§23函数的奇偶性（教师）

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1、2.3 函数的奇偶性 基础自测 1.（2008福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（xR），若f（a）=2，则f（-a）的值为 . 答案02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 . 答案03.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-,0）上单调递增，则f(a+1) f(b+2)(用“”，“”，“”，“”填空).答案4.已知f（x）=是奇函数，则实数a的值为 .答案15.函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数，则下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,

2、a上是偶函数；f(0)+ g(0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例题精讲 例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解 （1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定义域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x

3、+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（3）由|x-2|0，得x2.f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.例2已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间-2，6上的最值.（1）证明函数定义域为R，其定义域关于原点对称，f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇

4、函数.（2）解 方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.方法二 设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1

5、）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.例3（16分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的个数.（1）证明 f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分f（x）是以4为周期的周期函数， 4分（2）解 当0x1时，f(x)=x,设-1x0,则0-x1,f（-x）=（-x）=-x.f(x)

6、是奇函数，f（-x）=-f（x）,-f（x）=-x，即f(x)=x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2), 10分又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-f（x），-f（x）=（x-2），f（x）=-（x-2）（1x3）. 11分f（x）= 12分由f(x)=- ,解得x=-1.f（x）是以4为周期的周期函数.f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分令04n-12 009,则n,又nZ，1n502 （nZ）,在0，2 009上共有502个x使f(x)=- . 16分巩固练习 1.判断下列各函数的奇

7、偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解 （1）由0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）（0，1）.这时f（x）=.f（-x）=-f（x）为偶函数.（3）x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1时，f（x）=-x+2，-x0时，f(x)0恒成立，f(3)=-3. (1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；（3）试求函数y=f(x)在m,n（m,nZ）上的值域.（1）证明 设x1，x2R，且x10,f(x2-x1)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-

8、x1)0时，f(x)=2x-3，则f(-2)= . 答案 -16.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为 . 答案 f(x)=x(|x|-2)7.已知函数f(x)=g(x)+2,x-3，3，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N= .答案 48.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= .答案 -b+4二、解答题9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：

9、f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2，求f(2 004). （1）证明 f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=ff(x+3)=ff(x+6)=ff(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.10.已知f(x)是R上的奇函数，且当x(-,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解 f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.当x0时，-x0）.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).11.已知函数f(x)=x2+|x-a|

10、+1,aR.(1)试判断f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f(x)的最小值.解 (1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当xa时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函数f(x)在（-，a上单调递减，从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a)=a2+1.当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函数f(x)在a，+）上单调递增，从而函数f(x)在a，+)上的最小值为f(a)=a2+1.综上得，当-a时，函数f(x)的最小值为a2+1.34