第6讲动量定理角动量定理

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1、第6讲 力与运动的关系 动量定理 1一、动量定理： F t m v 微元法1、以速度大小为 V1竖直向上抛出一小球，小球落回地面时的速度大小为V2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比f kv，求小球在空中运动的时间 t= ?高度h= ?2、质量为m,长为L的均匀软铁链用细绳悬在大花板上，下端刚好接触地面.某时刻细绳突然断了，软铁链自由落下，求：A A-1 从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力？H2 假设地面改为电子秤托盘面，求秤的最大读数为铁链重力的几倍？Q L隔离分析微元或整体导数R 0练习一根均匀柔软绳长为 L,质量为m,对折后两端固定在一个钉子 上.其中一

2、端突然从钉子上脱落，求下落端的端点离钉子的距离为x时,钉子对绳子另一端的作用力.机械能不守恒3、质量很大的平板沿水平方向以速度V0运动.一小球在高度为H处从静止自由下落，并与平板相碰，小球与平板间的摩擦系数 为禹小球反弹时相对地面的速度为V,与水平面的夹角为 a,反弹后到达的最大高度仍为 H ,试讨论a与高度H的关系.注：当 碰撞作用时间极短时，可忽略有限大小力的冲量.tf与tN关系怎样？、动量守包定律 系统在某一方向上所受合外力为零，那么系统在这一方向上动量守恒 当物体间内作用时间极短时，忽略有限大小外力的冲量，动量守恒1、图为两弹性小球 1和2,球1的质量为 mi,初速为vi0； 球2的质

3、量为m2,静止.两球相碰后，球l的速度方向与碰 前速度方向垂直，球2的速度方向与球l的初速方向夹角 0, sin0.6 .试求两球碰后的速度大小以及恢复系数、总机械能的损失？斜碰，没有摩擦作用，e V2 Vi仅在弹性作用方向表达 M。 V202、如下图，光滑水平面上有一长为 L的平板小车，其质量为 M,车 皿 左端站着一个质量为 m的人，车和人都处于静止状态，假设人要从车的左卅端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度相对地面？7设速度大小V、方向0练习如下图，固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成 45角，小车放在光滑水平面上，被发射的小球质量为 m,现将弹簧压缩L后放入小

4、球，从静止开始，将小球弹射出去.小球的 射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数 k.小球相对地面的出射速度 丰453、如下图，质量均为 m的两质点A和B,由长为L的不可伸长 的轻绳相连，B质点限制在水平面上的光滑直槽内，可沿槽中滑动，开始时A质点静止在光滑桌面上，B静止在直槽内，AB垂直于直槽且距离为L/2,如质点A以速度V0在桌面上平行于槽的方向运动， 求证：当B质点开始运动时，它的速度大小为3vo/7；并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量？寻找守恒量：A+B在水平方向、A在垂直绳子方向上动量守恒 思考题1、质量分别为 mi、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平

5、面上， 用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连结，角ABC为-, 为一锐角，如下图， 今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点 C,求质点A开始运动时的速度.思考题2、如下图，三个质量都是 m的刚性小球 A、B、C位于光滑气的水平桌面上图中纸面，A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆 4 :相连，杆与A、B、C的各连接处皆为 皎链式的不能对小球产生垂:直于杆方向的作用力.杆AB与BC的夹角为-, /2. DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直.现令 A、B、C 一:起以共同的速度 v沿平行于AB连线方向向DE运动，在 C与挡C沿垂直于DE方向的速度由v变板碰撞过程中C与挡板之间无

6、摩擦力作用，求碰撞时当 为零这一极短时间内挡板对 C的冲量的大小.、质心参考系质心：xm1x m2x2 Lk圳L质心运动定理：F合Mac当F合=0时，系统的质心相对地面匀速或静止，速度miVim2V2mim2动量视角系统总动量P 地面系=质心动量R Mvc +相对质心总动量P 0 质心系 Konig定理：|系统总动能Ek地面系 质心动能E 相对质心动能Ek质 心系| 动能视角.以二个质点为例，质量分别为mi和m2,相对于地面参考系的速度分别为Vi和V2 ,质心C的速度为Vc ,二质点相对于质心的速度分别为Vi和V2 ,于是Vi Vc Vi, V2 Vc V2 , i i一质点系的动能 Ek 叽

7、 - m2V2，把 Vi 和 V2代入，且 mVc Vi m2Vc V2 V miVi m2V2,括号中的求和表示质心对于自己的速度或两物体相对质心的动量为零，必定为零.1 iiii质点系的动能Ek-mV- m2V2-mim2Vcm,V- m?V2E Ek,由此可见，2 2222质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和Konig定理，对于多个质点，这个关系也成立.注：对于两体系统，质点系的动能还可以用两物体的相对速度贤和质心的速度Vc表示：根据动量守恒定律mi v m2V2 mim2Vc ,和相对速度关系 Vr v2v可得v和v2 ,代入质点系的动能 Ekm Vi2 - m2V2

