正态分布及经典习题集和答案解析汇总

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1、- 专题：正态分布 例：〔1〕随机变量*服从二项分布，且E〔*〕=2.4，V〔*〕=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1 答案：B。解析：，。 〔2〕正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。 A．95% B．50% C．97.5% D．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。 〔3〕*班有4

2、8名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕 A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B。解析:数学成绩是*—N(80,102)， 。 〔4〕从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。 答案：8.5。解析：设两数之积为*， * 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20

3、 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 ∴E(*)=8.5. 〔5〕如图，两个正态分布曲线图： 1为，2为， 则，〔填大于，小于〕 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1 答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A．越大 B．越小 C．越大 D．越小 答案： C

4、。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3．已在个数据，则是指 A． B． C． D．〔 〕 答案：C。解析：由方差的统计定义知。 4．设，，，则的值是。 答案：4。解析：， 5．对*个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记*为解出该题的人数，则E〔*〕=。 答案：。解析：。 ∴。 6．设随机变量服从正态分布，则以下结论正确的选项是。 (1) (2) (3) (4) 答案：(1),(2),(4)。解析：。 7．抛掷一颗骰子，设所得点数为*，则D〔*〕=。 答案：。解析：，按定义计算得。 【作业本】 A组 1．袋中装有5只球，编

5、号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以*表示取出球的最大，则E〔*〕等于 〔 〕 A、4 B、5 C、4.5 D、4.75 答案：C。解析：*的分布列为 * 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 故E〔*〕=30.1+40.3+50.6=4.5。 2．以下函数是正态分布密度函数的是 〔 〕 A． B． C． D． 答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为概率密度函数是

6、 〔 〕 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B。解析：。 4．正态总体落在区间的概率是0．5，则相应的正态曲线在时到达最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线对称，由题意知。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值120分，*学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。 答案：84；75.6。解析：设*为该生选对试题个数，η为成绩，则*～B〔50，0.7〕，η=3*∴E(*)=40×0.7

7、=28 V(*)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3*)=3E(*)=84 V(η)=V(3*)=9V(*)=75.6 6．*人进展一个试验，假设试验成功则停顿，假设实验失败，再重新试验一次，假设试验三次均失败，则放弃试验，假设此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数*的分布列及期望和方差。 解：*的分布列为 * 1 2 3 P 故，。 7．甲、乙两名射击运发动，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，假设他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为*，则E*=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列

8、及期望. 答案：解：由可得，故． 　　有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是 所以； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是 所以，故 所以Y的分布列是 Y 1 2 3 P 所以 Y的期望是E〔Y〕=。 B组 1．*产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数

9、*的方差是 〔 〕 A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5 答案：B。解析：*—B〔10，0.05〕，。 2．假设正态分布密度函数，以下判断正确的选项是 〔 〕 A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值 C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值 答案：B。 3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，则考试成绩在区间内的概率是 A．0．6826 B．0．3174 C．0．95

10、44 D．0．9974 答案：C。解析：由*—N〔100，36〕， 故。 4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，假设取到一个红球则得2分，用*表示得分数，则E〔*〕=________；D(*)= _________. 答案：；。解析：由题意知，*可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下： * 0 1 2 3 4 P E(*)=0×+1×＋2×＋3×＋4×＝ V(*)= ×+×＋×＋×＋×－＝ 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数*的分

11、布列。 5．假设随机变量*的概率分布密度函数是，则=。 答案：-5。解析：。 6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数*的均值、标准差。 解：∵*—B *的标准差。 8．一批电池〔一节〕用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？ 答案：解：电池的使用寿命*—N(35.6,4.42) 则 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。 正态分布 双基自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(*)的图象，且f(*)

12、＝e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 解析　由e－＝e－，可知σ＝2，μ＝10.答案　B 2．(2011·)随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于(　　)． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析　由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3.应选C.答案　C 3．(2010·)随机变量*服从正态分布N(3,1)，且P(2≤*≤4)＝0.682 6，则P(*＞4)等于(　　)． A．0.158

13、8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线*＝3对称，∴P(*＞4)＝0.5－P(2≤*≤4)＝0.5－×0.682 6＝0.158 7.应选B 4．(2010·)随机变量*服从正态分布N(0，σ2)，假设P(*>2)＝0.023，则P(－2≤*≤2)等于(　　)． A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析　P(－2≤*≤2)＝1－2P(*>2)＝0.954.答案　C 5．设随机变量*服从正态分布N(2,9)，假设P(*>c＋1)＝P(*

14、2 C．3 D．4 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于*＝2对称，于是＝2，∴c＝2.答案　B 考向一　正态曲线的性质 【例1】►假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 . (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． 解　(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(*)＝e－，*∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4<*≤4)＝P(0－4<*≤0＋4)＝P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682 6. 【训练1】 设

15、两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如下图，则有(　　)． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析　根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线*＝μ对称，在*＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，应选A. 考向二　服从正态分布的概率计算 【例2】►设*～N(1,22)，试求 (1)P(－1<*≤3)；(2)P(3<*≤5)；(3)P(*≥5)． 解　∵*～N(1,2

16、2)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<*≤3)＝P(1－2<*≤1＋2)＝P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)∵P(3<*≤5)＝P(－3<*≤－1)，∴P(3<*≤5)＝[P(－3<*≤5)－P(－1<*≤3)] ＝[P(1－4<*≤1＋4)－P(1－2<*≤1＋2)]＝[P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)－P(μ－σ<*≤μ＋σ)] ＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P(*≥5)＝P(*≤－3)，∴P(*≥5)＝[1－P(－3<*≤5)]＝[1－P(1－4<*≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)]＝×(1－0.954 4

17、)＝0.022 8. 【训练2】 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________. 解析　由题意可知，正态分布的图象关于直线*＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.答案　0.7 考向三　正态分布的应用 【例3】►2011年中国汽车销售量到达1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，*汽车制造公司为调查*种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ

18、2)，耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，则耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 解　由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆． 【训练3】 工厂制造的*机械零件尺寸*服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸*围的零件大约有多少个？ 解　∵*～N，∴μ＝4，σ＝.∴不属于区间(3,5]的概率

19、为 P(*≤3)＋P(*＞5)＝1－P(3＜*≤5)＝1－P(4－1＜*≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜*≤μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，∴1 000×0.003＝3(个)， 即不属于区间(3,5]这个尺寸*围的零件大约有3个． 阅卷报告19——正态分布中概率计算错误 【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中屡次出现，其中数值计算是考察的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误． 【防*措施】 对正态分布N(μ，σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻

20、并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 【例如】► *次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为 A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15% 错因　(1)不能正确得出该正态分布的两个参数μ，σ导致计算无从下手．(2)对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错． 实录　同学甲　A　同学乙　B　同学丙　C 正解　依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率

21、约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为＝0.15%.应选D. 【试一试】 在正态分布N中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(　　)． A．0.097 B．0.046 C．0.03 D．0.002 6 解析　∵μ＝0，σ＝，∴P(*＜－1或*＞1)＝1－P(－1≤*≤1)＝1－P(μ－3σ≤*≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案　D　　 . z.