八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

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1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPPO2ccccACbCCbabBCabABAaaBBA图1图2图3图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2 ，即 2Ra2b2c2 ，求出 R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是（C）A 16B 20C 24D 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是9解：（ 1） Va 2h16 ， a2， 4R2a2a2h244 16 24，S24，选 C；（2）4 23 33

2、9， S4 R29R（ 3）在正三棱锥 SABC 中， M 、 N 分别是棱 SC、 BC 的中点，且 AMMN , 若侧棱 SA23 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。 36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH平面 ABC ，SHAB ，ACBC， ADBD，CDAB，AB平面 SCD，ABSC ，同理： BCSA ， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3） -2 ，AMMN ， SB /

3、MN ，SACAMSB，ACSB ，SB平面 SAC ，SBSA， SBSC ，SBSA， BCSA，DHEB(3) 题-1SA 平面 SBC ，SA SC，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，M(2R)2(2 3)2(2 3)2(2 3)236 ，即 4R236 ，AC正三棱锥 SABC 外接球的表面积是36NB1(3) 题-2（ 4）在四面体 SABC中， SA平面 ABC ，BAC120 , SAAC2, AB1, 则该四面体的外接球的表面积为（D） A.11B.7C. 10D. 4033（ 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 、3，那么它的外接球的表

4、面积是（ 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析： （ 4）在ABC 中， BC 2AC 2AB22 ABBCcos1207 ，BC7 ，ABC 的外接球直径为 2rBC72 7，sin BAC332(2R)2( 2r ) 2SA2(2 7)2440， S40，选 D333（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b, c （ a, b,cR），则ab12bc8，abc24 ，a3 ， b4 ， c 2，( 2 )2a2b2c2292，S 4 R29，Rac6（6） (2 )2a2b2c23， R23 ，R3R4

5、2PV4R34333，3382AC类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1题设：如图 5， PA平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O1 为ABC 的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出小圆 O1 的半CAO1D径 O1Dr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得Babc1PA；图 52r ）， OO1sin Asin Bsin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA2(2r )22RPA2(2r )2；2 R2r 2OO12Rr 2OO1

6、 22题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点PPPPOOOOCCCCO1AAO1O1ADO1BBABB图 6图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO2BC2O2DOCBBDOOO图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P, O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1r ，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2(hR) 2r 2 ，解出 R方法二： 小圆直径

7、参与构造大圆。例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )CA 3B 2C 16D以上都不对3解：选 C， (3R)21R2, 32 3RR2 1R2, 423R 0,R 2,S 4R2 16333类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PPPPOOOAAO1CAO1CAO1CCBBBB图 9-1图 9-2图 9-3图9-41题设：如图 9-1 ，平面PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC 的外心，即PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r ；第二步：在PAC 中，可根据正弦定理abc2R ，求出Rsin Bs

8、in Csin A2如图 9-2 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）OC 2O1C2O1O2R2r 2O1O2AC 2R2O1O 23如图 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱相等三棱 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P, O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1r ，再算出棱锥的高PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1 A

9、2O1O2R2(hR) 2r 2 ，解出 R4如图 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径），且PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA2(2r )22RPA2(2r )2 ； R2r 2OO12Rr 2OO1 2例 3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为 23 ，则该球的表面积为。（ 2）正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（ 1）由正弦定理或找球心都可得2R7， S4R249，（ 2）方法一：找球心的位置， 易知 r1 ，h1，hr ，故球心在正

10、方形的中心ABCD 处，R 1，4V3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC 的外接圆，此处特殊，RtSAC 的斜边是球半径，2R 2， R14， V34（ 3）在三棱锥 PABC 中， PAPBPC3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）AB.C. 4D.433解：选 D，圆锥 A, B, C 在以 r312的圆上， R（ 4）已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的求面上 ,ABC 是边长为 1的正三角形 , SC 为球 O 的直径,且SC2 ，则此棱锥的体积为（） AA2B3C2D26632解： OO1R2r 21 (3 ) 26 ，

11、h2 6，V1 Sh1 326233333436类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1C1A1A1O 2A 1O2O2B 1B1B1OOOCCCAAO1AO1BO1BB图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图 10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置， O1 是ABC 的外心，则OO1平面ABC ；第二步：算出小圆O1 的半径 AO1r ， OO11 AA11 h （ AA1h 也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2( h)2r 2Rr 2

12、( h) 2 ，解出 R22例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为81解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的关径为r ，则 a，2底面积为 S 63(1)23 3， V柱Sh3 3 h9 ， h3，R2( 3)2(1)21，42888225R 1，球的体积为 V43（ 2）直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球的表面积等于。解： BC234 ， r 2 ， R5，S 202 3 ， 2rs

13、in120（ 3）已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EEAEB3, AD2,AEB60 ，则多面体EABCD 的外接ADO1O球的表面积为。 16MO2解析：折叠型，法一：EAB 的外接圆半径为 r13，OO11， BCR132 ；法二： O1M3， r2O2 D13， R23134 ， R2 ， S162244（ 4）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB4, AC6, A, AA14 则直三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球。 1603的表面积为3解析： BC 216362 4 6128， BC27 ， 2r2747， r2 7 ，23332R2r 2( AA1

