极坐标与参数方程例题示范分题型

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1、极坐标与参数方程例题示范（分题型）极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高 考考试说明，归纳总结为四类题型。题型一。极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。 夕 一一 f工 八，皿*皿、川, x = 一3 +1，备皿 ，一 一1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数万程为（t为参数），以O为极点，x1-t轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为：2cos - 0.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（PN0,0e 2兀）.试题解析：（1）由P +2cosB =0得P = 2co

2、sB，两边同乘以P,得x2+y2=2x；，、x = 3 + t，、-（2）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线的普通方程为 x + y + 2 = 0 ,1t联立曲线C F线l的方程得，x = -1或*=2a一，,化为极坐标为3年）或（2,江）一-1、y = 04考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化 考点：Pcos0 =x, Psin e = y , P2=x2+y2.2.在极坐标系中，设圆C经过点Pf*-31、，圆心是直线p sinr-eK如与极3,33 J2轴的交点，求圆 C的极坐标方程.试题解析：法一：P转化为直角坐标为：直线Psin,； 6 ；=或的直

3、角坐标方程为：J3xy J3 = 0它与x轴的交点也就是圆心为 （1,0）10所以r :2所以圆的方程为（x -1 ） + y2 = 1，得x2 + y2 - 2x = 0所以，圆的极坐标方程为：/ =2cos （JT 一、2J! - - .一 法二：因为圆心为直线 Psin Ige J=sin东与极轴的交点，所以令 6=0，得P = 1 ,即圆心是1,0又圆C经过点P* 三.圆的半径r =、【3+12j3cos：=1 ,，,圆过原点，二圆C的极坐标方程是 P = 2cos 8 .考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点

4、写出圆的极坐标方程.题型二。曲线（圆与椭圆）的参数方程。（1）普通方程互化和最值问题。“ 1 ”的代换（cos28+sin28 =1）、三角解 决。-x = 2cos.3.已知曲线c的参数方程是/,（e为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴、y =s为极轴建立极坐标系，A, B的极坐标分别为 A（2,兀）,B（2,）.3（I）求直线 AB的直角坐标方程；（口）设M为曲线C上的点，求点 M至M线AB距离的最大值. 试题解析：4二 4 :(I)将 A、B化为直角坐标为 A(2cosR,2sin 兀)，B(2cos,2sin),333 -0即 A(-2,0), ,-3) , kAB=.2=一3直线

5、 AB的方程为 y0 = 73(x+2)，即,x + y+273 = 0.()设 M(2cos0,sin，它到直线 AB的距离为13sin(口 )2 32|2.cos 8 +sin 8 +2弟d =(其中 tan=2j3),dmax考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值.X = 一t *2, 工仝岳4.已知曲线C的极坐标万程是 P =2sin 8 ,直线l的参数万程是i 5（t为参数）.设y=5t直线l与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求 MN的最大值.试题解析：曲线C的极坐标方程可化为#=2Psi糖.又X2 +y2 = P2 , X = PcosB ,

6、y = Psin e22所以曲线C的直角坐标方程为X y -2y=.将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y =-如-2)令y =0，得X =2,即M点的坐标为（2, 0） 又曲线C的圆心坐标为（1, 0）,半径 r =1 ,则 |MC|=V5,所以 |MN|v|MC| +=扼+1,法二：设N的坐标为(cosB,1 +sine ).所以 |MN | = JcosA 2 +(1+sin。)2-.-4cos2sin 6=,2拓sin；6 .2.5 6=5 1考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系U2t5 .已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是0,故可设ti,t

7、2 ,是上述方程的两实根，所以JZ2 =Qti t2 = -4又直线i过点P(i, J5),故由上式及t的几何意义得PA| + |PB| = ti| + |t2| = |ti 12|=乎=Mi.考点：i.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用.ii.在直角坐标系 xoy中，过点P(i,-2)的直线i的斜率为i,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 Psin2 8 = 2cos0，直线1和曲线C的交点为A, B .(1) 求直线l的参数方程；(2) 求 |PA|PB|试题解析：(I )由条件知，直线l的倾斜角 =45,.2所以 cos - =

