的分析过程，就是追求问题中的某一

17、条件的众多语义和形式中的特定语义和形式显现的过程，即是其问题情境意义明朗的过程。一个数学对象的语义反映与其它环境脱离时所具有的我们称之为本真意义，而其表达形式又具有操作意义，在解决问题中展开推理时，我们对其表达形式改变其操作意义进行新的操作变形，以获得其与问题整体情境相应的情境意义，也可称之为数学意义。一个形式对应多种语义解释及对同一数学对象本质的不同角度刻画可获得不同语义和形式的数学命题，具体包括等价与半等价命题关系是化归活动得以进行的“客观”基础。前述关于等差数列等价命题的表示从动态上反映出这一系列命题的等价转换，其可能性在于其形式上具有的代数运算意义，而形式上的运算意义为形式的变形转化创

18、造了条件。从不同角度看，客观上通过形式运演实现不同语义转换。例 设，求证：。考虑结论的形式，特别是分子中的三角与分母在三角意义下的形式特征，引导我们应用三角法。设，则命题转化为新的三角不等式形式问题设，求证：。可化为，再利用三角知识。也可以根据结论形式联想到解析几何中求点到直线的距离公式的“语境”，就可以对此不等式的意义做出解析解释。先将其转化为，表示点到原点的距离，表示点到直线的距离，则问题通过语义转换变为“点到直线的距离不大于其到原点的距离”。从几何角度看，显然成立。若着眼于点到直线的距离公式，可对其进行新的解释，将看作是点到直线的距离小于1的不等式。 这里的问题是几何的，几何图形被放置在

19、坐标系中，解决此类问题可综合或说交替运用几何与代数方法。如C点坐标的计算，即可用几何方法，又可用代数方法。而第二问的求解更是体现出两种方法的选择问题（坐标差、三角形相似比、利用梯形面积和计算）。一般来说，解决此类问题可适当使用纯几何方法往往是有效的。这里就涉及几何含义的代数表达问题，表达形式的转化反映了语义的转换。（2）化归的动机和方向是寻找条件（结论）外在形式的与问题情境相应的确切语义（条件形式的情境意义）数学问题，特别是证明问题，可看成是一个命题，同样包括条件和结论两部分。在众多条件中，每一条件或若干条件的组合及所产生的推论都可看成一个命题。自然，可将上述条件所产生的结论作为问题新的已知条

20、件。对于结论而言也可将其视为条件，解题的关系在于寻找使该条件成立的充分条件。一般而言，数学问题中至少有一个条件，其外在形式所表达的语义是不显然的，即不能对问题的求解产生直接影响。我们针对这一形式进行合理变形的目的就是寻找相应于形式的新的语义。通常，数学式子即形式符号是有其确定的意义的，但可能是多义的。在推理过程中，符号形式的变化，并不能保证我们时刻都关注或确认数学符号相应的数学意义。因此，就问题的已知条件或结论中有语义不明的符号式子，我们解决问题的首要着眼点就是对这样的符号表达式进行变形直至获得显明的数学意义为止。问题中的条件所蕴含的语义是指该式脱离问题而显现的本真意义，在实际问题中该式又与其

21、它条件形成关联并在问题整体结构中显现“情境意义”。在实际解题过程中，人们对已知条件或所证结论的变形的基本动机就是寻找这个由符号化表示的关系式所蕴含的特定的语义（内涵）。在应用时，形式转化就是实现了从不确切的语义向明确的语义的转换。已知方向向量的直线l过点和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆的右准线上.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线交椭圆于点，满足（为原点），求直线的方程；若不存在说明理由.显然，将直线方程设出解决此问题的关键在于寻找控制的条件，即确定关系式的数学意义，特别是相应的几何意义，即获得关于的方程。问题中的已知条件，其式子的语义（数学意义）在宏观上是关