8、 得：Ek - m m2v2 】 m 2.2222 mi m21、如下图，一长直光滑板 AB放在平台上，OB伸出台面，在左侧的D 点放一质量为 mi的小铁块，它以初速度 v向右运动.假设直板相对桌面指不发生滑动，经时间To后直板翻倒.现让直板恢复原状，并在直板。点 立放上另一质量为 m2的小物体，同样让 mi从D点开始以v的速度向右运 动，并与m2发生正碰，那么从 mi开始运动后经过多少时间直板翻倒？2、如下图，质量为 M,倾角为。的光滑斜面，放置在光滑水平 面上，另有一质量为 m的小物块沿斜面下滑， 斜面底边长为L.当 物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求：(1) 斜面具有多大的速度；(

9、2) 斜面沿水平面移动的距离.l _3、如下图，质量分别为 mi、和m2的两滑块A和B放置在光滑的水平地面上， A, B之间 用一劲度系数为 k的弹簧相连.开始时两滑块静止，弹簧为原长.一质量为m的子弹以速度vo沿弹簧长度方向射入滑块 A,并不再出来.试求：(1)弹簧的最大压缩长度；土 . J2L, 食二X(2)滑块B相对地面的最大速度和最小速度.4、如下图，质量为 m的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有- 质量也为 m的小滑块，滑块与箱底之间无摩擦.开始时箱子不动，滑块以速度v。从箱子的A壁向B壁处运动，然后又与 B壁碰撞.假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e

10、倍，e= v 1/2 .(1) 要使 滑块+箱子系统动能的总损耗不超过 40%,滑块与箱壁最多可碰撞几次?(2) 从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？5、如下图，质量 M=1Kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长 L=1m,_质量m=1 Kg的小物体从箱子中央以 vo=5m/s的速度开始向右运动，物体崎与箱底间的动摩擦因数=0.05 ,物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物 I 巨体可与箱壁发生多少次碰撞？当小物体在箱中刚到达相对静止时，箱子 在水平面上的位移是多少?(练习)如下图，在光滑水平面上静止放着一个质量为M的中空物体，其中间是一个半径为 R的球形空间，内外表也是

11、光滑的.另 一个质量为m、半径为r的小球，从两球心等高的位置静止释放， 试求：(1) 小球到达最低点时，中空物体移动的距离；(2) 小球到达最低点时，中空物体的速度.(3) 判断：小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高？O的角动量守第6讲力矩与转动的关系 角动量定理(2)、质点的角动量定理 质点相对参考点的角动量：L mvrsin如下图，质量为 m的质点在xy平面内以速度v作匀速 直线运动，求此质点相对于原点O的角动量L. 质点的角动量定理：M t L2 Li 质点角动量守恒定律：假设作用于质点的合力对参考点O的合力矩M始终为零，那么质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点 恒定律.在

12、有心力场作用下运动的物体，因合力矩为零，故物体相对力心的角动量守恒.如果质点在有心力作用下运动，由于有心力对力心的力矩为零，因此质点对该力心的角动量就一定守恒.例如:行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下的运动，日心即力心；地球卫星在地球引力作用下运动， 地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即 原子核.在这些情况下，我们可得出结论：行星在绕太阳的运动中，对日心的角动量守恒(开普勒第二定律实际就是对有心力点的角动量守恒)；人造地球卫星绕地球运行时，对地心的角动量守恒；电 子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒.1、在光滑水平桌面上有一小孔O, 一细绳穿过小孔，其一端系一小球

13、放在桌面上，另一端用手拉住.设开始 时令小球以速率 V1绕孔O作半径为ri的匀速率圆周运 动,如下图.现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为002的圆周运动时停止. 试求此时小球的速率 V2以及在此 过程中绳子拉力 T所做的功？2、如下图，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑的水平面 上，当弹簧处于自然状态时，长为a,其弹性系数为k.今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，假设在以后运动过程中弹簧 的最大长度b = 2a,求两球的初速度 vo?(练习)两个滑冰运发动，质量分别为 MA=60Kg, MB=70Kg,它们的速率vA=5m/s, vB=10m/s, 在相距1.3

14、m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离 1.3m不变.求：(1) 二人拉手后，系统的角速度.(2) 计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由.3、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，。为其球心.己知取无限远处的电势为零时，球外表处的电势为 U=1000V.在离球心 O很远的。点附近有一质子 b,它以Ek = 2000 eV的动能沿与 OO平行的方向射向a.以l表示b与OO线之间的垂直距离， 要使质 子b能够与带电球体a的外表相碰，试求l的最大值.把质子换成电子，再求 l的最大值.五、刚体的角动量定理:M t L2 L1 当 M=

