1006014248高洁线性方程组的极小残余算法教材

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1、学校代码10722学 号1006014248分类号密 级公开咸阳师范学院本科毕业论文题目线性方程组的广义极小残余算法The Generalized Minimal Residual Algorithm in system of linear equations（中、英文）作者姓名高洁专业名称数学与应用数学学科门类理学指导教师马欣荣提交论文日期 2014年.4.月.成绩评定线性方程组的广义极小残余算法（即 GMRES 算法）高洁（咸阳师范学院 数学与信息科学学院 陕西 咸阳 712000）摘要伴随科学技术的进步与快速发展，大规模稀疏线性方程组的求解成为很 多问题的解决方法之一，然而一种求解大型非

2、对称线性方程组有效的迭代方 法之一就是广义极小残余算法。本文章就是通过对线性方程组的学习及相应 矩阵理论知识的了解，探究 Krylov 子空间上广义极小残余算法的基本理论。 首先，介绍线性方程的一些基本概念，定理和问题；下来为研究做一些准备 工作，了解投影法的基本思想和 Krylov 子空间；文章的最后给出了在 Galerkin 原理之下的广义极小残余算法和在其他方面的一些应用。关键词： 线性方程组；广义极小残余算法； Krylov 子空间法；投影法；正交； 矩阵。IThe Generalized Minimal Residual Algorithm InSystem Of Linear Eq

3、uations( as GMRES algorithm)Gao Jie( School of Mathematics and Information Science, XianYang Normal University, Shan Xi Xian Yang 712000)AbstractWith the rapid development of science and technology, more and more problems to solving large-scale sparse linear equations, however, generalized minimal r

4、esidual algorithm is a kind of non symmetric linear equation iterative method. In this paper, through study of linear equations and the corresponding matrix theory knowledge understanding, study Krylov subspace on the basic theory of generalized minimal residual algorithm. First of all, introduces s

5、ome basic concepts of linear equations, theorems and problems; Down and do some preparation work for study, understand the basic ideas and Krylov subspace projection; Finally under the Galerkin principle of generalized minimal residual algorithm and its application in other aspects.Key Words: linear

6、 equations; GMRES algorithm; Krylov subspace methods; projection method; Orthogonality; matrix.目录摘要 IAbstract n目录 川1引言 12线性方程组 12.1线性方程组的定义 12.2线性方程组的三种表示形式 12.3线性方程组的求解问题 23基本理论 33.1投影方法的基本思想 33.2 Krylov子空间的简介 54 GMRES算法的理论 64.1 Galerkin 原理 64.2 Arnoldi 算法 74.3 GMRES 算法 105 GMRES(m)算法在其他方面的应用 145.1

7、在离散不适定问题中的应用 145.2求解三维第一类Fredholm积分方程 15总结 17参考文献 18谢辞 193咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）1引言数学研究的主要对象之一是线性方程的研究，它有着严谨的理论，和独特的解决问题 的方法，也可以应用于各个领域的多种实际问题的处理，并且在这快速发展信息的社会中， 尤其是工程计算技术和科学水平的发展，有着越来越多的复杂的大型的问题，在需要解决 的这些诸多问题的同时更重要的是需要求解一些大规模离散不适定的线性方程组，并且例 如有：有限差分，有限元素值的求解，数理方程的反问题等等，快速高效的求解这几类方 程成为数学研究之中矩阵与数值代数研究的

8、主要热点之一。在1986年，由M.H.Schltz和Y.Saad两位著名数学家提出的关于基于 Galerkin原理的GMRES(m)算法，并且此算法是一 种求解非对称线性适定方程组的 Krylov子空间投影法，而且是采用正交投影或斜投影之一 在子空间上产生迭代向量进行的计算。因为广义极小残余算法是关于基于 Krylov向量的完 全化正交化，所以在于对应的Krylov子空间有且只能求出一个近似解或着拟最小残值。在且加上以该算法计算的所需要的内存量和计算量较少等优势，所以在社会上目前广泛应用 于各种工程应用领域的各种问题。本文章在矩阵论与数值代数的基础上主要研究线性方程 组的一个迭代方法，即广义极