22、于两向量的数量积的，但式子左右相关的整体性意义不明显。寻找表达式整体意义可从构成表达式的局部式子入手，即确定和的语义及其关系所显现的数学意义。而最先需要考虑的是要从内涵最隐晦的符号形式入手，在此理解的本真意义不难，而在此整体情境下去确定其与的关系在计算量上并不简单。由此分析可知，我们必须对局部和两式进行变形，每一次变形均从变形（转化）的方向是追求符号关系式意义的显明。显然，解决此问题的关键在于寻找关系式的数学意义，特别是相应的几何意义。在进行变形过程中，每一次变形均从内涵最隐晦的符号形式入手，变形（转化）的方向是追求符号关系式意义的显明。 （符号形式上的变化已引起相应语义上的改变，只是此时的语

23、义仍不明确到足以解决此问题） （由） （由此符号形式联想三角形面积表达式） （寻找与的关系，指引我们在保持语义的前提下做进一步形式上的变化） 进而用直线的斜率将分别表示出来，并通过解方程求出，使问题得到解决。 实现上述转化的可能性在于形式本身具有数学运算意义，即操作意义。在对一表达式做形式转化时并不意味着在转化变形的每一阶段都会显现明确的语义，有时解题者也不会去关注每一步形式的确切语义，只需关系每一转化都朝向语义显现的方向即可，或说向简单、已知、目的的方向转化即可。 鸡兔同笼，方程组具有与问题相应的特定的语义即本真意义，又有形式上具有的纯粹运算关系所体现的操作意义。而单纯对方程组进行求解时，就

24、暂时不考虑其语义即本真意义，或说其本真意义在外在形式改变时会改变，这样，就仅对表达式进行纯形式变形操作。或说解题者在对形式进行变化时，在某些阶段可不考虑某一形式的相应的数学意义和本真意义，但实际上，某一变形过程中的特定形式完全可能具有与先前形式结构本质相同或说同构的意义，如上述方程组求解在第一步带入消元时所得方程就具有明确的意义。所谓解题思维的灵活性即可看作是在解题过程中能迅速合理地将符号形式与相应的语义及相关的符号形式与语义进行匹配。即可保持形式不变而调整其相应的语义或保持语义不变而变换形式，总之，解题中的化归活动就是反复变化形式、转换语义直至为简单的、已知的形式及语义上。 用等价条件和结论

25、替换得来的问题都是等价的。等价问题实际上是对同一事物的不同方面不同形式的刻划。数学中两个等价的问题，往往只是其中所用的对象名称不同，而这些对象之间的一切关系和所有运算实际上是相仿的。某一命题的等价命题愈多，等价命题之间在形式上的差别愈大，其结论也就愈深刻，从而愈有价值，因为这些命题建立了许多表面上很不相同的事实之间的本质了解。 数学是一门具有理性化、模式化、形式化、符号化特征的抽象的学科，其本身完全是关于概念、关系以及相应符号的纯形式的逻辑建构。正因为以上的特征数学所表现出来的形式化、符号化，通过语义转换可以将抽象的数学概念、关系和符号转换为各种不同的表示形式介绍给学生，供不同思维的学生选择。

26、这样不仅可以增加学生对概念的感性材料及感性经验的数量，使学生掌握数学概念、关系和符号的本质特征，而且可以使学生在遇到一些较为复杂的问题时会相对考虑的严密一些，周全一些。另外，在不同问题情境下通过语义转换，探索恰当的表示形式以探索解题思路、优化解题过程。这种转换可以是代数与几何之间的转换，也可以是研究对象的转换，或是对常量与变量的不同理解。无论是不同领域之间的转换，还是相同领域的转换都是一种探索活动，探索的关键是正确的定向，即为解决问题尽可能的确定正确的方向。例 设是定义在上的单调增函数，若对任意恒成立，求的取值范围。 解：因为是R上的增函数，所以，（这是一个化归动作，脱去了外壳f，根据表达式的

