专题由递推关系求数列的通项公式含答案

《专题由递推关系求数列的通项公式含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题由递推关系求数列的通项公式含答案（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、.专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析S1n11 、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有 ann及Sn Sn 12等差数列和等比数列的通项公式。例 1已知数列 an 中 a1 2 ， sn2 an 的通项公式n +2 ，求数列

2、评注在运用ansnsn 1 时要注意条件n2 ，对 n=1 要验证。2、累加法：利用恒等式an a1a2 a1+.+anan 1 求通项公式的方法叫累加法。它是求型如an 1an +f n的递推数列的方法（其中数列fn的前 n 项和可求）。例 2an 中a1aa+1，求数列 an 的通项公式已知数列，n 1212nn+3n2评注此类问题关键累加可消中间项，而f ( n）可求和则易得an3、 .累乘法a2a3anan0 求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如：利用恒等式a n a1a2an 1a1an 1g n an 的递推数列的方法数列gn可求前n项积.例 3已知数列 an 中 sn1na n，

3、求数列 an 的通项公式评注a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。此类问题关键是化an14 、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：凑配、消项变换如将一阶线性递推公式a n 1qa nd （ q, d为常数，q0, q1 ）通过凑配变成an 1dd= q an，或消常数项转化为an 2 an 1 q an 1 anq1q 1例 4 、已知数列 an 中， a11 ， an2an 11 n2 ，求数列 an 的通项公式点评 ：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列can1d11（

4、）倒数变换 如将一阶分式递推公式an 1（ c,d 为非零常数）取倒数得2an da n 1canc例 5已知数列 a n 中， a1an，求数列 an 的通项公式1 ， an 12 an1点评 ：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。p对数变换 如将一阶分式递推公式an 1 ca n an 0, c 0, p 0, p 1 取对数.可得lg an 1p lg anlg c已知数列 an 中， a110 ， an0 ，且 an 12例 610an ，求数列 an 的通项公式点评： 此类问题关键是取对数使其转化为关于an 的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变

5、换nq 1， d 1）换元变换 如将一阶分式递推公式an 1 qa n d （ q,d 为非零常数，an 1qa变换成n 1dddnn1an，令 bnn ，则转化为一阶线性递推公式dd例 7 在数列 an 中， a11 ， an 1 3an +2n*，求数列 ann N 的通项公式评注： 此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法递推公式为an 2pan 1qa n （其中p， q 均为常数）。解法：先把原递推公式转化为an 2san 1t ( an 1sa n )stp其中s， t 满足，再应用前面转化法（4）类型的方法求解。stq21例 8 . 已知数列a n 中， a

6、11 , a22 , a n 2an 1a n ，求 a n 。33.7、叠代法例 9a n 的前 n 项和 Sn 满足 Snn已知数列2a n ( 1) , n 1 求数列 a n 的通项公式。8 、归纳法 ：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。例 10数列 an 满足 sn 2n an n N* 的通项公式,求数列 an四、实战演练、辽宁卷已知等比数列n 为递增数列，且2n an 2n 1，则数列 an的通项公12012a5 a10,2(a5a a )式为an _.2、在数列 an 中， a1 31，求通项公式 an ., a n

7、1 ann (n1)3、设数列 a n 是首项为221 的正项数列，且(n 1) an 1 nana n 1an 0 （ n=1,2,3 ），则它的通项公式是a n =.4、已知数列 a n ，其中 122，且当 n 3 时， a n 2 an 1 a n 21 ，求通项公式 a n 。a 1, a5、设正数列a0 ， a1 ， a n ， a n ， 满足an an 2an 1 an 2 = 2an 1( n2) 且 a0a11 ，求 an 的通项公式.五、能力提升a n 的前 n 项和 S n 与 a n 满足： an , Sn , Sn1且 a11 ，求数列（逆推法）已知数列(n 2)

8、成等比数列，2a n 的前 n 项和 Sn点评： 本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an的前 n 项和 Sn 的递推公式，是一种最佳解法.由递推关系求数列的通项公式答案22例 1 解：当 n2 由 ansnsn 1 = n +2-n1+2= 2n1当n1时3, n1不满足故a1 s1 3an1,n 22n例 2解：由aa+1可知 an1an111n 1nn2 +3 n 2n23n 2 n 1 n 2aaaa +.+aa1+1111.11=n2n121nn1=nn22334n1n1当 n 1 时也成立。故有an =n1n例 3解：当n=1 时 由 a1s11a1可得

9、 a112由 an 1sn 1sn = 1 n 1 an 11 nan 可得an1nann2a na2a3an1123n 2 n 11a1a2an 1=n=n n 1a12345n 1当 n=1时也成立。故有an =1n n1例 4解法一凑配变换：由 an2an 11 可得 an 12an 11 ，又 a112 ，故数列an 1 是首项为 2，公比为2 的等比数列，n 1nan 1 2 2 ，即 an 21解法二（消项变换）an2an 11an 12an1 - 得 an 1an2 anan 1n2 ，故数列an 1an 是首项为a2a12 公比为2 的等比数列即 an 1 annn2 ，再用累