9、小残余算法的理论与应用。2线性方程组2.1线性方程组的定义2.1.1线性方程组指各个方程关于未知量均为一次的方程组。2.1.2齐次线性方程组指对于一般线性方程组来说，常数项均为零。2.1.3非齐次线性方程组指对于一般线性方程组来说，常数项不全为零。2.2线性方程组的三种表示形式2.2.1 般形式的表示一般线性方程组是指形如耳必X2III aXn = bl已2必 + a22X2+|+ a2nXn = b?HI( 2.1)ami%am2X2IIIamnXn 二 gm是指该方程组所包含的方程的个数,的方程组，其中X,X2|,Xn是指n个未知量,aj(i =1,2, II),m; j =1,2,山,n

10、)是方程组的系数，bj(j=1,2,IH,m)是常数项。并且由(2.1 )式 可以看出，一个线性方程组的确定是完全由方程组的系数和常数项所确定，且在一般情况F方程组的常数项写在方程等式的右边。2.2.2向量形式的表示(2.2)其中Ct -1 -a2 122,IIZnan 1anb1bb 二 b 2_am1_am22.2.3矩阵形式的表示可以表示为:(2.3)其中A二(：1厂2,川厂),X 二(X1，X2 JI|,Xn)T可以表示为:#咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）#咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）于此特别的，如果方程组中b = 0,则可以把AX二b称作为齐次线性方程组，而

11、如果方程组中b- o,则可以把AX二b称作非齐次线性方程组。2.3线性方程组的求解问题2.3.1 一般方程组一般的小型的线性方程组可以利用解的性质与Cramer法则求解，解决一些相关问题。2.3.2特殊系数方程组对于方程AX二b的系数矩阵具有某些特殊的性质，例如：系数矩阵A对称正定；二 4 Hl有性质即存在交换矩阵 P，使得PAP = |，其中D1和D2为两个对称矩阵；H矩-R D2_阵，则可以根据这些加在系数矩阵 A上的条件，采用SOR和SSOR迭代，最速下降法 等方法求解。2.3.3大型一般条件方程组对于求解大型线性方程组且方程的系数矩阵不在具有某些特殊性质，即力图在最一 般的条件下，讨论

12、AX二b的求解问题，这就是本文章主要研究的线性方程组的求解问题， 我们只假定方程中的系数矩阵是一个非奇异矩阵。3基本理论3.1投影方法的基本思想假设需要求解如（2.3）式方程组，其中的系数矩阵A是大型非对称矩阵，并且还是非奇异的矩阵。假定A和b都是实矩阵，且令 5二lv1,v2j|l,vm I是 n维空间中一组m个线性无关的向量，Km =span（Vi,V2,HI,Vm）是W,V2,III, Vm所张成的子空间。则其的基本思想就是找一个（2.3）式的近似解X（m）且使得：X（m） Kmj（AX（m） -b）丄 Vjj = 1,2,| m .（341）令X（m）二VmW（m）,其Y（m）是一个m

13、维向量，则（3.1.1）式可以改写为V；AVmY（m） =V；b（ 3.1.2）假设（3.1.2）有唯一解，则可通过求解一个 m个未知数的方程，得到Y（m），从而得到X的一个近似解X （m）。例1.11-1 101A=110 ,V2=01, b= 2【231 一p0 一3根据以上可直接计算得到对应的（3.1.2）式为1 111J 1 一2(3.1.3)所以为了避免出现这一算法上的困难，不得不假设所取Vm使得（3.1.2）式有唯一解可以得到，转化为（3.1.3）式的方程组无解。例2.如何选Vm ,使得算法在计算机上可非常有效的实现？答：令二m表示在子空间Km上的正交投影算子，且假设 b Km，将