27、内涵的转变，实现了形式的改变）上式可化为：对恒成立（这个不等式即可看作是关于x的一元二次不等式，又可看作是关于a的一元一次不等式，由此可带来两种方法。其实，这里已经实现了问题的转换。） 令 则当且仅当对恒成立， 解之，得或。即实数x的取值范围是或。 第15讲 解题意义下的数学知识的组织问题（一）一等差等比数列的“变化”非等差非等比的一阶递推问题； 三种情形：（1）；（2）或；（3），而所求也一定是通项和数列前项和.那么，在具体求解过程中，关键就是利用进行适当转化.这样可以将（2）或问题转化为（1）和（3），而（1）、（3）两型问题实质是同一问题.因此，我们集中考虑针对所给出的递推关系求通项问题

28、.最近我们已经做过了下面几道题：例已知数列中，且对任意正整数都有，数列对任意正整数都有.（1） 求证：数列为等比数列；（2） 求数列的通项公式.例已知数列中，且.求通项.（2009全国卷一理20）在数列中，.（1） 设，求数列的通项公式；（2） 求数列的前项和.（2009全国卷二理19）设数列的前项和为.已知，.（I）设，证明数列为等比数列；（II）求数列的通项公式.我们可以看出这些问题都是型问题，解决问题的方法是利用等差等比数列实现转化，求出由递推关系给出的数列的通项公式.现在，考虑的各种具体形式，寻找解决这些问题的一般方法.1常系数一阶线性递推数列的通项公式设数列满足：已知，且.求其通项公

29、式.这是一阶线性递推数列，此类数列是由等差、等比“合成”的，其解法可参照求等差等比数列通项公式所用的累加累乘的方法.（1）迭代归纳.解法可参照求等差数列通项公式所用的累加的方法.（2） 可参照求等比数列通项公式所采用的累积（乘）的方法.具体而言，可设.不论是否等于，通项公式总是.2变系数一阶线性递推数列的通项公式变系数一阶线性递推数列的递推式有三种形式：（1） ；（2);（）（3）求通项公式的一般方法是迭代：运用递推式连续向前递推，直到用表示. 在特殊情况下，也有简便方法.例如对，设，得，于是有.又如，对于，可通过，用累商法求得.例已知数列中，且对任意正整数都有，数列对任意正整数都有.（1）求

30、证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式. 此题（1）的求解可以在的引导下将借助等比数列实现转化. 此题若没有辅助，即解一般递推关系数列，可以考虑逐步代入的迭代方法. 也可根据求等差数列通项公式的累加法来求上述数列的通项.两边累加，右边是等比数列，得，整理. 也可.利用等比数列求通项的累积方法，将这些式子乘起来，得到整理，得最后，得.解题意义下数学知识的组织 学习数学就要理解数学概念、命题及其了解，这是成功解决数学问题的前提条件。数学解题离不开数学知识组织，数学的解题是以知识的掌握和知识组织为核心,良好的知识组织有利于数学解题活动中知识的再现及有效提取，使数学思维能够合理、有效进行。知识组织

31、的实质应是清晰、连接稳固、灵活，这对成功解题有重要意义。（一）知识组块（1）新知识一个概念、一个命题在获得过程中与有关知识的了解及对概念命题外部理解过程中与相关知识的了解，这里还包括方法性知识，使学生认知结构中的知识组织了解化。（2）注重不同主题知识的相互了解，使学生认知结构中的知识组织综合化；指导学生学会概括，使学生认知结构中的知识组织条理化；在数学例习题试题之间寻找了解，使学生认知结构中的知识组织结构化。数学知识结构是数学课程与教材的知识体系，是由数学概念、公理、定理和方法形成的知识结构，是一种客观存在。不同内容之间存在着一定的关系，即名词符号之间，数学的概念之间，数学的命题之间，以及符号

32、、概念、命题之间都存在各种关系，数学知识结构是形成学生的认知结构的基础，更确切地说是形成学生头脑里知识组织的基础。有时学生很难理解新学到的知识，这需要利用以前学的旧的知识与之了解起来，而新旧知识的融合使我们增强了对于知识的理解。知识与知识不是孤立的，而是有了解的，所以应把小的、散的知识总结成知识组块的形式表征在脑子中短时记忆容量的有限性就决定了必须对知识进行打包整理，形成知识组块，以备在复杂情境中及时提取调用。（二） 知识的情境性 解题意义下知识的组织问题并不限于讨论概念与命题及其形成的网络化的组织形式，特别的，要在问题解决的驱动下分析知识的有效了解，如问题中条件的关联，条件与解题者长时记忆中

