对称性在积分中的应用

《对称性在积分中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对称性在积分中的应用（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.

2、关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往

3、可以达到事半功倍的效果下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义二、相关的定义定义1：设平面区域为D,若点(x,y)D=(2a-x,y),则D关于直线x=a对称,对称点(x,y)与(2a-x,y)是关于x=a的对称点若点(x,y)D=(x,2b-y)-D(x,y),则D关于直线y二b对称，称点(x,y)与(x,2b-y)是关于y=b的对称(显然当a=0,b=0对D关于y,x轴对称).定义2:设平面区域为D,若点(x,y)D=(ya,x-a),则Dy二x，a对称，称点(x,y)与(y-a,x-a

4、)是关于y二xa的对称点.若点(x,y)D=(a-y,a-x)-D，贝UD关于直线y对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3:(1)若对-(x,y,z1,点(x,y,-z)1,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.若对P(x,y,z)匕0,二点(x,y,z)匕O,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x,y,z11,-J点(-x,-y,-z)11,则称空间区域门关于坐标原点对称.若对

5、一(x,y,z)门，T点(y,乙x),(z,x,11,则称空间区域门关于x,y,z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间-a,a上连续且有f(x-a)=f(xa),则f(x)关于x二a对称当且仅当a=0时f(-x)二f(x),则f(x)为偶函数.若f(a-x)=-f(ax),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f(x-a)=f(xa)且f(a-x)=-f(ax)则f(x)既关于x=a对称，又关于a,0中心对称.定义5若n元函数f(Xi,X2，Xn)三f(Xi,Xi1,，Xn,Xi,，x：丄)，(i=1,2，,n),则称n元函数f(

6、Xi,X2，Xn)关于Xi,X2，Xn具有轮换对称性定义6：若-p(Xi,X2,Xn)DnRn(nN)有Pi(Xi,Xi1,Xn,Xi,厶JDn(i=1,2，n)成立，则称Dn关于p(Xi,X2，,Xn)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分因此掌握对称性在积分中的方法是必要的下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用引理设函数f(x)在a-h,ah上连续,则有f(x)dx=f(ax)f(a-x)dx(1)证令x二at,有ahhhf(x)dxf(at)

7、dtf(at)dta-h-h0令tu,则00hf(at)dt=f(a-u)du=if(a-u)du山h0将(3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x,则(x)dx=f(ax)f(a-x)dxdx特别地，令a=0，就得公式:f(x)dx=：f(x)f(-x)dx由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f(x)在-h,h上连续，那么hh2)若f(x)为偶函数，则f(x)dx=2f(x)dx_hoh3)若f(x)为奇函数，则f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,2X321cosxdx-2x21解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分2cosx禾口

8、cosx，前一部分x21是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一：cosxdx2_cosxdx匕x2122cosxdx=2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间Lh,h1上求解。F面我们把定理1推广到更一般的情况.定理2设函数f(x)连续1)若y二f(x)的图像关于直线x二a对称，即f(x-a)=f(xa)，则对一切adha-hh0，有f(x)dx=2f(x)dxa-ho2)若y二f(x)的图像关于原点a,0中心对称，即f(a-x)二-f(ax)，则对一.亠a4h切h0，有f(x)dx=Oa-h证1)由(1)式及已知条件f(x-a)=f(xa)，有ahhauh

9、f(x)dx=2f(ax)dx=2f(t)dta-h0o2)有(1)式及已知条件f(ax)二-f(ax)，有aa-hhf(x)dxOdx二0二xsinx,2dx)1cosx1ITTTTT解：由于sinx及2都关于对称，(x-)关于，0)点中心对称，1cosx222(-)sinx因此22关于点C，0)点中心对称，有区间0,二1关于x对称，故由定理1+cod2x22_(x)sinx2的2)有I2dx=0于是01+codx二xsinx)1cod2xdxnn(x-)sinx9922dx1codx2JI4本例中的被积函数xsinx(1cos2x)原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿一莱布尼兹公式，但

10、利用对称性却能容易地求出其值以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应用,像之间的对称关系是如何在定积分中的应用的F面来看看两个函数图定理3设f(x)，g(x)都是连续1)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，即f(x-a)二g(xa)，则对一切h0，a-ha有af(x)dx=2。g(x)dx2)若f(x)与g(x)的图像关于原点a,0中心对称，即f(a-x)-f(ax)，则对a-lha-h一切h0，有f(x)dxg(x)dxa_ha_hdxxia2-x2解：设x二asint，t0/，则2dx7T2cost,dtsintcost而由定理3可证2sintdt=sintcostcost