14、可以在下面的推论 中看出，所假设的不难实现。用正交投影算子的符号，方程（3.1.1）可改写为X（叽 Km（m）（ 3.1.4）二 m（AX（m）-b）=O为方便理论分析，再引入算子Am，其代表二mA并限制在定义域只在Km之上，这样找近似解X（m）就变为求解Amx- bO（3.1.5）的问题，其中因为假设b Km，所以可得二bb = b。由以上可得到的近似解与（2.3）式的精确解（XJ之间存在着误差值，具体有多大的误 差？我们先看以下引理：引理1令rm rimA（I-Dm），则方程（3.1.4）式满足匚 b-Am 口 mXm 匚（3m）XT（ 3.1.6）证明：b-AmX 二 b-二 mA二 m

15、X二 b-二 mAX - X 匸mA匸m）X又因-二m是一个投影算子，所以lb- Am 口 mXT=n mA（I-口 m）（i-口 m）X兰 rm _（i - 口 m）X* -引理证完。为推导误差结果，所以在假设 A是可逆的，且km召A；1_下，有如下定理：定理1 x X（m）上J + r衣m（l-口 m）X订 成立。证明：因为Am是可逆的，且X（m）满足（3.1.5）式，所以X（m）-二 mX ” = Amfb-Am二 mX ”）又因X（叭Km,所以二mX（m）=X（m）。则根据（3.1.6）式，有Slm（X _X（m）Dmrm（I-rim）X（ 3.1.7）又 X-x（m）= c_：m）x

16、” =m X-x m ）并且上式右端两个向量彼此正交，于是L X“ X（mC二 m）X“_2 二 m（X“- X（m）门在由（3.1.7）可以得到：Lx”-x（m）L,厂7養= m）xl（ 3.1.8）定理证完。但是根据（3.1.8）式，不能完全说明x（m）是某种意义下的近似解。3.2 Krylov子空间的简介对（2.3）式大型线性方程组，可取Rn为任意向量，且令x=x0 z，则（2.3）式可化为Az = ro（ 3.2.1）其ro二b - AX。对一个固定整数 m 0,令左右空间分别为Lm =AKm,心=Spanr。, Ar。, Amr。（3.2.2）在子空间Km中找（3.2.1）的近似解Z

17、m，并且使得(323)X Xo Zm,Zm =Vmym Kmrm = b _ AXm = r _ AZm _ LmVm =Vi,V2,|山Vm是在学习了 Arnoldi算法后利用Arnoldi过程（下面讲到）的方法构造出来的右空间Km的正交基矩阵4 GMRES算法的理论4.1 Galerkin 原理给定任意X。 Rn，令X =X z，则方程组（2.3）等价于Az 二 r。（ 4.1.1）其ro =b-AX。则需要求解的线性方程组（4.1.1）的Galerkin原理如下所述（在以下文章 中规定所有的向量的范数为2，A Rnn,Rn）：设Rn中有两个m维子空间Km和Lm的基分别为Vjm=1和W：，

18、找方程组（4.1.1） 的近似解Zm Km，使得（r - AZm） Lm，即（ro - AzJ - Wi（i=1,2,m）（4.1.2）构造矩阵匕=（V1，V2|,Vm）和Wm =（W,W2,川,Wm），由Z Km可得Zm 二 M 2V2mVVmym其中 ym -（ 1, 2,IIL m）J Rm。则（4.1.2）式可写为WT（r。- AZm） =0即WT（0 AV y= 0（i=1,2,m）或W；（。- AV mn 0也是WAVm）ym =Mro（4.1.3）如果WmTAVm可逆，则有ym = （WjAVm） Wd9线性方程组的广义极小残余算法从而有Zm二匕(曲人匕)曲。(4.1.4)根据以

19、上原理，可以建立求解方程组(2.3)的迭代格式。任给定x(0) . Rn，记XX(0),过程如下：对k=0,1,2,(1) r0 =b AX0，由方程组(4.1.3)解出ym，计算X 二 XVm ym(4.1.5)(2) X。=X(k d)继续(1)。对于以上所述，如果对于其中某个k出现W；AVm不可逆的情况，则称此算法的计算发生中断，所以在这种情况下一般需要更换X(0)进行重新计算。4.2 Arnoldi 算法适当的选取m和X(0)，使得r。，AcTh ，吧线性无关。一般选取 Lm =心=Sparfr。Ar 0山A：r。，按照下面Arnoldi过程构造它的标准正交基可舊， 在这组正交基下，方