10、加法得an 2 1例 5an1111解 :由 an 1可得an2 即22an 1an 1an 1an11 为首项2 为公差的等差数列。11数列是以an=1+2 （ n-1 ） ,即 anan2 n 1例 6 解：由 an0 ，且 an 12lg an 1110 an 可得 lg an 11 2lg an ，即2lg an1.数列lg an1 是以 lg a112 为首项以2 为公比的等比数列lg a nn即 an2n 11 = 210例 7 解：由 an 13an +2nan 13an1an 113an1)an可得n12n即n 12(n令 bnn1222222nbn 13bn数列bn 是以3为

11、首项以3 为公比的等比数列即bn32222ann=3即 annnn132bn22例 8 解：由 an 22an 113a n 可转化为 an 2 sa n 1 t (a n 1 san )3s t2s 13即 a n 2 ( s t) an 1 sta n1 或1stt33s1这里不妨选用1（当然也可选用t31s3t11s3，大家可以试一试），则t1a n 21( a n 1 a n )a n 1 an 是 以 首 项 为 a2a11，公比为1an 1的等比数列,所以33a n 11n 11 的方法，分别令 n 1,2 ,3, ( n1) ，代入上式得(n 1) 个等式累加之，a n ( ),

12、应用类型31 01 111(1 ) n 1即 a na1(n 23)133313a11 ，所以 a n731n 1又4(3)。4例 9解：由a1S2a11a1112 时，有 a nn当 nS nSn12( ana n1 )2(1) ,an2an2(n111),n2a n 12 an22(1), ， a22a12.n 1n 1n 22n 1an 2 a1 2(1)2( 1)2(1)2n 1(1)n (2)n 1( 2) n 2(2)n 12n 1(1)n21 (2)32n 2(n 1 21).3.经验证 a12n 2n 11 也满足上式，所以an 2( 1)3n 1anan 1an2an 12方

13、法二、an 2an 1 2 ( 1) ,222(nn 1( 1)nn 1)( 1)(1)3(1)3an2公比为 -21构造数列n首项为的等比数列（以下略）( 1)333715n1解：易求 a1 1,a22例 10，a3, a4，由此可猜想 ann 1下面用数学归纳法证明： 当 n 1248211时，左边 = a121，右边 =1 1 =1，猜想成立；2k21假设n=k 时命题成立，即akk1，那么由已知sk2 kak2sk 12( k1)ak 1由 - 可得a k 12ak 1akakk1k 1k 11221 2k 1 时命题也成立。ak 1 1= 1k=kk 11 ，即当 n2222*由，可

14、知命题对任何nN都成立。点评：此类问题关键是利用归纳假设的ak 证明 n=k+1 时命题成立。方法二、 n1 时a1S 12a 1 a 1 1n2 时anSnSn1( 2 n an) 2 ( n 1 ) a1n an11an12可构造等比数列（以下略）四、实战演练1、 (公式法 )2n解析 本小题主要考查等比数列的概念与性质解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题关键由已知条件 为等比数列，可知，2(a a) 5an 1?a nnn 22，又因为 a n 是递增数列，210 得 a55所以 q 2.由 a5 a q 2(a n a n25an2 5q 2 0?q1或q )q? 2q

15、2n 1n32 ，所以 a1 2 ， a n a 1 q 2 .2、（累加法）解：原递推式可化为：a n 1a n11则 a 2a111 ,a 3a211nn 11223a 4 a311， ， an a n 111 逐项相加得：a na111. 故 a n41.34n 1nnn3、（累乘法）解：原递推式可化为：( n 1)a n 1 na n ( a n 1 an ) =0an 1nan 1 a n 0，n 1a n.a 21a 32a43ann 1a n11.则2,3,4, ，n逐项相乘得：n，即 an =a1a 2a3a n 1a1n4 、（换元法与累加法的综合）解由 an2 an 1an

16、 21 得： (a nan 1 )( a n 1a n 2 )1 ，令bn 1a nan 1 ，则上式为bn 1bn 21 ，因此 b n 是一个等差数列，b1a 2a11 ，公差为1. 故bnn . 。由于 b1b2bn 1a 2a1a3a 2anan 1a n1又 b1b2b nn (n1)12所以 a n111) ，即5、（换元法与累乘法综合）解a n 1 an 2 整理得：n( n将递推式两边同除以2a na n12an1an 12an，则 b1a12bn 1 1 ，故有 bn2bn 1 1设 bn =1 ， bna n1a0b2b1 b 1 2(b1)b1是公比为2，首项为2 的等比

17、数列nn 1nn 1n bn 2 n1 即a n = 2 n1. an(2 n1) 2an 1an1逐项相乘得：a n = ( 21) 2( 2 21) 2(2 n1) 2 ，考虑到a01 ，故 an1(n0)( 21)222n2(n.( 21)( 21)1)12n2)a n(n2五、能力提升21),解：由题意：Sn an (Sn2anSnSn 12( SnSn 1 )( Sn1 )1 ( Sn 1Sn ) Sn Sn 1 Sn221111(n 1)22n 1SnSn 12S1SnSn1.2n1.当 n1 时a1 S1 1当 n2 时2n 1 时也符合an Sn Sn 1(2 n 1)(2 n3)2 an(2 n1)(2 n3).