11、dt，故sintcost212沁型dt0sintcostIL二2rLU兀故I=_.4注：定理3可以推广到更一般的情况定理4设f(x)与h(x)都连续，则aa0fu(x)dxfu(ax)dx；aa1) qxfu(x)fu(ax)dx=a0fu(ax)dx.tt-nn例4计算dx2sinx-cosx)1-3sinxcosx解：令nn、sinx-cosxf(x):1-3sinxcosx，则nnrn、cosx-sinxf(x)=21-3sinxcosx所以f(x)=f(x)=0,2由定理3得nn:sinxcosx.小2dx=0.01-3sinxcosx我们可以看出这些都是教材中常见的等式，我们使用对称

12、性给出了它们的简洁证明，并有一定的规律可循.另外，取各种连续函数f(x)，又可以从已知的公式中到处许多公式.(二)重积分中的对称性定理及应用在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也要有有对称性.但在特殊情况下区域D不对称，或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算定理5设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则当f(x,-y)-f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数)时，有f(x,y)dxdy=OD当f(x,-y)=f(x,y)(即f(x,y)是关于y的偶函数)时，有jif(x,y)dxdy

13、=2f(x,y)dxdy0,其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域.DD1例5计算I：Ii(xyy3)dxdy，其中D为由y2=2x与x=2围城的区域.D解：如图所示几，积分区域D关于x轴对称，且图形待定f(x,-y)二-(xyy3)=-f(x,y)即f(x,y)是关于y的奇函数，由定理5有I=(xyy3)dxdy=0D类似地推出下面的定理：定理6设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则若f(-x,y)=f(x,y)，则11f(x,y)dxdy=2f(x,y)dxdyDD2若f(-x,y)-一f(x,y)，则11f(x,y)dxdy=0D其中D2是由y轴分割d所得到的一半区

14、域.3223例6计算I=ffxyf(x+y)dcr,其中D为y=x,y=1所围成的区域，f(u)D是连续函数图形待定解：如图几，作辅助线y=x3，它把区域D分成D1，D2两部分，其中Ux,y10乞y乞1,一3y乞x乞3y匚D2=*x,y10乞x乞1,-x3辽y乞x3，在D1上，322Fx,y=xyf(xy)满足F(-x,y)二-F(x,y)，而D1关于y轴对称，因而Iixy3f(x2y2)d；：=0.D1322在D2上，F(x,-y)=-F(x,y)，且D2关于x轴对称，因而.xyf(xy)d=0D2因此I=xy3f(x2y2)d；=0DD1D2例7计算二重积分I=(|x|y|)dxdy，其中

15、D:|x|y2D解：如图所示几,D关于x轴和y轴均对称，且被积函数关于x和y是偶函数，即有f(x,-y)二f(-x,y)二f(x,y)由定理5,6，得I=(Ix|y|)dxdy=4.(|x|y|)dxdyDD1其中D1是D的第一象限部分，2有对称性知，.|x|dxdy=.|y|dxdy,D1D1故I=4(|x|y|)dxdy=411(|x|y|)dxdy=8|x|dxdy=-图形待定D1D1D13定理7设平面区域D=DiD2,且Di,D2关于原点对称，则当D上连续函数满足f(-x,_y)=f(x,y)时，有mf(x,y)dxdy=211f(x,y)dxdyDD1f(-X,y)二f(x,y)时，

16、有11f(x,y)dxdy=0D例8计算二重积分(x3y3)dxdy，区域D:x当f(y,x)-f(x,y)时，有IIf(x,y)dxdy=0.D当f(y,x)=f(x,y)时，有IIf(x,y)dxdy=211f(x,y)dxdyDD122例9求I=($y)dxdy，区域D:x2y2岂1dab解：积分区域关于直线y=x对称，由定理8，得22DG臼呦仁(話訂幼，y21Df(x,y)x3y3，有解：如图所示几，区域D关于原点对称，对于被积函数3333f(-x,-y)=(-x)(-y)=-(xy)=-f(x,y)由定理7,得11f(x,y)dxdy二0D定理8设二元函数f(x,y)在平面区域D上连

17、续，且D1D2，且D1,D2关于直线y=x对称，则1)f(x,y)dxdy=Df(x,y)dxdy二D1f(y,x)dxdy;Df(x,y)dxdy.D22)3)22彳2故DC帥口佰2x2)dxdybx2y2)dxdy二D4/11R(r2)4ab相似地，我们可得以下定理:定理9设二元函数f(x,y)在平面区域D上连续，且D二DjD2，且D1,D2关于直线y=_x对称，则f(-y,-X)-一f(x,y)时，有11f(x,y)dxdy=0;D1) f(-y,-x)二f(x,y)时，有I,f(x,y)dxdy=2IIf(x,y)dxdy.DD1例题略既要注意被注：在进行二重积分计算式，我们要善于观察

