数学破题36计

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1、数学破题 36 计第 2 计 西瓜开门滚到成功计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球。 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”。 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”。数学命题是二维的。 一是知识内容，二是思想方法。 基本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想，划分讨论思想，等价交换思想，特殊一般思想。 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号。典例示范题1 （ 2006 年赣卷第5 题）对于R 上可导的任意函数f（ x），若满足（x 1） f （ x）0，则必有A f（ 0） f（2） 0（ 0）找单调区间，最后的

2、问题是函数比大小的问题。由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到。解三 （ i ）若 f（ 0）= f（ 1）= f（2），即选 B ，C，则常数 f（x） = 1 符合条件。 （右图水平直线）（ ii）若 f（ 0）= f（ 2） f（ 1）对应选项 C，D（右图下拱曲线）。 则满足条件（ x 1） f （x） 0。探索 本题涉及的抽象函数 f（x），没有给出解析式，只给出了它的一个性质： （ x 1） f （ x）0，并由此可以判定 f（ 0）+ f （2） f（ 1）。 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数。变题以下函数 f（ x），具有性质（ x1）

3、f （ x）0从而有 f（ 0）+ f （ 2） 2f（ 1）的函数是A f（ x） = （ x1） 315B f（ x） = （ x1） 2C f（ x） = （ x1） 3D f2006（ x） = （ x1） 2005解析对 A ， f（0）= 1， f（ 2） =1 ，f（ 1） =0，不符合要求；对 B，f（ 0）无意义；对 C， f（ 0） = 1， f（ 2） =1 ， f（ 1） =0，不符合要求；答案只能是 D 对 D ， f（0） = 1 ， f （ 1） =0， f（ 2）=1。2006120061且 f （ x）=（ x1） 20051）（ x1） 2005200520

4、05使得 （ x1） f （ x） =（ x0。说明以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数。如 f （x） =（ x1）2n2m 1 ，其中m， n 都是正整数，且nm。点评 解决抽象函数的办法，切忌 “一般解决 ”，只须按给定的具体性质 “就事论事 ”，抽象函数具体化，这是 “一般特殊思想 ”在解题中具体应用。题 2 已知实数 x， y 满足等式 4 x29 y 236 ，试求分式xy的最值。5分析“最值”涉及函数， “等式”连接方程，函数方程思想最易想到。解一（函数方程思想运用）y令kx55） 与方程 4x29 y236 联立y = k （ x消 y，得： (49k 2 )

5、x290k 2 x925k 2360根据 x 的范围 x3,3 应用根的分布得不等式组：(90k ) 24(9k 24)(925k 236) 0f (3)9(9k 24)909k 2925k 2360f (3)9(9k 24)909k 2925k 2360390k 232(9k 24)1k11y 111解得即x5即所求的最小值为，最大值为。2222221y1插语解出2 x52，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试。解二（数形结合思想运用）由 4x29 y236 得椭圆方程x2y 21，94y看成是过椭圆上的点（x， y），（ 5， 0）的直kx5线斜率（图右） 。联立4x 2

6、9 y 236得(4 9k2)x290k2x9 25k236 0yk (x5)令0 得 k1，故y的最小值为1，最大值为12x 52。2插语这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了。因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开” 。点评“西瓜开门”把运动学带进了考场解题。滚动能克服解题的思维定势。解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”。 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”。对应训练1若动点P 的坐标为（ x， y），且 lgy， lg|x|， lg yx 成等差数列，则动点 P 的轨迹应2为图中的（）2函数 y

7、=11x2（ 1x0）的反函数是（）A y=C y=2xx 2 （ 0x1）B y= 2xx2（0x1）2xx 2（ 1x0）D y=2xx2（ 1x0， a+2b+cacCb2ac 且 a0Db2ac 且 a参考答案1【思考】利用题设的隐含条件。由条件知x0， y0 且 yx。选项 B 中无 x0 的图像，均应否定；当x=y R +时， lg yx 无意义，否定 A，选 C。2【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项。本题的常规解法是：当yxx0且 yx 时，由 lgy+lg=2lg| x|，化简可得（ x+y）（ 2x y） =0。2 y= x 或 y=2 x（ x0， y0）。2【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别。定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项。原函数定义域为1x0，其反函数值域为1y0，a+2b+c0，f（ 1） =a+2b+c0，即 b2ac，故选 B 【点评】在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发4b4a+c，2b a c， 不等号的方向无法确定，思维受阻。用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快，如解析一。用判别式法逻辑性强但思路难寻，如解析二。一般在做题时，为了使选择题解题速度变快，推荐学生使用解析一。