33、相关知识的条件性、有效性的了解。如三角形面积计算有多种表示方法，在解析几何中，根据不同的问题情境采取不同的表示方式。知识的情境性涉及题型知识，可将有关问题按一定题型组织起来，如圆锥曲线的焦点弦问题。（三）策略性知识数学思想方法以及数学观念。中学常用的数学思想方法有函数与方程、转化、分类讨论和数形结合等。 如：为什么学数列？如何利用等差、等比数列去解决等为一般（复杂）的数列？研究简单的等差、等比数列，并利用等差、等比数列实现转化以处理较为一般的数列问题。（四）以典型题为核心组织知识、方法、习题及活动经验数学解题中的典型题分析有助于知识组块的形成，从数学的大观点核心思想出发，整体把握各部分知识的内

34、在了解,从而解决问题。在高中的解析几何教材中，有这样一题：过抛物线焦点的一条直线和此抛物线相交，从两个交点分别向作垂线，求证：两个垂线段的乘积为常数。解决该问题可以认识到该题所涉及的结论实质上是抛物线焦点弦的一个基本性质，我们可以从抛物线焦点弦性质理论的高度挖掘抛物线焦点弦的几何性质，掌握解决这一类问题的思想方法和规律。立足教材挖掘和发挥教材的例题、练习题的潜在功能及指导价值是编选练习题要注意的问题之一。第16讲 解题意义下的数学知识的组织问题（二）数列不等式的证明问题（一）常用方法：1.利用数列的单调性；2.数学归纳法；3.逐项放缩法；4.辅助数列法； 5.构造函数法等等1放缩法（裂项相消）

35、例1（2008理辽宁2112分）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明： 本节课讲授数列不等式问题。所面对的基本问题是求一个数列的前项和值的估计问题。一般而言，解决此类问题通常是用放缩法。作为基本常识，计算数列前项和是一个典型的通过裂项相消达到放缩目的的例子。我们观察到有与完全类似的特征。对前者进行裂项，必须调整，照顾到分母的了解以使分子为常数，得。代入一些值后就可看出此裂法有问题，前后两项的分母一奇一偶，致累加时不能相消。仔细分析其原因，与相比可知所裂两项前后“不搭”，导致难以相消。

36、如何解决？将后一项的分母调整为与前者相应的奇数，即得。代入数值进行累加，我们可以就得到。另可考虑直接利用典型数列，即转化为形式，具体为，同样代入值，两边累加，发现结果与要求不符。问题出在哪里？从大的观点来看，数列求和问题涉及数列的极限，对于某些数列而言，它收敛，即有极限，但不一定能求出。这时我们需要对数列的和进行估计。而估计方法的不同，可获得不同精度的结果，上述两种方法都是由于放大过大或过早引起的最终结果是过了题目的要求。如何改进？仔细分析可以看出，问题出在放早了，解决的办法是从第二项开始放，则有。进一步思考（研究性学习），若我们从第三项开始放，是否可以获得更好的结果？另外，估计值为的式子也可

37、通过上述方法得以解决。数学知识组织问题对于解题者成功解决数学问题具有重要意义，涉及到解题思维活动中相关知识的再现及提取后的有效组织，一般意义上说是影响学生认知结构形成的重要因素.近年来，解题教学已经成为中学数学教育教学领域的热门话题.在当代认知心理学理论的指导下，人们对解题思维活动有了新的理解，对解题意义下知识组织的问题的认识已有了观念上的改变.中学数学解题是以概念命题为基础，以解决问题为目标将知识组织起来，把知识归类，使知识组织了解化，综合化，条理化，结构化.知识的组织与解题是紧密相连的,数学的解题是以知识的掌握和知识组织为核心,而知识组织的实质应是清晰、连接稳固、灵活，从而有助于对问题的解