20、程组(4.1.3)的系数矩阵和右端项有比较简单的形状。Arnoldi过程设r, Ar,l |, Am0线性无关，构造：要求 2 - V，可得 hn 二AWWV2 =0，否则r, Ar线性相关。h? 1 V 2- , V 2 h V? 1 2(3) V3 二 AV2 - h22V2 - hV要求 V3 丄 V，可得 hi2=Av2,Vi(i=1,2).V3 = 0，否则r, Ar,A2r线性相关。m _1(m)Vm = AVmhi,mjVii丄(i=1,2，,m-1).要求 Vm - Vi，可得 hig 二AVmjViVm = o,否则r, ArJI|, Amr线性无关。hm,m_1HZIVm,

21、Vm - hm n,-V1im(m + 1) Vm1 =AVmhimVii /要求丄V，可得 =AVm，Vj(i=1,2，,m-1).11线性方程组的广义极小残余算法#线性方程组的广义极小残余算法hm 1 ,m - IV m L 0 时，Vm 1 _ hm 1,mVm 1.于是可以得到Km的一组标准正交基Vii；，以及Vm .1 - Km。定理在看其中的误差分析:对于m0，若ym为方程组（423）的唯一解，贝U zVmYm满足r。- A h(421)#线性方程组的广义极小残余算法#线性方程组的广义极小残余算法证明原理型Arnoldi算法在此需要通过增大其中的m来确定Zm，并且使得根据之前介绍的

22、Arnoldi过程，在此利用Arnoldi过程的矩阵表示形式 可以得到r - AZm 二 r。- AVmH； ： eT1 口二 r。- (VmH m hmgH m : e-(r0 - VmE )i hm 1,mVm 1 (em H m)hm41,mVm41(em ym )当Vm 1 =0时,|Vm| =1，上面式子两端取范数既得（424）式；当VmH = 0时，hm+ 0，上式成为r -AZm =0，两端取范数也可以得到（424）式。该定理表明，对某m，如Hm可逆，则h0，即Vm1 =0时，Zm = z成立。#咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）|jo A為： ；（ ； ： 0为其所指定

23、的误差界）。算法的计算步骤如下：（1） 给定 X。 Rn，计算 ro 二bAX.（2） 对相应的m =丨，由以上所述的Arnoldi过程求出vim=1及v/l =1,2,川）。Hm不可逆时，算法产生中断，更换 X（0）继续（1）。Hm可逆时，求解Hmy = 0e得到ym，并计算為宀皿丫皿.（3）Vm 1 =0 时，X” = Xo Zm 停止。vm1 7 时，若 |_ro -AZmL :：；，取 : Xo Zm 停止。若Lro-AZmL；,用丨1代替l继续（2）。该算法用于求解大型方程组（n1）时，但对于一般 m也需要相当大，从而计算量相 当大，为了克服这一缺点，其中一个办法就是固定 m,只对Z

24、m进行修正的迭代方法，即 下面的循环型算法。循环型Arnoldi算法在此需要通过固定m来迭代计算Zm，并且使得r _ A/J 计算步骤如下：（1） 给定 m n，选取 x（o） Rn，计算 r（o）= b- AX（o），记 r。二 r（o）。（2）用原理型Arnoldi算法求出ZVmym-形成迭代X（k1X（k） Zm或着 r（kJr（k）-AZm（k = 0,1,2,IH）（3）Lr（k1）一；时，XXZ）停止。|_r（k1）_ ；时，r0 = r（k 1）继续（2）。在该算法中，由于mL n，所以计算Zm的工作量不是很大，但当k-1时，如果原 理型Arnoldi算法产生中断，则所有计算全部