18、被积函数的积分区域的特点,积函数的奇偶性也要注意积分区域的对称性恰当地利用积分中的对称性，可以避免计算的繁琐，时二重积分的解答大大简化重积分的对称性定理及应用在三重积分中我们也有类似的结论定理10设空间有界闭区域-门2,J与门2关于xoy坐标平面对称，函数f(x,y,z)在I】上连续,那么:1)若f(x,y,z)是关于z的奇函数，则111f(x,y,z)dv=0Q2)若f(x,y,z)是关于z的偶函数，则hif(x,y,z)dv=2111f(x,y,z)dvQQ同样地，若积分区域分别关于yoz,zox坐标平面对称，也有类似的结论:推论11)若f(x,y,z)是关于x的奇函数，则iiif(x,y

19、,z)dv=0Q2)若f(x,y,z)是关于x的偶函数，则inf(x,y,z)dv=2iiif(x,y,z)dvqa推论21)若f(x,y,z)是关于y的奇函数，则hif(x,y,z)dv=0Q2)若f(x,y,z)是关于y的偶函数，则川f(x,y,z)dv=2i!f(x,y,z)dvzln(x2计算三重积分I2y，其中“是由球面Qx+y+z+xy242dxdydzabc,vb15y2z2=1所围成的空间闭区域所以解：积分区域门关于xoy面对称，被积函数222zln(xyz1)是z的奇函x2y2z21zln(x2y2z21)Qdv=0xyz定理10若空间区域门具有轮换对称性，若fi(x,y,z

20、)二f1(y,z,x)二f1(z,x,y),inf(x,y,z)dv=3iiif1(x,y,z)dv.QQ在有些问题中，尤其对于三重积分，在被积函数及积分区域都没有对称性的时，而被积.下面我们给出例函数具有轮换对称性，我们利用轮换对称性可以使问问题得到简便的计算例11求I$)dxdydz,其中V是椭球体写cay22c2解：由于222dxdydz亠111岭dxdydz亠111zdxdydz,/a/bvc2x其中2dxdydz/a22:axyzdxdydz,这里V表示椭球面为y2aVbVXC22-x2a它的面积为(2(22x2、111rdxdydz-Vaabc2A(1-x2)dx=二abc.15同

21、理利用轮换对称性可得z4dxdydzabcvc15所以-442)dxdydz二3(abc)abc.四、对称性在曲线积分中的定理及应用(一)第一型曲线积分1、平面曲线积分Lf(x,y)ds的计算若曲线L关于X轴对称，记L位于X周上半部分的L1，则：2) 当f(x,-y)工f(x,y)时，Lf(x,y)ds二2lf(x,y)ds3) 当f(x,-y)-f(x,y)时，f(x,y)ds=O同理能得到关于丫轴对称的式子例12求Ix2y2ds，其中L为圆周x2yR2.L解：因为曲线L关于y轴对称，记位于y轴上方部分为L1，而被积函数满足：f(x,-y)=f(x,y)所以I=.x2y2ds=2i扌x2y2

22、ds=2R2LL1注:对于一般情况我们可以得出引理引理：设L关于直线x=a对称的一条曲线弧，则1) 若f(x,y)二-f(2a-x,y)，则f(x,y)ds=O.若f(x,y)=f(2ax,y)，则Jf(x,y)ds=2jf(x,y)ds，其中LL1L二(x,y)L|x咗a.例13计算I=j(y3y5-x)ds,其中L是曲线(x-2)2y1所围成的回路解：因为L关于x轴和直线x=2对称，故I=ly3y5ds-l(x-2)ds-2ds设f(x,y)二yy5,则f(x,-y)二-f(x,y)；设g(x,y)=x-2，则-g(4-x,y)=x-2二g(x,y).所以有I=ly3y5ds_L(x2)d

23、s_2ds=00_2ds=8二.2、空间曲线积分.F(x,y,z)ds的计算若积分曲线:关于xoy面对称，记:位于xoy面上半部分为M，则1)当F(x,y,z)二F(x,y,z)时,.F(x,y,z)ds=2.F(x,y,z)ds.F(x,yz)d2)当F(x,y,-z)二-F(x,y,z)时,同理可得关于yoz，zox面对称的式子.例题略.(二)第二型曲线积分对于第二型曲线积分还需要我们考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标方向之间的夹角小于一时，投影元素的符号为正，否则为负，就f(x,y)dx而言，只需考察f(x,y)dx2L在对称点的符号但第二类曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分结论