38、决.中国的数学教育正在从“应试教育”向“素质教育”转轨，具体而言就是从大量简单重复训练形成以套用题型为主的“题海战术”走向以提升学生思维能力水平教学方式，而思维活动的质量具体表现为知识的再现与及时有效地提取，这与知识的组织有关，因此，研究解题教学意义下数学知识组织问题就显得十分重要.如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵器”就是数学基础知识，知识组织就是让这“兵器”更锋利.当代认知心理学认为，知识的组织是影响认知结构形成的重要因素.因此，教师需要掌握合理的教学策略：把知识归类为不同角度，使学生认知结构中的知识组织了解化；注重知识的渗透，使学生认知结构中的知识组织综合化；指导学生学会反思整合，使学

39、生认知结构中的知识组织条理化；重视整体性教学法的实施，使学生认知结构中的知识组织结构化.数学知识结构是数学课程与教材的知识体系，是由数学概念、公理、定理和方法形成的知识结构，是一种客观存在.不同内容之间存在着一定的关系，即名词符号之间，数学的概念之间，数学的命题之间，以及符号、概念、命题之间都存在各种关系，数学知识结构是形成学生的认知结构的基础，更确切地说是形成学生头脑里知识组织的基础.解题意义下知识的组织问题并不限于讨论概念与命题及其形成的网络化的组织形式，特别的，要在问题解决的驱动下分析知识的有效了解，如问题中条件的关联，条件与解题者长时记忆中相关知识的条件性、有效性的了解，这是我们讨论的

40、重点.其实这也是要求我们把不同的知识利用我们的大脑把它系统化的组织起来.解题意义下的知识组织问题是一个值得长期研究的问题，它可以使学生更好的学习和解决问题.专家知识是新的学习科学所重点研究的问题，专家能够识别新手注意不到的信息特征，专家按照核心概念和大观点组织知识，能够顺畅提取知识库中条件化信息，以及与教育教学知识融会贯通而具有教学的适应性.专家知识的特征为数学教学提供了改善学生模式识别、知识组织、顺畅提取和元认知监控的有益启示。专家的推理和解决问题能力取决于他的组织良好的知识，这些知识影响他们所关注的事物和问题再现的方式.虽然专家拥有大量的知识，但是只有一部分知识与特定问题相关，于是与任何有

41、关的信息需要有选择性地提取，专家以相对“ 不费力” 的方式提取相关知识.这种顺畅的提取并不意味着专家完成任务时所花的时间总比新手少，反而为了充分了解问题，专家常常多用时间。 数学知识的情境性问题1数学知识产生于具体的问题情境中是数学问题的提出与解决产生了数学概念、命题及思想方法。问题本身自然带有情境。这里的情境可具体指知识产生的背景、场合，抽象点说是原因、出发点。2数学的定义、命题及表达的符号在不同的具体情境中会有不同的含义如就具有多种含义，可随具体情境变化而具有不同含义。再如对等差数列的刻画：这里所列公式都是对等差数列本质特征的等价表示，对公式的简单记忆对于成功解题意义是不大的。因为，对于所

42、面对的具体问题，关键在于能否判断出应用哪个公式。比如已知，求证该数列是等差数列。问题的关键是你选用哪个表达式作为证明的落脚点。因此，这些等差数列的彼此等价的表达式在解题者的认知结构中的心理表征是涉及情境的，我们要在认知心理学的理论指导下，认清我们心里的知识结构的表征与通常说的知识结构是不同的，知识的表征是图式的，与命题网络、线性排序有关甚至包括视觉、知觉，另外还有产生式（组）。 椭圆定义及表示3从应用的角度看，问题总是具体的变化着的，而相对于问题而言，解题者的知识是有限度的，解题者如何将知识应用于新的问题情境，关键在于认知结构中的知识已应用于类似的问题情境，使得解题者针对头脑中问题与当前问题情