14、 )228440， S1602333类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( 如图 11)AOH 2DH 1AECB图 11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD 画在小圆上，找出BCD 和 A BD 的外心 H1和 H2；第二步：过 H1 和 H 2 分别作平面 BCD 和平面 A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接 OE,OC ；第三步：解OEH1 ，算出 OH 1 ，在 Rt OCH1 中，勾股定理： OH12CH12OC2例 5 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为 2的正三角形，则三棱6锥 PAB

15、C 外接球的半径为.解析： 2r2r24， rr2， O H12，P12sin 6031323R2O2H 2r12145，R15 ；O23333OA11法二： O2 H， O1H1，O13， AHH3CBR2AO2AH 2O1H 2O1O25 ， R1533类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径 （ ABCD ，ADBC ，ACBD ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步： 设出长方体的长宽高分别为a,b,c ， ADBCx ， AB CDy ， AC BDz ，列方程组，a 2b2x2x2y2z2b2c2y2

16、(2R)2a2b2c2，A2c2a2z2xDyyczz11补充： VA BCDabcabc4abcxC63bBa第三步：根据墙角模型，2Ra2b2c 2x2y2z2，图122R2x2y 2z2， Rx2y2z2，求出 R，88例如，正四面体的外接球半径可用此法。例 6（ 1）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形( 正四面体的截面 ) 的面积是.（ 2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A3 3B3C 3D343412解：（ 1）截面为PCO1，面积是2 ；（ 2）高 h

17、R1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2 ，设底面边长为a ，则 2Ra2 ， a3 ， S3a23 3，sin 6044(1) 题PO2CPOABO1B(1)题解答图7三棱锥的体积为 V13Sh43（ 3）在三棱锥 ABCD 中， AB CD 2, AD BC 3, ACBD 4, 则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为。 292解析：如图 12，设补形为长方体， 三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a, b, c ，则 a2b29 ，b2c24 ， c2a2162( a2b2c2 ) 9 4 16 29 ， 2( a2b2c2 ) 9 4 1629 ，a2b2c229 ， 4R2

18、29，S29222（ 4）如图所示三棱锥ABCD ，其中 ABCD5, AC BD6, ADBC7, 则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c ，2(a2b2c2 )2536 49110， a2b2c255 ， 4R255， S55【 55；对称几何体；放到长方体中】（ 5）正四面体的各条棱长都为2 ，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R3 ，R3， V4333238，2类型七、两直角三角形拼接在一起( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 模型PBCOA图 13题

19、设： APBACB90，求三棱锥 PABC 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OP,OC ，则 OA OBOCOP1AB，O 为三棱锥 PABC 外接球球心，然后在OCP 中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例 7（ 1）在矩形 ABCD 中， AB4， BC3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B ACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）A 125B 125C 125D 12512963解：（ 1） 2RAC 5，R5， V4R34125125，选 C23386（ 2）在矩形 ABCD 中，

20、AB2，BC3，沿 BD将矩形ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 ABCD8的外接球的表面积为解析：（ 2） BD 的中点是球心 O ， 2RBD 13， S4 R213 ；类型八、锥体的内切球问题P1题设：如图 14，三棱锥 PABC 上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E, H 分别是两个三角形的外心；第二步：求 DH1BD ，POPH r ， PD 是侧面ABP 的高；3第三步：由POE 相似于 PDH ，建立等式： OEPO ，解出 rDHPD2题设：如图 15，四棱锥 PABC 上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P, O, H 三

21、点共线；第二步：求 FH1BC，PO PHr ， PF 是侧面PCD 的高；2PFH ，建立等式： OGPO ，解出第三步：由POG 相似于HFPF3题设：三棱锥PABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；EOACDHB图14PGOADEHFBC图 15第二步：设内切球的半径为r ，建立等式： VPABCVOABCVOPABVO PACVO PBCVP ABC1 S ABC r1 SPAB r1 SPACr1 SPBCr1 (S ABCS PAB SPACS PBC ) r33333第三步

22、：解出 r3VPABCSO ABCSO PABSOSO PBCPAC习题：1若三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直， 且 SA2 ，SBSC4 ，则该三棱锥的外接球半径为（）A. 3B.6C.36D. 9解：【 A】 (2R)24 16166， R3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2 三棱锥 SABC 中，侧棱 SA平面 ABC ，底面 ABC 是边长为3 的正三角形， SA 23 ，则该三棱锥的外接球体积等于.323解析： 2r32， (2R)24 121624 ， R2432sin 60， R，外接球体积833【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3正

23、三棱锥 SABC 中，底面 ABC 是边长为3 的正三角形，侧棱长为 2 ，则该三棱锥的外接球体积等于.9解析：ABC 外接圆的半径为，三棱锥 S24，外接球半径 R2ABC 的直径为 2R3，sin 603或 R2(R3)21 ， R2，外接球体积 V4R343832 3，3333274三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC 边长为 2 的正三角形，ABBC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为.解析：PAC 的外接圆是大圆，2R24， R2，sin 60335 三棱锥 PABC 中，平面PAC平面 ABC ， AC2，PAPC3， ABBC ，则三棱锥PABC 外接球的半径为.解析： cosPPA2PC 2AC 29 9 47， sin 2P1( 7)216 2， sinP42，2PA PC2 3 3998192R299292222， R84496 三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC ， AC2 ，PAPC，ABBC ，则三棱锥 PABC外接球的半径为.解： AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心 O ，球半径为 R110