25、白做。虽然循环型 Arnoldi算法有效，但其收 敛速度有时会超过共轭梯度方法。GMRES 算法#线性方程组的广义极小残余算法因为在之前所讲到的Arnoldi算法中有中断的一些问题难以解决，并且在此理论上也 很难分析其收敛性，所以有了其解决其缺点的方法，其中之一就是有效的GMRES算法。选取m及X。使得6 A川|，呎 0线性无关，因为A可逆，所以Ar。，A2ril, Amr。也线性无关。构造Km 二 span ,r oA|r ,mJ Ao r Lm = spa n oAr2 oAHr ,m oA r1O线性方程组的广义极小残余算法1O线性方程组的广义极小残余算法找方程组（4.1.1）的近似解Z

26、m Km，使得- AZJ Lm，可转化为如下最小二乘问题定理 3对于m0 ,Km满足（r。- AzJ Lm的充要条件是r0 _ Azm二 mkn r -mAz证明： 必要性 若zmKm满足（r-AZm）-Lm，则对任意的Z 心|ro - A# =|（r。-AZm） -A（z-Zm）|有22= r。-Azm - 2r。- Azm, A（z-Zm）A（z-Zm）|因为Zm，Km，Z Km，所以（乙-為，心，即有数组匕山,I | I ,如,使得z 為二 hr。kzAr。III kmAmrA（z - Zm）二 kiAr。k2A2r。川 kmAmr从而A（Z-Zm），Lm。于是由（b-AZm）- Lm可

27、得r。- A/A（z- zJ二。因此r。- Az| r。- AZm| 亠 | A（z - 為）| * r。Azm222充分性若o-AZm - min r。- Az，则对任意的v 心 和:R有=kmf C ）二 r。- A（Zm ： v） $ 二（r。- Azm） - ： Av ?=| r。- Azm|2 - 2。r。- AZm ,Av + 21| Av|2f（a）制r-AZm = f（0）由此可以得到f（O） =0,即r。- Am, AV O对任意的w Lm，存在数组q,C2，|,Cm，使得w = qAr。c2A2ro JH CmAmr。二 A（qr。CzAr。川 CmAm_r。）1O咸阳师范

28、学院2011届本科毕业论文(设计)特别的，取则有因此/pmv = Go c Ar olil CmA r。心r - Azm,w珂r - AZm,Av二 0(ro AzJ Lm根据定理3,可以建立确定Zm的极小化方法。就是利用之前所讲到的Arnoldi过程并m HmhT_hm 1,mem(em Rm)则（4.2.1）可以写为AVm = （Vm；vm 1）Hmem=Vm 1H m利用其来构造Km的标准正交基vii=1及vm1，在引进对应的矩阵其中Vm 1 = (Vm : Vm 1 )设z Km，则有唯一的列向量y，Rm，使得Z二Vmy。由于|r - Az| =|r - AVmy| =|r -VmHm

29、y= |VmHBe-Hmy|=|pe-Hmy|（铲 RmJ所以|r -AZm| =冬屮0-Az| =注Rm|i陥e 厂 Hmy|（4.3.1）由矩阵的广义逆及其应用中定理可以得到（431）式的极小范数解为ym二HmC e），或 者Zm =VmH；（Be），因此，GMRES算法不会产生中断。原理型 GMRES算法在此需要通过增大其中的 m来确定对应的 乙，使得_0 _ AzmL E。计算步骤如下：（1）给定 X。 Rn，计算 r = b - AX。及 P = II rj。（2） 在此对于m=l,则可以由Arnoldi过程求出 0】及Hm（l=1,2,l|）。（3）求解min -Hmy 得到 ym

30、。y卞（4）计算 Zm =VmYm。r。- Az，取 X“ :- Xo Zm停止。r - Azmi；, 用I 1代替I继续(2)。当m=n时，由(r。- AZm) Lm = Rm可得r0 - Azm二0，即原理型GMRES算法可以给出方程组(4.1.1)的精确解z ，从而可以得到方程组(2.3)的精确值X”。但对 于大型方程组(n1) ,m很大时，计算量增大，为了解决这一缺点，有下面的循环型GMRES算法在此需要通过固定其中的m来迭代计算Zm，使得循环型GMRES算法匚0 - AzX：；。计算步骤如下：(1) 给定 m n,选取 x(0) Rn，计算 r(0) = b- AX(0)，记 r。=