43、境在结构等差异方面能够做出明确的区分。这里成功解题的可能在于两者的差异不会超越解题者的思维跨度。如果解题者对一具体知识的内在结构及其表示与很少的场合有过应用体验，而新问题情境与以往的解题经验差距很大，解题者对新问题的理解就不充分，模式识别就难以进行，先前的知识及应用知识的经验就不能应用于新的情境。知识具有情境性。即知识的组织不是简单按照课本上知识的发生顺序和逻辑关系来进行组织的，而是有典型的问题情境为线索将相关知识组织起来。由于教学过程是循序渐进的，学生容易形成概念、命题的线性排序，或以知识主题为线索将知识组织起来。而实际解决问题过程中，知识的应用是跨主题的、是综合性的，是以问题模式为主题的。

44、这就要求解题者要在解题的学习过程中不断充实调整自己的知识结构。如等腰三角形、角分线、平行线三位一体的知识块，解题者对此知识的表征就必须具有情境性，否则就不能应用。如在三角形内角平分线性质定理的证明上就生动地体现了这点。解圆锥曲线与直线问题相关知识的组织，具体如焦点弦问题、垂直平分线问题、切线问题、直线的垂直、平行问题、三角形面积问题、极值问题。在方法上与点斜式、定比分点、向量、导数等密切相关。在这里，要将一类问题组织起来形成问题组，并选取其中典型问题进行分析，将相关知识通过此问题而得到组织，这时的知识就具有了情境性。如三角形的面积计算，在圆锥曲线与直线的问题情境中，它的计算会有具体的方式与表达

45、形式，是与情境即应用的场合密切相关的。通常三角形面积的计算可表示为，这是小学生对三角形面积计算公式的知识表征。这样形态的公式表征与小学生的问题情境是相应的，但作为高中生去求解有关问题就是不适当的。对于高中生求解圆锥曲线问题，在计算三角形面积时，可以有针对性地考虑以下公式，显然不可能应用海伦公式。这里非常明显与特定的问题情境相关联。已知方向向量的直线l过点和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆的右准线上.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线交椭圆于点，满足 （为原点），求直线的方程；若不存在说明理由.在具体的变形过程中，外在的表现是技能性操作或说特殊性解决，而实质上上述

46、推演完全是建立在对问题情境的判断上，这完全是策略性知识的运用，是通过模式识别后对相关知识的选择与调用。具体而言，就是通过此等式找到所满足的条件即方程，所有变形都是为了将意义不明的关系显现出有明确数学意义的关系式。三、一般化与特殊化策略（一）（第5讲）作业：如何挖掘命题中的特殊因素以促进问题解决的转化？（1）在问题结构中常常存在那样一些特殊的数量或关系结构，或性质特殊的元素，抓住这些特殊因素往往能直接切中问题的要害，找到解决问题的突破口。但这类特殊因素有时却难以察觉。一般而言，对数学中的某些特殊图形、特殊关系及某些特殊概念及其性质掌握得越多、越熟练，就越易发现问题中的特殊因素。（2）在解决数学问

47、题时，对于一些较复杂、较一般的问题，如果一时找不到解题的思路而难以入手时，不妨先考虑某些简单的、特殊的情形，通过它们摸索出一些经验，或对答案作出一些估计，然后再设法解决问题本身。（3）特殊化方法是探求解题思路时常用的方法，许多数学问题常常可以从研究它的特殊情况出发，通过观察、类比、归纳、推广等方法，获得关于所研究对象的性质或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。著名数学家希尔伯特曾经说过：“在讨论数学问题时，我相信，特殊化比一般化起着更重要的作用，我们寻找一个问题的解答而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。这一切都有赖于

48、找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”书中讲述：设法找出一种使结论显然成立或较易证明的特殊情况，从中得到启示，从而去揭示一般规律，去发现或猜测一般情况或一般方法. 从不同的角度进行特殊化，寻找问题的突破口. 注意分析、抓住问题中特殊的数量关系，或部分元素间的关系，找出问题的切入点. 第四章 数学化活动的一般方法数学抽象方法（第10讲）引例6 以概念的形成方式获得精确概念的心理过程：辨别刺激模式找出共同属性确认本质属性形成概念第一， 辨别刺激模式给学生提供的刺激模式应该是正例，而且，数量要恰当；向学生呈现刺激模式时，应该采用同时呈现的方式，以利于学生进行分析比

