普通高等学校招生全国统一考试数学

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1、绝密启封并使用完毕前试题类型:2016年普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.选择题：本大题共12小题，每小题 题目要求的.5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合(1)设集合 S=S = 1xP(x-2)(x-3) _0、T =1xx 0，则 SI T=(A) 2，3(C) 3,+ ：)(B) ( ，2U 3,+ ：)(D) ( 0，2U 3,

2、+ ：)4i(2 )若 z=1+2i，则ZZ 1(A)1(3 )已知向量(A)30 0(C) i(D)-i(C) 60(D)120(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为5C。下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在0C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(8)在 ABC 中,n1B= - , BC边上的高等于-BC,则cosA =43(A)3 1010(B)-0101010(D)3.-010(C) 三月和十一月的平

3、均最高气温基本相同(D) 平均气温高于20C的月份有5个(5)卄3右 tan :-f 2，贝U cos亠 2sin2 =46448(C) 116(A)(B)(D) 252525431(6)已知a =23,b =4刁,c =253 ,则(A)b . a : c(B) a : b:c ( C)b . c:a (D) c a b(7)执行下图的程序框图，如果输入的 a=4 , b=6，那么输出的n=(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A)18 36、. 5(B)54 18、5(C)90(D)81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C

4、1内有一个体积为 V的球，若AB_BC, AB=6 , BC=8, AA1=3，则V的 最大值是(B)2(C) 6n32r：(D)3(11) 已知O为坐标原点，F是椭圆2 2x y22 - 1(a b 0)的左焦点，A,a bB分别为C的左，右顶点P为C上一点，且 PF丄x轴.过点A的直线 点，贝U C的离心率为(A)-3l与线段PF交于点M，与y轴交于点(C)-3(D)E.若直线BM经过OE的中(12)定义 规范01数列” 如下：an共有2m项其中m项为0,m项为1,且对任意k - 2m , a1, a2|, ak中0的个数不少于1的个数若m=4，则不同的规范 01数列” (A) 18 个(

5、B) 16 个(C) 14 个共有(D) 12 个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分x-y+1 0则z=x+y的最大值为,s+ 2y-2(13 )若x，y满足约束条件(14)函数一7二二一门：工的图像可由函数 -: .；：的图像至少向右平移个单位长度得到。(15)已知f(x)为偶函数，当甬卫时，二：二；一二；-；，则曲线y=f(x)，在带你(1，-3)处的切线方程(16 )已知直线二一 :二J -；.与圆芒计:交于A , B两点，过A , B分别做

6、I的垂线与x轴交于c, d两点，若|AB| = 23,则|仙|二.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分12分)已知数列脸J的前n项和匚.-：.，；,匚-.：. ,其中2 fO(I)证明际J是等比数列，并求其通项公式(18) (本小题满分12分)F图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(I) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明(II) 建立y关于t的回归方程(系数精确到 0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。(19) (本小题满分12分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA丄地面

7、ABCD , AD /BC, AB=AD=AC =3, PA=BC =4 , M 为线段 AD 上一点, AM= 2MD , N为PC的中点.(I) 证明MN /平面PAB;(II) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(20) (本小题满分12分)已知抛物线C : y2 =2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线1(2分别交C于A, B两点，交C的准线于P,Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 AR/ FQ ;(II )若厶PQF的面积是厶ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.(21) (本小题满分12分)设函数f (x) =acos2x+ (a-1) (cosx+1),

8、其中a 0,记护(x) |的最大值为 A.(I)求 f / (x)；(n)求 A；(川)证明卜；：；淳A.请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22. (本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，O O中AB的中点为P,弦PC, PD分别交AB于E, F两点.(I) 若/ PFB=2 / PCD，求/ PCD 的大小；(II) 若EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G,证明OG丄CD.23. (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程Ix - . 3 cos *.j,、在直角坐标系

9、xOy中，曲线C1的参数方程为y=si nr 为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin()=2、2 .4(I) 写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(II) 设点P在G上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标24. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) =| 2x -a | a(I)当a=2时，求不等式f(x)乞6的解集；(II)设函数g(x)斗2x1|,当R时，f (x) +g (x)求a的取值范围绝密启封并使用完毕前试题类型：新课标皿2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案一、

10、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。(1) D(2) C(3) A( 4) D( 5) A (6) A (7) B(8) C(9) B(10) B(11) A(12) C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分3(13) 22n(14)3(14) y - -2x -1(15) 4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16) (本小题满分12分)、 、 1解：(I)由题意得 ai

11、 = S = 1B，故-1， a，印=0.1 一九由 Sn h an，Sn 1 h a. 1 得 an 1 Van 1 - an，即 an 1( -1) Van.由印=0， - 0得 an = 0，an -1因此a*是首项为1，公比为-1 -的等比数列，于是an()1 一九 k 一 11 -1 -1(n)由(i)得Sn =1 -（）n，由 S31 得 1-（）5，即（）-， -132 -132 -132解得 - -1.(18)(本小题满分12分)解：(I)由折线图这数据和附注中参考数据得t =4，、(ti -t)2 =28，厂(yy)2 =0.55，i 4, i 4 (ti -t)(y -y)

12、i 477tiyiyi =40.17 -4 9.32 =2.89，4i 42.89r0.99.0.55 2 2.646因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合(n)由 y 二 932 :1.331 及(I)得 b? 77_ (ti -t)(yi - y)i 47、(ti -t)2i Jj103，自二 & -金 1.331 -0.103 4 0.92.所以，y关于t的回归方程为：?-0.920.10t.将2016年对应的t =9代入回归方程得：y-0.92 0.10 9 =1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.(