24、恰好相反：定理11设积分曲线L是平面分段光滑曲线，若曲线L关于x轴对称，且L在x轴上半部分与下半部分走向相反，曲线L1,L2分别是L位于x轴上、下方的部分，则1) Lf(x,y)ds=0，当f(x,y)=f(x,y)时；f(x,y)ds=2f(x,y)ds,当f(x,y)=f(x,y)时其中,f(x,-y)二f(x,y)表示f(x,y)是y的偶函数，f(x,-y)-f(x,y)表示f(x,y)是y的奇函数。注：当定理中两部分的方向相同时则结论与定理相反推论：设L是xoy平面上关于直线x=a对的一光滑曲线弧，LL2，任意(x,y)L，有(2a-x,y)L?,且L?在y轴投影方向相反，则1)若f(

25、x,y)二-f(2a-x,y),则丄f(x,y)ds=02)若f(x,y)=-f(2a-x,y),则丄f(x,y)df(x,y)ds定理12若积分曲线T关于x,y,z具有轮换对称性，即Lf(x,y,z)dz二Lf(x,y,z)dy二lf(x,y,z)dx,222例14计算|=jyx)cosxydx,其中L为圆周xy=1,以逆时针方向.解：令f(x,y)=(y2因为iydyax)cosxy,(x,y)L,2222将L分为Li：xy=1,y_0与L2:xy=1,y乞0两部分.对于对称点(x,y),(x,-y)L,有f(x,y)二f(x,-y),而L1,L2两部分关于y轴对称，且方向相同，所以I=l

26、(y2*x)cosxydx=0.例15设L为球面x2y2z2=1和平面xy0的交线，若从x轴正向看去，L时沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：I=xdx+Lydy+zdz解：把y二-x-z代入x2y2za2,得2x22z22xz二a2.令uv,所以可取z=u-v,可得u=卓cos0v6av：sinr,三0,2二由此可知L的参数方程为x=-cos&+9sin。6v2aazcos：；sin，二0,2二V6V2由轮换对称性可知Lxdx二lydy二.Lzdz二0，所以I二Lxdxydyzdz二0.五、曲面积分的对称性(一)第一型曲面积分的对称性定理及应用定理13若积分曲面S可以分成对称的两部分S

27、1S2，在对称点上被积函数的绝对值相等，即光滑曲面S关于xoy(或xoy,或xoy)坐标面对称，则有1)若在对称点上f(x,y,z)取相反的符号，即f(x,y,z)关于z(或x,或y)的奇函数，则，Sf（x，y，z）dS=0.2）在对称点上f（x,y,z）取相同的符号，即f（x,y,z）关于z（或x,或y）的偶函数,则，sf(x,y,z)dS=2耳f(x,y,z)dS.推论1：若光滑曲面S可以分成对称的两部分S二S1S2,且关于原点对称，则1).Sf(x,y,z)dS=0,f(x,y,z)为关于z（或x,或y）的奇函数.2)Sf(x,y,z)dS=2Sf(x,y,z)dS，f（x,y,z）关于

28、z（或x,或y）的偶函数例16计算积分zdS,其中S为曲面x2z222-2ax(a-0)被曲面z-xy所截取部分图在P273解：因为S关于yz坐标平面、zx坐标平面以及z轴对称，且被积函数在对称点上函数值相同，所以由对称性可得.1.1zdS=4!zdS.其中3为S在第一卦限中的部分（见图几）由x2y2=2az和z二x2y2消去x/a2(z)D:2a2(2)2得到S在yz坐标面上的投影区域2y一1,y一0,z一2a2而S在D上的显函数表示为x=2az-z2人zdS=4人?dS=4叽zJ1+x2+y2dydz=4仏一dydz1v2azzz4a?Ia72a2吗2(令A2z-2a:2a-z二32a3-

29、Vdt(令t=.2tanr)0(2+t2)3L3卫717%/23=8.2a2(cos2cos4)a.Jo882例17计算下列面积的曲线积分I=口(x+y+z)dS,其中S为球面Sx2y2z2=a2上,z-h(0:ha)的部分.解：因为S关于yz坐标平面、zx坐标平面以及z轴对称，且又f(x,y,z)关于x,y的奇函数,所以利用对称性知sXdS二$ydS=0设Dxy=(x,y)|x2y2-a2-h2,则I=S(xyz)dS=szdS二a2x2_y21Zx2Zy2dxdyDxy22=aDdxdy=Jia(a-h)Dxy定理14若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，即Sf(x,y,z)dS=J：Sf(y,z,x)dS=J：Sf(z,x,y)dS,则f(y,z,x)f(z,x,y)dS1sf(x,y,z)dS=3sf(x,y,z)例18计算曲面积分|z2dS,其中S是球面x2亠y2亠z2=a2.解：此积分若按照一般方法来计算，计算量比较大，若果利用对称函数的