49、较，以减轻学生的记忆负担；要注意选择的刺激模式适当，变化性大和新颖有趣的例子为刺激模式，这样的刺激模式有利于学生深入的观察，展开积极的思维活动，对各个刺激模式的属性进行比较，有利于培养学生从平常的现象中发现不平常的性质。第二， 找出共同属性要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，在分化和比较的基础上，引导学生及时对各个刺激模式中的共同属性进行抽象，并从共同特征中抽象出本质属性，及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确，迅速的掌握概念，因为这时学生还没有智力动作与刺激模式中的无关特征了解起来的习惯，否则就有可能使无关特征得到

50、强化，使学生将刺激模式中的无关特征当成本质特征。从而产生对概念的错误理解。第三， 确认本质属性在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师因该采取适当的措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念湮没。第四， 形成概念必须使新概念纳到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关观念建立起实质的非人为的了解。这样可以使概念的记忆效果提高，有利于概念的检索，有利于用掌握的概念去吸收和理解新的知识。一抽象和数学抽象1抽象抽象通常有两种意义的理解：一是指从事物中区分出个别的非本质的属性特征和共同的本质的属性特征,并舍弃个别的非本质属性特征而抽取出共同

51、的本质属性特征的过程和方法；二是指用来形容那种偏离具体经验较远,因而不太容易理解的对象的一种程度词抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。 抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、了

52、解和关系的统一。而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、了解和关系。抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对某一事物的概念。抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。抽象过程：抽象过程是非常复杂的。但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即比较和区

53、分、舍弃和收括。其中，比较和区分是抽象过程的基础。我们知道，抽象是要抽取同类事物的共同的本质属性，因此抽象首先就要找到同类事物的本质属性，这是通过比较和区分环节完成的。比较和区分就是在思维中确定对象的共同点和不同点，并把这些共同点和不同点在思维中固定下来，有时则需要按照共同点和不同点把对象分类。如质数、合数概念的形成。通过对自然数能否被其他数整除作比较，发现有些自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除；有些自然数除了能被1和自身外还能被其他数整除；而1只能被1整除。这样通过比较区分，就把最初所考察的对象自然数分成了3类。舍弃和收扩则是在比较和区分的基础上，舍弃掉对象的某些性质，同时收扩我们需

54、要的某些性质。如上例，舍弃掉具体的除法运算等性质，收扩一个自然数被其他自然数整除个数的性质，分别形成了质数和合数的概念。这四个环节中，比较和区分是基础，而舍弃和受扩是在比较和区分基础上进行的。概括方法：概括的含义概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去，二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。概括种类：概括通常可分为经验概括和理论概括两种。概括过程一个概括过程通常通过比较、区分、扩张、分析等几个主要环节完成的。比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和区分要得到

55、的是某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象当中去。扩张是概括的关键。在扩张中得到更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。为此，就要进行分析。分析实际上是一个演绎证明过程，证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。3抽象和概括的关系抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。而概括侧重于归纳和综合。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基础，概括是抽象的发展。2数学抽象 抽象并不为数学这一门科学所独有，其他科学都具有抽象的特性。但是，数学的抽象程度大大超过了其他科学，全部数学都具有抽

56、象的特征。 上述抽象的一般含义是在哲学范畴中的，我们这里所说的数学的抽象，主要是指思维活动中的抽象。我们认为这种抽象不仅可以在感性具体和理性具体之间搭建思维的桥梁，也可以在此理性具体和彼理性具体之间搭建思维的桥梁，前者必须依赖于感性具体，而后者则不必依赖于感性具体。针对数学的发展所依赖的抽象而言，我们称前者为第一次抽象，后者为第二次抽象。虽然这两次抽象有着程度上的差异，但总体上可以认为，第一次抽象有利于发现新的知识，而第二次抽象有利于合理解释那些发现了的知识。即数学的抽象具有明显的层次性，这也是数学抽象与一般抽象的本质区别。 教学目标：理解数学抽象的思维过程，并能结合具体实例做出分析作业：线性