13、19)(本小题满分12分)2解：(I)由已知得 AM AD =2，取BP的中点T，连接AT,TN，由N为PC中点知TN / BC ,31TN BC =2.2又AD / BC，故TN平行且等于 AM，四边形 AMNT为平行四边形，于是 MN/AT.因为AT 平面PAB, MN二平面PAB，所以MN/平面PAB.(n )取BC的中点E ,连结AE ,由AB二AC得AE _ BC ,从而 AE _ AD ,且AE 二.AB2 - BE2 二 AB2 -( BC )2 = 5 2以A为坐标原点， AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，由题意知，P(0,0,4), M (0,2

14、,0) , C( 5,2,0) , N(-,1,2),25-5PM =(0,24), PN =(,1,-2) , AN =(,1,2).2 2n PM设n= (x,y,z)为平面PMN的法向量，贝Un pn二 0=02x 一 4z = 05，可取 n =(0,2,1),x y-2z = 02是 icos ：n,AN |= |n AN1 -8-22: y = b ,|n | AN |25则ab = 0，且2 2a2b2111aA( ,0), B(-,b), P(-；,a),Q(-；，b),R(-：，22222 2b).记过A, B两点的直线为I，则I的方程为2x-(a b)y ab =03分(i

15、)由于F在线段AB上，故1 a0.记AR的斜率为k1, FQ的斜率为k2，贝U,a ba b1-ab, ,k122b = k2.1 a a-ab a a所以AR / FQ5分(n)设I与x轴的交点为D(x1,0),则 S.abf11-|b a| FD = _ b _a2211b aX1 _ 一22由题设可得所以x1 -0设满足条件的 AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时，由kAB 二 kDE 可得a -b2(舍去)，yx -1(x = 1).所以 y2 =x -1(x =1).2当AB与x轴垂直时，E与D重合所以，所求轨迹方程为y2=x-1.12分(21)(本小题满分12分)解：(I

16、) f (x) - -2 as in 2x -(a 1)si n x .(n)当 a _1 时，| f(x)|=|as in2x (a-1)(cosx 1) a 2(a-1) =3a - 2 = f (0)因此，A=3a-2 .4 分当 0 ： a ：1 时，将 f (x)变形为 f (x) = 2a cos x (a -1)cos x -1 .令 g(t)二 2at2 (a -1)t -1，则 A是 |g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1) = a , g(1) = 3a - 2，且当 t =4a1 a时，g(t)取得极小值，极小值为g( )4a(a-1)28a2a 6a 18a1 a1

17、令-11，解得a(舍去)，4a31(i)当 0：a 时，g(t)在(-1,1)内无极值点，|g(-1)|=a , |g(1)|=2-3a , |g(-1)卜：|g(1)|,5所以A = 2 _3a.11 _ a(ii)当一a 1 时，由 g(1)g(1)=2(1a) 0，知 g(1)g(1) g( ).54a厂 1 -a 又1(1a)(1 7a)8aO所以A=|g？)| =4aa2 6a 18a12 3a,0 c a 兰一52厶宀 a +6a +11c 八综上，A, a ： 1 .9 分8a 53a 2,a Z1(川)由(I)得 | f(x) |=| -2asin 2x - (a -1)sin

18、 x|_2a |a -1|.1 当 0 ：a 时，| f (x)|乞1 a 乞24a ：2(2 3a) =2A.51a 13当 a 1 时，A1，所以 | f (x) 1 a : 2A .58 8a 4当 a -1 时，| f(x)p3a -1 乞 6a 4 =2A，所以 | f(x)F2A.请考生在22、23、24题中任选一题作答。 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22. （本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲解：（I）连结 PB,BC，则 BFD = PBA BPD, PCD = PCB BCD.因为 AP = BP，所以 PB

19、A 二 PCB，又 BPD 二 BCD，所以.BFD = . PCD.又.PFD . BFD =180 ,. PFB =2 PCD，所以 3 PCD =180 ,因此.PCD = 60 （n）因为.PCD BFD ,所以.PCD . EFD =180 ,由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在 DF的垂直平分线上，故 G就是过C, D,F,E四点的圆的圆心，所以 G在CD的垂 直平分线上，因此 OG_CD.23. （本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程2X2解：（I） G的普通方程为y=1 , C2的直角坐标方程为 x，y-4 = 0.5分3（n）由题意，

20、可设点 P的直角坐标为（、.3cos：，si n：），因为C2是直线，所以|PQ|的最小值,即为P到C2的距离d（：J的最小值，d（：J二|、3cos土 sin - - 4|22|sin(：)-2|.最小值为-.2 ,此时P的直角坐标为当且仅当=2k （kZ）时，dC ）取得最小值，610分(2,2).24. （本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲解：(I)当 a = 2时，f (x) =|2x - 2 |，2 .解不等式|2x -2|，2乞6，得一1空x乞3.因此，f （x）乞6的解集为x | -1乞x岂3.(n)当 x R时，f (x) g(x) =|2x - a| a |1 -2x|2x -a 1 -2x| aT1 -a| a,1当x时等号成立，2所以当xR时，f(x) g(x) _3等价于卩_a| _3.当a 1时，等价于1-aa_3，无解当a 1时，等价于a -1 a _ 3，解得a _ 2.所以a的取值范围是2, ：). 10分微信扫一扫第一时间获取2016高考真题及答案解析更有千元大奖等你来拿！