8、sin - = 2 .设点M (x, y)是直线l上的任意一点，点P到点M的有向向量为t,x=1 +&则2_ .c 2,y - -2 t2(n)曲线C的直角坐标方程为y2 =2x,由此得（2+史t）2 =2（1+业t）,22即 t2-6、2t 4=0.设ti,t2为此方程的两个根，因为l和C的交点为A, B ,所以t1,t2分别是点A, B所对应的参数,由韦达定理得 |PA|忡8|=|国=4考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12.在直角坐标系xOy中，以原点为 O极点，以x轴正半轴为极轴，圆 C的极坐标方程 兀为 P = 4*cos(8 +)4(1) 将圆C的极坐标方程化为直角坐

9、标方程；(2) 过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A, B两点，试求 二 +二 的值.PA PB3 二试题解析：(1)由 P = 4j2sin(8),可得 P =4cos8+4sin8 ,4P2 =4Pcos+4Psin8 ,x2+y2=4x+4y,即(x -2)2 (y -2)2二8(2)过点P(0,2)作斜率为J3的直线l的参数方程为代入(x2)2 +(y2)2 =8得 t2 -2t -4=0,设点A, B对应的参数分别为t1,t2，贝U t1+t2=2 , t1 t2=4.1111网一四由t的几何意义可得IMMl _|t/t2tJIM”2(注：此题也可直接求 A,B两点坐标，再用

10、两点间的距离公式求出|PA|,|PB|.)考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系.13.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xT+tcos。( t为参数)，在极坐标系 y = 2 tsin(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆C的方程为P =6sin 8 .(1) 求圆C的直角坐标方程；(2) 若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B，求|PA| + |PB|的最小值.试题解析：(1)由P =6sin。得P2 =6PsinB，化为直角坐标方程为x2 + y2=6y，即22x +(y3)=9；(2)将l的

11、参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得.2t 2 cos 一sin ； t 7 =0t2由 =(2cosa 2sin 0 ) +4乂70，故可设t1,t2是上述方程的两根，t1 t2 = -2 cos二 一sin 上,所以 厂 2，又直线过点(1,2),故结合t的几何意义得yjcosi8t1 t2 = -7PA - |PB = |L t J = t1 -t2=M-4sin2： 一 32 -4 = 2 7所以|pa|+|pb|的最小值为2J7考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用题型四。跟踪点参数方程的求法。跟踪点法X = 2C0Sa.,.14.在直角坐标系 xoy

12、中，曲线C1的参数方程为 (口为参数),|m |是C1 y = 2 + 2sin a的动点，点p满足0户二函，记点P的轨迹为曲线C2 .(1)求曲线C2的方程；31- B=飞c(2)在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3与曲线Cl的异于极点的交点为A,与曲线C2的异于极点的交点为B ,求lAB .试题解析：(1)设P(x,y)则由条件知P(xo,y。).由于M在Ci上，所以x0 =2cosay=2+2sina *x=4cosa厂所以x =x0y = 4 +4sin a、y =y。x = 4cos :从而C2的参数方程为！（a为参数）.y = 4 4sin :(2)法一：曲线Ci的极坐标方程为 P = 4sinB，曲线C2的极坐标方程为P = 8sin.31冗射线8 =与C1的交点为A的极径R =4sin 33与C2的交点为B的极径P2 =8sin 3所以AB = |乌一修=2妪.法二：垂径定理。考点：参数方程与直角坐标方程的互化；极坐标方程的应用.15.在极坐标系中，已知圆 C的圆心C(3,兰)，半径r = 3.6(1) 求圆C的极坐标方程；(2) 若点 Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ| : |QP| = 3 : 2,求动点P的轨迹 方程.【答案】（1） P=6cosG_ 三】；（2） P=10cosfe_.66请自己完成