57、空间概念的抽象思维过程分析二数学抽象的特征和基本原则（第11讲）1数学抽象的特殊性（1）内容上的特殊性 数学抽象内容上的特殊性是指数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容,而仅仅保留了它们的量的属性,即数学抽象的目的意向只是数量关系和空间形式这种特殊的抽象内容决定了数学与其他自然科学的区别,也决定了数学抽象的特殊性：数学抽象具有量化特征和形式化特征（2）方法上的特殊性 数学抽象方法上的特殊性是指数学抽象是一种构造性活动,是借助定义和推理进行的逻辑建构数学抽象的这种构造性特点就决定了数学抽象具有层次性的特征（3）程度上的特殊性 数学抽象程度上的

58、特殊性是指数学抽象达到的程度远远超过自然科学中的一般抽象正是由于数学中大部分研究对象并非建立在对于真实事物的直接抽象之上,而是在抽象对象上的再抽象的结果,即由相对初级概念逻辑得抽象或定义出新的抽象度更高的概念,使得数学抽象的程度远远超出其他学科中的一般抽象这正反映了数学概念形成基本规律：数学概念是以先前的抽象概念积累起来的经验为基础,通过一系列的抽象与概括而产生的 数学的高度抽象性还表现在它的发展和自由性就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次：（ 1）把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。 （ 2）去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经

59、简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。 （ 3）通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。2数学抽象的特征（1）理想化特征即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合。（2）模式化特征通过数学抽象而成的抽象物，当我们不考虑它与现实原型的了解时，它就获得了独立的存在性，成为一种真实的“数学客体”。相当于原型而言，它具有更为普遍的意义。因为它所反映的已不是原型这一特定事物或现象的特征，而是更大一类事物的共同特征，即它事实上成为了一种模式。

60、（3）形式化特征数学研究对象是纯形式的思想材料，整个数学是一个纯形式的思想体系。（4）符号化特征作为数学研究的对象的抽象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步符号化。3数学抽象的基本原则逻辑建构形式化原则对现实原型进行数学抽象，必须使之舍去现实意义，仅保留其数量上或空间上的形式结构特征，并给抽象物以无歧义性德逻辑精确性和简洁性的形式表述。数学抽象就是借助于明确的定义在已有模式基础上逻辑建构新的模式。建构的新模式应具有一定层次上的普遍性和概括性，在与已有理论的关系上，应做到和谐统一，不会引起有关知识领域的矛盾。三数学抽象的主要方法（方式）（第12讲） 1理想化抽象：理想

61、化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的数学对象的思维过程。由理想化抽象形成的数学概念的性质，并非客观事物本身所具有的，而是从实际事物中分离出来经过思维加工而得到的。有利于数学研究。2性质抽象所谓性质抽象,就是考察别研究对象某一方面的性质或属性,而抽取符合我们认识的量性方面的性质或属性的抽象一般而言,性质抽象包括以下两个步骤：分离和概括. 性质抽象是形成概念的一条重要途径数学中的概念都是具有一定属性的概念,即都有精确的内涵和外延要想形成某概念,显然必须将反映其内涵的性质抽象出来,并通过概括,用词语表达出来3关系抽象数学关系抽象是指根据认识目的从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系而舍弃其物理现实意义或其他无关特征的抽象一般分两步：第一步,分析影响问题的因素,确定问题的范围现实世界中的事物或现象,从它们与问题的相关程度来说,可以分为三类：作为直接研究对象的事物或现象；对被研究对象有影响,但本身不是研究对象的事物或现象；与研究对象无关或其本身的影响很小的事物或现象在进行关系抽象时,第三类是完全不需考虑的,第二类也只需要做适当处理,重要的是弄清第一类,以便确定问题涉及的因素及范围第二步,对与问题直接或间接相关的因素之间的相互制约关系进行专门研究,以抽取,确定其中的关