2015高考数学（北师大版）一轮训练：第6篇 第3讲 基本不等式（数学大师 2014高考）

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1、第3讲基本不等式基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014延安模拟)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2B.C.2Da2b22ab解析因为ab0，即0，0，所以22.答案C2(2014杭州一模)设a0，b0.若ab1，则的最小值是()A2B.C4D8解析由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.答案C3(2013金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3B4C5D6解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.答案B4(2012陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab

2、)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.vDv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.答案A5(2014南昌模拟)已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3B2C3D8解析yx4x15，由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，当且仅当x1，即(x1)29，所以x13，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.答案C二、填空题6(2014广州模拟)若正实数a，b满足ab2，则(12a)(1b)的最小值为_解析(12a)(1b)52ab529.当且仅当2ab，即a1，b2时取等号答案97已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且1

3、2，xy3.当且仅当，即当x，y2时取等号答案38函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_解析ya1x恒过点A(1,1)，又A在直线上，mn1.而2224，当且仅当mn时，取“”，的最小值为4.答案4三、解答题9已知a0，b0，ab1，求证：8.证明2，ab1，a0，b0，2224，8.10已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值； (2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(x

4、y)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014宝鸡模拟)已知正实数a，b满足a2b1，则a24b2的最小值为()A.B4C.D.解析因为1a2b2，所以ab，当且仅当a2b时取等号又因为a24b224ab.令tab，所以f(t)4t在单调递减，所以f(t)minf.此时a2b.答案D2已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析x0，y0且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，即x

5、4，y2时取等号，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m2.答案D二、填空题3(2014南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析由已知，得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，令x3yt，则t212t1080，解得t6，即x3y6.答案6三、解答题4(2013泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底

6、出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故从第3年开始运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y(25x)(x219x25)19，而191929，当且仅当x5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大