数值分析课后习题全解

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1、第5章 数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1 证明：由消元公式及A的对称性得 故对称2证明：（1）因A对称正定，故 其中=（0,0,1,0,.,0）为第i个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得 =-= -=，I,j=2,n 故也对称. 又 = 其中 显然非其异,从而对任意的x0,有 X0,(x,AX)=(x, AX)0 (由A的正定性)故正定.又=,而0,故正定. 3.证明 由矩阵乘法简单运算即得证. 4.解 设有分解 = 由公式 其中,分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元 素.故有 从而有 = 故 = =, = =, = 故=1,=,=,=5. 解 (1)

2、设U为上三角阵 =因=，故=.因 +=,故 =,i=n-1,n-2,1当U为下三角阵时 = 得,=, =,i=2,3,n.(2)除法次数为n,乘法次数为 1+2+(n-1)=n(n-1)/2故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.(3)设U为上三角阵,=S,侧S也是上三角阵.由 =得 , i=1,2,n =-,j=i+1,i+2,n; i=n-1,n-2,1当U为下三角阵时,由 = 得 ,i=1,2,n=,i=2,3,n;j=1,2,i-16. 证明 (1)因A是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L,其中L是具有正对角元素的下三角阵.从而 =(L)=()L=(L) L (A)=故

3、是对称矩阵. 又非奇异,故对任意的 x0,有x0,故 X=0故是对称正定矩阵,即也对称正定. (2)由A对称正盯,故A的所有顺序主子式均不为零,从而A有唯一的Doolittle分解A=U.又 U=D 其中D为对三角阵, 为单位上三角阵,于是 A=U=D 又 A=D由分解的唯一性即得 =从而有 A=D又由A的对称正定性知 =0, =0 (i=2,3,n)故 D= =故A=D=()()=LL其中L=为三角元为正的下三角矩阵.7. 解A|I=- - - - - = 8 解 设有分解 = 由公式 其中，分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，则有 ， ， ， ， ， ， ， 由 得=，

4、由 得=，=，=，=，=9解 设 =由矩阵乘法得 =2， ， ， 由 得 ，由 得 故=2.555 555 6，=0.777 777 8，=1.111 111 1 10 解 A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故若将A中第一行与第三行交换，则可以分解，且分解唯一。 B中，=0，但它仍可以分解为 B=其中为一任意常数，且U奇异，故分解且分解不唯一， 对C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。 C= 11 解 =0.842 615 0 = =0.685 340 7故 =0.827 853 1 12证明 （1）有定义知 故 （2）由范数定义，有 = 故 13 证明 （1）因P非奇异

5、，故对任意的x0，有0，故，当且仅当x=0时，有成立。 （2对任意，有 （3） 故是上的一种向量范数。 14证明（1）因A正定对称，故当x=0时，=0，而当x0时，=。 （2）对任意实数c，有 （3）因A正定，故有分解A=L，则 故对任意向量x和y，总有 综上所知，是一种向量范数。 15证明 因为 由向量范数的等价性知，存在常数0,使对任意x,有 故 令,则有 即 16. 证明 故 17 证明 设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 min=718. 解 故 = =39 205.9745 19证明 因A正交，故，从而有 故 =1 20证明 21证明（1）故为对称矩阵。 又A非奇异，故对任

6、意向量，有，从而有 即为对称正定矩阵。 （2） 杭州生活 的豆丁关于几个问题的声明：1、买文档优惠方法：如果有支付宝账户的话，请通过支付宝进行交易，费用7折，请先把要买的文档的链接发信息到我的豆丁，然后我们联系，一般4个小时之内会联系你，最多24小时之内能解决。我的豆丁用户名 是 “杭州生活”， :/ docin /douhello我的豆丁里面的文档质量还是非常不错滴哦。2、都是从学生时代过来的，都知道学生的难处，总有好多花钱的地方，交际啦，买书啦，女朋友之类啦，但有时又不想开口向家里要。在这里向大家推荐一个赚钱的途径：调客网 :/ freesurveyasia /?src=50696184您

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