31、 r(2) 由Arnoldi过程求出及Hm。 求解mRn七- Hmy得到Ym，并计算Zm二VmYm。(4)形成迭代过程X(5= X(k) +Zm,或者r(k 叭-久為(k二 0,1,12,)(5) r(k1)：；时，X X(k1)停止。 Dr(k+1Dtg 时，m = r(k 继续(2)。在循环型GMRES算法中，选择m和求解miQ 8 - HmY是计算的两个重要问题, y R用GMRES( m)代表循环型 GMRES算法。0 11们例3设A =, I ，用GMRES(m)求解方程组AX = b。-1 0丄解：取X0，计算宀b-AX,记r= r()，求出1 1_-因为|阳-Hiy|从而2 =2

32、 y2，所以极小点为y 0。于是zi = vy二0X(1L X (04 二 X由该例题可以看出，不是任意选取 m都能使GMRES (m)收敛，但是，如果对方程 组(2.3)的系数矩阵A附加一定的条件，且取 m适当大时，GMRES(m)可以是收敛。定理4在线性方程组中对于形如方程组(2.3)的线性方程组，如果系数矩阵A相似于一个对角矩阵，则存在一个充分大的 m,并且使得GMRES (m)收敛。在来看口鼻舱- 丫|的求解问题：由于r, Ar|, Am+线性无关，所以ran kVm = m。又 A 可逆，所以 rank (AVm) =m。在由 AVm = Vnd_Hm 0为正则化参数。则转化为利用G

33、MRES（m）算法求解该方程，计算步骤如下：（1）初始化在此输入相应的A和g1，然后在选择合适的Rn，最后输入其最大迭代次数 m和 误差精度务，计算r0=g1 _ Alf0,v1=b/ll r0；Vj 1 二(vj ,vj 1)_H0hj (j 1) jhj=gj，b,lllhj)T（2）Arnoldi过程（得到和Hm）1）正交化hj = vi 丿A1Vji =1,2,111, jj厂制-S hjVij =1,2,III,mimhj* j V?j F,jJF|22）标准化如果hj“j 6，则继续步骤（4）;否则Vj41 =?+1/hj41,j , j = j +1，继续步骤（2）中的正交化。3

34、）求解新的V 1和Hj17咸阳师范学院2011届本科毕业论文(设计)#咸阳师范学院2011届本科毕业论文(设计)（3）解最小二乘问题#咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）陥| =啜川|。|恰-丫口|，得到 ym 和 fm= fo+Vmym（4）计算rm - g1 A f m| ,如果|m|兰国,停止，输出fm ；否则， rm =0, f 0= fm，V rm/|rm|，继续步骤（2）。#咸阳师范学院2011届本科毕业论文（设计）总结四年的大学生活马上就要结束了，想想刚刚还是学校的新生，忽然又成了学校的毕业 生，时间过的真的很快，人生就是这般匆匆。在这期间有苦有甜，有泪有笑，丰富而充实 的

35、度过了美好的大学，刻苦努力和勤奋学习让我学会了很多，也为这最后的学习成果一毕 业论文奠定了基础，可以更好的完成。2013年12月，我的毕业论文准备开始了，从开始到现在，基本上完成了。从开始的 盲目无措，毫无头绪，到找到论文的感兴趣方向，慢慢着手，最后通过各种文献的研究让 自己有了论文的思路和框架，直到论文初稿完成。在这期间让我明白了有努力就有回报， 几个多月的汗水换来了毕业设计的最终完成，并且对学术研究有了不一样的认识，学会了 很多东西。刚开始拿到“线性方程组的广义极小残余算法”这个论文题目，心都凉了，根本不知 道是什么知识，也不知道要看哪方面的书籍，不知如何下手。我将这一困难告诉了老师， 老