15、0 时，L-包量.例：如下图，一根 L=0.4m的均匀木棒，质量 M=1.0Kg，可绕水平轴。点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂.现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度从A点水平射入 棒内，A点离。点的距离为3L/4，棒的转动惯量J=ML2/3.求:(1)棒开始转动时的角速度.(2)棒的最大偏角.(3)假设子弹射入的方向与棒的夹角=30 ,棒开始转动时的角速度.(1)对O点角动量守恒：mv3l43,3,2m L - L , J=ML2/3.44得棒开始转动时的角速度3mvL=8.87 rad/s.12924(_ ML mL )3 16(2)子弹射入棒内后系统机械能守怛，设棒的最大

16、偏角为(3)Mg L (1 cos ) mg2MgLcos 3.mg J1cos ) -J 223l )2】J 23MgL mg - L当子弹射入的方向与棒的夹角0.073 ,=30 时,得棒的最大偏角=94 12 .对O点角动量守恒：mv 3 4 L4sin角动量练习1 .地球的质量为 m,太阳的质量为 那么地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为(M,地球与日心的距离为R,)万有引力常量为G,A. m GMRB. GMmRC.Mm grD. GMm2R2. 如下图，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在时刻将质量为 m的 质点由x=a处静止释放，让它自由下落，那么在任意时刻t,质点所受相对原点o的力矩

17、M =?该质点相对原点 o的角动量L=?3. 在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于 。点，另一端系一质量为 m=0.5Kg的物体，开始时，物体位于位置A ,OA间距离d=0.5m，绳子处于松弛状态，现使物体以初速度 vA=4m/s 垂直于OA向右滑动，如图，设在以后的运动中物体到达位置B,此时物体速度的方向与绳垂直，那么此时刻物体对O点的角动量的大小Lb= ?物体速度的大小 VB=?4. 如下图，一个质量为m=2Kg的小球在细绳牵引下在光滑水平的平板上以速率 v=1.0m/s做匀速圆周运动，其半径r= 30cm, 现将牵引的绳子迅速放长 20cm,使小球在更大半径的新轨道上 做匀

18、速圆周运动.求：(1) 实际这一过渡所经历的时间？(2) 试说明此过程中有哪些守恒量？小球在新轨道上匀速圆周运动时，旋转的角速度？5. 如下图，钢球 A和B质量m=1 Kg，正被绳L=0.5m牵着以0 9rad /s的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r1缩减为版0.3m，那么钢球的角速度?外力做的功WfA、B、C位于光滑的水平面AB和BC连结，角ABC为0.4m，现在把轴上环 C下移，使得两球离轴的距离碰撞典型题1.质量分别为mi、m2和m3的三个质点上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳-,为一锐角，如下图，今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作用于质点C.求质点A开始运动时的速度.(答案：J

19、m2 cos2 m2(m1 m2 m3) m1m3 sin解:设A开始运动时物体的速度分别为V1 ,V2,V3，求V1,因mi只受到BA绳的拉力，m3只受到BC绳的拉力，所以当A刚开始运动时vi沿AB方向，v3沿BC方 向,设V2与BC夹角为,沿BC方向动量定理：J =mivicos +m2V2COS +m3V3垂直 BC方向动量守恒 mivisin =m2V2Sin沿绳方向速度相等绳不可伸长vi=v2COS + ,v3=v2COSJm2 cos得：vi m2 mi m2 m3 mi m3 sin2.如下图，三个质量都是 m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平 桌面上图中纸面， A、B之间，B、

20、C之间分别用刚性轻杆相连， 杆与A、B、C的各连接处皆为 钗链式的不能对小球产生垂直于 杆方向的作用力.杆 AB与BC的夹角为-, /2 . DE为固 定在桌面上一块挡板，它与 AB连线方向垂直.现令 A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB 连线方向向DE运动，在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由 v变为零这一极短时间内挡板对C的冲量的大小.答案：23 SinI 2mv i 3sin解：令I表示极短时间t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对 C无摩擦力作用，可知冲量 的方向垂直于DE,如下图；I表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对 B和C皆为推力；vc|表示t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vb表示t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vb表示t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小.有动量定理，对 C有I sin mvC| , I I cos mv对B有 I sin mvB|，对 AB有 I cos 2m v vB沿B、C沿杆的方向的分速度必相等.故有 vc| sinvb cosvb| sin2有以上五式，可解得 I 3 sin 2 mv .1 3 sin33m LL ,=4.43rad/s.44