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1、分布列和数学期望教师版 随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1n次独立重复试验的分布列和期望样题1 (2005年高考全国卷II理19) 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实
2、际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为10.60.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（3）比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而P（4）比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而P（5）所以的概率分布为345P0.280.37440.3456的期望3P（3）4P（4）5P（5）4.0656变式新题型1.(2005年高考浙江卷理19)袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是 () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求
3、恰好有3次摸到红球的概率 () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i) 求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E 解：() ()（i）(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；由n次独立重复试验概率公式，得；（或）随机变量的分布列是0123P的数学期望是 热点题型2 随机变量的取值范围及分布列样题2在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值
4、（元）的概率分布列和期望.解法一： （），即该顾客中奖的概率为.（）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. 010205060P故有分布列：从而期望解法二： （）（）的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=28=16（元）. 变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求： （）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数
5、字）； （）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则B（5，0 2） （）（）以表示利润，则的所有可能取值为10，5，0，2 10502P0 3280 4100 2050 057 的概率分布为利润的期望=100 328+50 410+00 20520 0575 2（万元） 样题3 (2005年高考江西卷理19)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2
6、）求的数学期望E.解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：（2）变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为08，（1）求在这一组练习中耗用子弹的分布列（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。分析：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可取值为1，2，3，4，51，表示第一发击中(练习停止)，故P(1)082，表示第一发未中，第二发命中，故P(2)(108)080163，表示第一、二发未中，第三发命中，故P(3)(1
7、08)2080032以下类推解：（1）的分布列为12345P0801600320006400016 补充备例：有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数 的数学期望和方差分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k次打开不过，一般我们应从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般解： 的可能取值为1，2，3，n ；所以 的分布列为：12kn ； 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键
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