线性代数第34讲总复习上

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1、线性代数第44讲复习（4）一. 本章知识结构二.本章自测题(一)选择题1 .若 B = (0,k,k2)能由的= (1+k,1,1),a2=(1,1+k,1),%=(1,1,1 + k)唯一线性表示，则k等于().(A ) k # 0 (B) k=-3(C) k#0 且 k#-3(D) k 任意.(选C .解法提示：依题意知Xi % + X2 0C2+X3的=B 有唯一解，所以其系数行列式1 + k1111 + k 1=k2(k+3)=0,111+k故有女。0且女。-3.因此应填女。0且卜。-3.)2 .设向量组B: b1,b2, ,br能由向量组A : a1，a2,，am线性表示, 则().

2、(A)当r m时，向量组A必线性相关(C)当r m时，向量组B必线性相关(选D .解法提示：用反证法排除其余三种可能)x1 x3 = 03 .四元齐次线性方程组 I+1 n的一个基础解系是().X2 X4 = 021(A) (0, -1,0, 2)T,(B) (0,-1,0,2),和(0,0,1)T(C) (0, 0, 0, 0)T,(D) (-1,0,1,0)丁和(0,-1,0,2)T10 10(选D.解法提示：系数矩阵A= d c 1 ,r( A )=2, ,0 1 0 !J2 J故基础解系由两个线性无关的解构成.从而(A),(C)都不对。1但(B)中(0,2, 0,1)代入万程验证不是解

3、，故应选(D).(二)判断题4 .给定向量组A: a1,a 2,，a m ,如果存在数Kk,， 使得 k1 司 k2 a2kmam ; o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关 .()(X).解法提示：定义中要求k1,k2,，km不全为零)(三)填空题5 .齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于().(答案：(基础解系的全体线性组合)(四)计算题1106 .设 口= 2 , B= |2 , y= |-2 , 若 口x = bTTx + 3 3 试求此方 -1J卜程组的通解.(解由于1a BT = 2 Il 211Bl = 210 -2 .kJ12kk】=24 2k-1 - 2

4、 - k 0-211 = 0-42 ,0 -2k k_故所给的线性方程组可改写为1 4k-132 82k-2 x= 6-1 2k-2 - 2k_j3k_对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵14k-1314k-13A=282k-26(r) 0 2k+ 2-k-1 3k+ 3= B.1 2k-2 -2k 3kj_0000 j1 4 k-1 3当k# -1时，此时A可化为矩阵B1 =，2 -1 3 j,Q 000易知r(A) = r(B1)=23.故线性方程组有无穷多解:x1x = X2= C1：X3 j-k-1I 12. 1 -313I -，其中5为任意常数-0 _14-23当k = -1

5、时，此时A可化为矩阵b 2=00 0 0 ,易知0 000 1r(A)=r(B2)=1 3.故线性方程组有无穷多解:-x11 41一21 一3 一x= X2|=G | 1+C2。+ |。，其中C=C2为两个任意常数.)7 .设A, B都是n阶矩阵，且 A2 -AB = E, 求矩阵(AB -BA + 2A)的秩.(答案：r ( AB-BA + 2A )= r(2 A )= r (A) = n.)一 blE3 = |l I与向量组-0j. 0一a8 . 已知向量组由=1,份=2-1JJ一 1% =2一 916有相同的秩，且%可由如，如怒-7J线性表出，求a,b的值.(答案：因为内, %线性无关，

6、而的= 3 %+2 %所以r(%，的,%)=2，因此r(自，0 ,用)=2 ,从而0 a b1 2 1-1 1 0=3b - a = 0,=a=3b,再由条件为可由内 ,线性表出，可求出b=5, a = 15.)9.已知a是齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，其中1211 3aA = a 1 -1 ,求a的值.2 60一(答案：因为A是4M3矩阵，基础解系中仅有一个解向量 a,故3-r(A)=1,即(A)=2.而210012113aTT a1-1.260一1 2 310.已知矩阵A =0 4 a中a 0,且齐次线性方程组 Ax = 0有非-1 a 9 一_k .一 . 零解.A是A的伴随矩阵