36、师很细心很详细的给我做了指导，告诉我这是哪方面的内容，哪些书籍对我的写作有帮 助。于是就立刻着手收集各种资料，使我对自己现在的研究方向和方法有了一点掌握。1月初到3月下旬，从开始搜集资料到写论文，每星期都去图书馆，不断查资料，有时候想 要放弃，但在老师的指导和同学的帮助下还是坚持下来了，同时不断的整理资料，使我对 这个题目从了解到深知。在之后的阶段中，写论文初稿，可是遇到一些公式编辑等的难题， 一些软件不太熟悉，自己认真的一点点的摸索在请教老师和同学，也使自己对文章有了新 的认识，并且发现了很多不足，最终顺利的完成了。当我终于完成了所有的论文任务后感觉整个人都很累，可是当自己看着电脑荧屏上的

37、毕业论文时，心里是甜的是满足的，觉得所做的一切的努力都值了。这次毕业论文的完成 过程更让我欣喜，它不仅是一次创新，更是让我熟悉了在大学里学到的知识，并且很好的 运用到现实生活中。这几个月的论文写作是我在大学生活中的一个总结，也是一个开始， 在我徜徉书海查找资料的日子里，面对无数书本，最难忘的就是每次找到资料时的激动和 兴奋。在整个的论文写作过程中，让我学到了新的知识，增长了见识，并且在以后的学习 和生活中，我也会坚持学习专业知识，做到学以致用。参考文献1 方保镕，周继东，李医民矩阵论M.北京：清华大学出版社，2004.11.2 张凯院，徐仲.数值代数M.西安：西北工业大学出版社，2000.8.

38、3 邢志栋，曹建荣.矩阵数值分析（第二版）M.西安：陕西科学技术出版社，2005.9.4 John H. Mathews, Kurtis D. Fink著，周璐，陈渝，钱方等译，李晓梅 审校.数值方法（MATLAB版）（第四版）.北京：电子工业出版社，2005.12. 蔡大用.数值代数M.北京：清华大学出版社，1987.9.6 张可村，赵英良.数值计算的算法与分析M.北京：科学出版社，2004.7 蔡大用，白峰杉.高等数值分析M.北京：清华大学出版社.8 贾仲孝.解非对称线性方程组的完全广义最小残量法.中国科学（A辑）.1998, 28（ 8）： 694 702.9 肖庭延，于慎根，王彦飞.反

39、问题的数值解法M.北京：科学出版社，2003.10 张海燕，闵涛，刘相国.GMRES（m）算法在离散不适定问题中的应用J.科技导报， 2007,25（ 13）: 2-3.11 闵涛，赵苗苗.求解三维第一类Fredholm积分方程的GMRES（m）算法J.应用泛函分 析学报，2012，9（ 3）： 14-3.12 Y . Saad, M .H.Schultz . GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for solving non sym metric lin ear systems . SIAM J .Sci .Comput .1986

40、, 7（3）:856-869.13 C . X. Yu, G .X.Shen, D.Y . Liu. Mathematical programming solution for the frictional con tact multipole BEM .Tsi nghua Scie nee & Techn ology .2005,25（1）.14 BROWN P N . A theoretical comparison of the Arnold and GMRES algorithmsJ. SIAM J ,1991,12（1）:58-78.15 D . Y . Liu , G X She

41、n . Three dime nsio nal elastic Multipole BEM and computati on of roll deformation field . In : Zhenhan Yao and M .H .Aliabadi（eds） . Boundary Element Tech niq ues .Beiji ng : Tsin ghua Un iversity Press & Springer- Verlag ,2002:83-88.谢辞在这次的论文写作过程中，得到了马欣荣老师的真诚帮助和指导，还有同学的热情帮 助。在我在对毕业论文的写作还一无所知，不知所措的时候，是老师帮助我整理了思路并 且告诉我可以查找资料的方法和渠道，耐心的讲解应该如何开题，如何写？写什么？使我 在以后的写作中有了一个清晰的思路，同学帮助我查找资料，整理数据，给了我继续写作 的鼓励和支持。老师又在写作的过程中对我的问题给了精心的指导，为此，谨向马欣荣老 师致以诚挚的感谢和崇高的敬意，向对我论文写作过程有过帮助的朋友表示真诚的谢意21