7、，试求齐次方程组A x = 0的通-1 a一 4a，可见a = 0.)解.(答案：因齐次方程Ax = 0有非零解，故1 2 3A =0 4 a=24+2a-a2=0.于是 a=6 或 a=4.因 a 22 aij , i = 1, 2，n , j丰i证明矩阵A的列向量叼二aj, a2j, anjT (j =1,2,n)线性无关.(答案：可用反证法.若存在不全为零的数 3k2,，kn,使得k1 % + k2切+ kn期=0，然后，设K卜maxk/MI,，|0.由ki#0,知 内可以由其余n-1个为线性表出，且8 =-?%一.一悖图书-kn an .那么，其第i个分量kiKkiki就满足关系式：k

8、1aiiailkiki .1kia ,i i-.1ki 1. aii 1knki而有k jkjaii. aij = Zaa i j WZ ai j 这与j #i Kij #ikij #i已知条件矛盾，所以外,如，即 线性无关.）17.设A是n阶矩阵，外,%,，内是齐次方程组Ax = 0的基础解系，若存在Bi ,使ABi= %,i = 1,2，t,证明向量组% , %2,，3，自，隹，ft线性无关.（解:若存在不全为零的数k1,k2，kt,l1,l2：lt,使得k1%+k2 o2 +kt & + 11自+ lt 0=0,（1）用A左乘上式，并把A 5 = 0, ABi= %,i = 1,2，t代

9、入，得11al + % 屹+ 1t & = 0,（2）因为，坳,，出是齐次方程组Ax = 0的基础解系，它们线性无关，故对（2）必有11 = 0, 12 = 0,1t = 0. （1）式，有k1为+ k2坳+ktt= o,即向量1,牝,，的，ft,卜，自线性无关.）18.设A是m xn矩阵，对矩阵A做初等行变换得到矩阵 B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.（证法提示：因经初等行变换由A可得到B ,故存在初等矩阵P1, P2,，Pk使PkP2 P1 A = B.把矩阵A , B写成列向量形式： A =）&an, B = ft /Bn, P = Pk - P2 P1 则有

10、P w an=日也Bn,于是 P a=Bi （i= 1,2，n）. A 的-x I，一, 一Xc ， ，,一 ，一列向重附,犯，,须线性相关U 出1 ,出2,，领:=0有非夺角牛Uk 一-x I-x 1u p 啊，%，纨x2 =0有非零解=瓦瓦即12 =。)k 一.Xk 一有非零解二B的列向量日1巴瓦线性相关.)19 .已知A是n阶矩阵，且矩阵A中各行元素对应成比例. 火,如，贝是Ax = 0的基础解系，而B不是Ax=0的解.证明任何一个n维向量都可由 四，牝，私，B线性表出.(解法提示：因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A) = 1，因此 t = n -1.因为3,牝,，On_i是Ax=

11、 0的基础解系，故 明，如，厮-1线性无关.若k1 o1 + k2 o2 + + kn/%_1 + sP = 0,用A左乘，并把人即=0 (i = 1,2-n-1 )代入上式，得 sA B= 0.由于A B/0,故s = 0,于是k1 01 + k2 02 + kn/OCn/=0 .从而 k1 = 0, k2 = 0, ,kn.1=0, s=0,即有如电，即.1,P线性无关，故知任一 n维向量丫必可由为,如，的，B线性表出.k1 =0, k2 = 0, kn 1 =0, s=。)20 .已知向量组 出,卬，的线性无关，若kn=0, s= 0,B = k1al + k2 02 + + kt at

12、 ,其中至少有ki 0,证明用B替换国后所得向量组 火,电，g-1, B, q + 1,，”线性无关.(解法提示：如果h1 如+h2 a2+ -+ h%-1 + h B+ hi 十a+1+htat= 0.将已知条件B= K火+ k2 a2 + kt的代入，并整理有(h1 + h kJ % + ( % + h k2)必 + + (hi 1 +hki 1) oq - 1+ hki a i 1i 1i+ (hi 41 +hki +) 的 + 1 + + ( ht + h kt) at = 0.由于已知向量组女,坳,，的线性无关，故必有(h1 + hk1)= 0, (h2 + hk2) = 0，(hi 7十 hkii) = 0 , hki= 0, (hi 1 hki 1) =0,(ht hkt) = 0.由于 ki * 0, hki = 0 知 h =0,进而必有 hi = 0, h2 = 0,，ht =。.所以向量组 a,%,，g-i, B,州+ i, %线性无关.)